湖北省武昌实验中学2026-2027学年高二上学期数学期中模拟卷

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若直线l1：（m﹣1）x+y+2＝0与直线l2：2x+my+4＝0平行，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1 【分析】根据两直线平行可得出关于实数m的等式与不等式，即可解得实数m的值． 【解答】解：因为直线l1与直线平行， 则，解得m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查两直线平行，是基础题． 2．已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 【分析】根据已知条件，结合空间向量的投影公式，即可求解． 【解答】解：（1，﹣1，2），（1，﹣2，1）， 则，， 故向量在向量上的投影向量是． 故选：C． 【点评】本题主要考查空间向量的投影公式，属于基础题． 3．“k＞4”是“方程x2+y2+kx+（k﹣2）y+5＝0表示圆的方程”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据二元二次方程表示圆时满足D2+E2﹣4F＞0，列不等式求出k的取值范围，进而求解结论． 【解答】解：方程x2+y2+kx+（k﹣2）y+5＝0表示圆的方程方程， 则D2+E2﹣4F＝k2+（k﹣2）2﹣4×5＝2k2﹣4k﹣16＞0， 解得k＜﹣2或k＞4； 所以”k＞4”是“方程x2+y2+kx+（k﹣2）y+5＝0表示圆的方程”充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题． 4．设直线l的方程为x+ysinθ﹣1＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．（0，π） B． C． D． 【分析】按sinθ是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围． 【解答】解：当sinθ≠0时，直线l的斜率， 当k≤﹣1，即tanα≤﹣1时，则；当k≥1，即tanα≥1时，， 当sinθ＝0时，直线l的斜率不存在，则直线l的倾斜角， 所以直线l的倾斜角的范围为． 故选：C． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题． 5．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，0），B（5，0），且动点M满足，则|OM|的取值范围是（　　） A．（4，6） B．[4，6] C．（4，8） D．[4，8] 【分析】根据五步求曲法求出M的轨迹方程，再根据点与圆的位置关系，即可求解． 【解答】解：设M（x，y），又O（0，0），A（2，0），B（5，0），且动点M满足， 所以，平方化简可得M的轨迹方程为： （x﹣6）2+y2＝4，其表示圆心D（6，0），半径r＝2的圆， 所以|OD|＝6， 所以|OM|的取值范围是[6﹣2，6+2]，即为[4，8]． 故选：D． 【点评】本题考查动点轨迹问题的求解，点与圆的位置关系，属中档题． 6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率． 【解答】解：记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且， 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以，整理得，他三道题都答错为事件， 故． 故选：C． 【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题． 7．已知F1，F2，B分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点和上顶点，连接BF1并延长交椭圆C于点P，若△PF2B为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】若|PF1|＝m，根据椭圆的定义有|PB|＝a+m、|PF2|＝2a﹣m，应用余弦定理及cos∠PF1F2+cos∠BF1F2＝0得到椭圆参数的齐次方程，即可求离心率． 【解答】解：已知F1，F2，B分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点和上顶点，连接BF1并延长交椭圆C于点P， 由△PF2B为等腰三角形，则有|PB|＝|PF2|，而|PF1|+|PF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a， 又|BF1|＝|BF2|＝a，|PB|＝|PF1|+|BF1|，若|PF1|＝m，则|PB|＝a+m，|PF2|＝2a﹣m， 所以， 在△BF1F2中， 在△PF1F2中， cos∠PF1F2+cos∠BF1F2＝0，即，整理得3c2＝a2， 则． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆相关性质，属于中档题． 8．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：（x+3）2+（y﹣4）2＝4上．若椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，且|PQ|﹣|PF|的最小值为，则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出a的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得c的值，利用椭圆的定义结合圆的几何性质，利用点共线的条件即可求解． 【解答】解：由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，所以2a＝4，即a＝2， 设椭圆的左焦点F′（﹣c，0），由椭圆的定义可知|PF′|+|PF|＝2a＝4， 所以|PQ|﹣|PF|＝|PQ|﹣（4﹣|PF′|）＝|PQ|+|PF′|﹣4≥|QF′|﹣4≥|EF′|﹣2﹣4＝25﹣6， 所以，解得c＝1或5， 因为c＜a＝2，所以c＝1，故F（1，0），E（﹣3，4）， |PQ|+|PF|≥|QF|≥|EF|﹣|EQ|2＝42， 当且仅当P，Q，E，F共线，且P，Q在E，F之间时取等号． 故选：B． 【点评】本题主要考查椭圆的性质，椭圆与圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．下列命题正确的有（　　） A．若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线l的一个方向向量为（3，﹣2）且过点（2，1），则l的方程为2x+3y﹣7＝0 【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当x＝﹣1时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量，可得斜率k，代入点斜式方程，可判断D的正误，即可得答案． 【解答】解：对于选项A，若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a⊂α或a∥α，故A错误； 对于选项B，假设共面， 则， 此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立， 即不共面， 则可构成空间的另一个基底，故B正确； 对于选项C，当x＝﹣1时，， 此时，即，夹角为π，不符合题意，故C错误； 对于选项D，因为直线l的一个方向向量为（3，﹣2）， 所以斜率，又因为过点（2，1）， 所以l的方程为，即2x+3y﹣7＝0，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查了利用空间向量判断直线与平面的位置关系，考查了空间向量的基本定理，以及直线的方向向量和平面的法向量，属于中档题． （多选）10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（　　） A．椭圆C与椭圆C'：1有相同的焦点 B．直线PA1，PA2的斜率之积为 C．存在点P满足|PF1|•|PF2|＝2a2 D．若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为或 【分析】选项A，利用求椭圆的半焦距的方法即可判断；选项B，设出P的坐标，进而可以求出直线PA1，PA2的斜率，再利用点P在椭圆上即可求解；选项C，利用椭圆的定义以及基本不等式即可判断；选项D，分别对直角顶点讨论即可求解． 【解答】解：选项A：在椭圆中由半焦距的求法可得：a2﹣b2＝（a2+1）﹣（b2+1），故A正确， 选项B：由已知A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y）， 则k，所以k，故B正确， 选项C：由椭圆的定义可得|PF， 所以|PF1||PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，故C错误， 选项D：若P为直角顶点，则有，所以离心率e， 若点F1或F2为直角顶点，|PF2c，则离心率e，故D正确， 故选：ABD． 【点评】本题考查了椭圆的定义以及性质，涉及到基本不等式的应用以及等腰直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题． （多选）11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ＞0，且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是（　　） A．C的方程为（x+4）2+y2＝16 B．当A，B，P三点不共线时，则∠APO＝∠BPO C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| D．若D（2，2），则|PB|+2|PD|的最小值为 【分析】对于A，通过直接法求出点P的轨迹方程即可判断； 对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可； 对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可； 对于D，将|PB|+2|PD|转化为2|PA|+2|PD|进行判断即可． 【解答】解：设P（x，y），（P不与A，B重合）， ∵A（﹣2，0），B（4，0）， ∴，， ∴，∴， 化简得（x+4）2+y2＝16， ∴点P的轨迹曲线C是以C（﹣4，0）为圆心，半径r＝4的圆， 对于A选项，∵曲线C的方程为（x+4）2+y2＝16，∴选项A正确； 对于B选项，∵|OA|＝2，|OB|＝4，∴， ∴当A，B，P三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO是△APB内角∠APB的角平分线， ∴∠APO＝∠BPO，∴选项B正确； 对于选项C，∵|MO|＝2|MA|，则，设M（x，y）， 由，得， 化简得点M轨迹方程为， ∴点M的轨迹是圆心为，半径的圆， 圆C与圆C'的圆心距， ∴圆C与圆C'的位置关系为内含，圆C与圆C'无公共点， ∴C上不存在点M，使得|MO|＝2|MA|，∴选项C错误； 对于D选项，∵，∴|PB|＝2|PA|， ∴， 当且仅当P在线段AD上时，等号成立，∴选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查“阿波罗尼斯圆”的方程的求解，角平分线的性质，圆与圆的位置关系，“五步求曲“法的应用，化归转化思想，属中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．与直线y＝x+1垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为y＝﹣x+2　 ． 【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出直线的斜率，进一步利用斜截式求出直线的方程． 【解答】解：由于直线y＝x+1的斜率k＝1， 所以与之垂直的直线的斜率为：﹣1，在y轴上的截距为2， 故所求直线的方程为：y＝﹣x+2． 故答案为：y＝﹣x+2． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，直线垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 13．已知点A（﹣2，1），B（﹣1，0），C（2，3），D（a，3）四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 　　 ． 【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得a2的值，再根据两点间距离公式即可求得结果． 【解答】解：设过A、B、C的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）， 由已知得，解得， 所以过A、B、C的圆的方程为：x2+y2﹣4y﹣1＝0， 又因为点D在此圆上， 所以a2+32﹣4×3﹣1＝0，解得a2＝4， 所以点D到坐标原点O的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的方程，属于基础题． 14．已知A为椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点，点M、N的坐标分别为（0，t）和（0，﹣t）（0＜t＜a），点P、Q分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且MP∥NQ，直线AP和AQ的斜率之差为﹣6，∠PAQ，则椭圆的离心率为　　 ． 【分析】根据题意作出图形，分析可得点P和点Q关于原点对称，设直线AP斜率为k1，直线AQ斜率为k2，P（x，y），则Q（﹣x，﹣y），k1﹣k2＝﹣6，根据∠PAQ，可得k1k2的值，将其用坐标表示，利用点再椭圆上消元，整理可得，可得解得离心率． 【解答】解：如图， 由点M、N的坐标分别为（0，t）和（0，﹣t）（0＜t＜a），MP∥NQ， 以及椭圆关于原点对称，可得点P和点Q关于原点对称， 设直线AP斜率为k1，直线AQ斜率为k2，P（x，y）， 则Q（﹣x，﹣y），k1﹣k2＝﹣6， 因为∠PAQ，所以1，得k1k2＝﹣7， 即7，即7， 所以，椭圆的离心率为e． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求椭圆的离心率，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知△ABC的顶点B（1，4），AB边上的中线CM所在直线方程为x+3y﹣6＝0，∠BAC的角平分线方程为x﹣y+1＝0． （1）求A点的坐标和直线AC的方程； （2）求BC边上的高所在直线方程． 【分析】（1）由点A在∠BAC的角平分线x﹣y+1＝0上，设A点坐标为（t，t+1），可得点M坐标，结合CM所在直线求出t的值，即可得到点A的坐标； 求出直线AB的方程，设出直线AC的方程，由角平分线上一点到两直线距离相等列式求出参数，进而求解． （2）联立AC方程与CM方程，求出点C的坐标，再由直线BC的斜率求出高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可． 【解答】解：（1）因为点A在∠BAC的角平分线x﹣y+1＝0上，所以设A点坐标为（t，t+1）， 所以AB边的中点M坐标为， 由于M在中线CM所在直线x+3y﹣6＝0上， 所以， 解得t＝﹣1，故A点坐标为（﹣1，0）． 直线AB的方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0． 设直线AC的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0， 因为∠BAC的角平分线方程为x﹣y+1＝0， 令x＝0，可得y＝1，所以∠BAC的角平分线与y轴交于点D（0，1）， 所以，解得k＝2（舍）或， 故直线AC的方程为x﹣2y+1＝0． （2）联立AC方程与CM方程解得C点坐标为． 所以，故BC边上高的斜率为，且过A点（﹣1，0）， 所以BC边上的高所在直线方程为：，整理得4x﹣13y+4＝0． 【点评】本题考查直线的方程、两条相交直线的交点、点到直线的距离公式等，属于中档题． 16．（15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p1（0＜p1＜1），收到0的概率为1﹣p1；发送1时，收到0的概率为p2（0＜p2＜1），收到1的概率为1﹣p2．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求p2的取值范围． 【分析】（1）①记事件A为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算能求出至少收到一次0的概率． ②记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”，证明P（BC）＝P（B）P（C），由此能证明事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，根据P（M）＞P（N），能求出p2的取值范围． 【解答】解：（1）①记事件A为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为P（A）． ②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”， 则P（B）＝1， P（C）， P（BC）， ∵P（BC）＝P（B）P（C）， ∴事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”， P（M）， P（N）＝p2， 根据题意得P（M）＞P（N）， ∴p2， ∵0＜p2＜1，∴，， 解得， ∴p2的取值范围是（）． 【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（15分）已知椭圆C：的长半轴长等于焦距，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 【分析】（1）结合已知求解椭圆方程即可． （2）当直线MN与x轴重合时，四边形AMBN显然不存在．不妨设直线MN：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线和椭圆方程进而求解． 【解答】解：（1）由椭圆C：的长半轴长等于焦距，且过点， 得， 又∵a2＝b2+c2，解得， 则椭圆C的方程为； （2）当直线MN与x轴重合时，四边形AMBN显然不存在． 不妨设直线MN：x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2）， 将直线方程与椭圆C：联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，显然Δ＞0恒成立， 则，且y1，y2异号． 则四边形AMBN的面积|y2|＝2|AB||y1﹣y2|＝2， 令，四边形AMBN的面积可化为． ∵函数在[，+∞）上单调递增，则， ∴四边形AMBN的面积的取值范围为（0，6]． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用以及椭圆的标准方程，属于中档题． 18．（17分）如图1，直角梯形ABED中，AB＝AD＝1，DE＝2，AD⊥DE，BC⊥DE，以BC为轴将梯形ABED旋转180°后得到几何体W，如图2，其中GF，HE分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，直线PF∥平面BHQ． （1）证明：平面BHQ⊥平面PGH； （2）若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于，求P到平面BHQ的距离； （3）若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值为，求HQ． 【分析】（1）设平面BHQ与几何体W的上底面交于点M，利用面面平行的性质定理，可得BM∥HQ，再由PF∥平面BHQ，PF⊂平面PGF，推出PF∥BM， 从而有PF∥HQ，然后证明HQ⊥PG，GH⊥HQ，即可得HQ⊥平面PGH，进而得证； （2）连接CQ，由HQ⊥平面PGH，知tan∠HGQ，由PF∥平面BHQ，将问题转化为求点F到平面BHQ的距离，再利用等体积法求解即可； （3）分别取BH，HQ的中点I，N，连接IN，CI，CN，利用平面ICN∥平面BEQ，将问题转化为平面BHQ与平面ICN夹角的余弦值为，再利用三垂线定理寻找平面与平面的夹角，结合等面积法，射影定理，锐角三角函数等，求解即可． 【解答】（1）证明：设平面BHQ与几何体W的上底面交于点M，即平面BHQ∩平面PGF＝BM， 因为平面PGF∥平面EHQ，平面BHQ∩平面EHQ＝HQ， 所以BM∥HQ， 因为PF∥平面BHQ，PF⊂平面PGF，平面BHQ∩平面PGF＝BM，所以PF∥BM， 所以PF∥HQ， 又PF⊥PG，所以HQ⊥PG， 由题意知，GH⊥平面EHQ， 因为HQ⊂平面EHQ，所以GH⊥HQ， 又PG∩GH＝G，所以HQ⊥平面PGH， 又HQ⊂平面BHQ， 所以平面BHQ⊥平面PGH． （2）解：连接CQ， 由（1）知HQ⊥平面PGH， 所以∠HGQ就是直线GQ与平面PGH所成角，即tan∠HGQ， 因为GH＝1，所以HQ，EQ，即△HEQ是等腰直角三角形， 所以CQ＝CH＝1，BQ＝BH，即△BHQ是等边三角形， 所以S△BHQ， 因为平面EFGH⊥平面EHQ， 所以点Q到平面EFGH的距离为h＝HQsin45°1， 因为PF∥平面BHQ， 所以P到平面BHQ的距离等价于点F到平面BHQ的距离，设为d， 所以VP﹣BHQ＝VF﹣BHQ＝VQ﹣BFH， 所以d•S△BHQh•S△BFH， 而S△BFHBF•GH， 所以d， 故P到平面BHQ的距离为． （3）解：分别取BH，HQ的中点I，N，连接IN，CI，CN，则IN∥BQ，CI∥BE， 因为IN∩CI＝I，IN、CI⊂平面ICN，BQ∩BE＝B，BQ、BE⊂平面BEQ， 所以平面ICN∥平面BEQ， 若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值为，则平面BHQ与平面ICN夹角的余弦值也为， 因为N是HQ的中点，CH＝CQ，BH＝BQ， 所以CN⊥HQ，BN⊥HQ， 又CN∩BN＝N，所以HQ⊥平面BCN， 因为HQ⊂平面BHQ，所以平面BHQ⊥平面BCN， 连接BN，过点C作OC⊥BN于点O， 因为平面BHQ∩平面BCN＝BN，OC⊂平面BCN，所以OC⊥平面BHQ， 过点O作OK⊥IN于点K，连接CK，则∠OKC即为平面BHQ与平面ICN夹角，也即cos∠OKC， 所以tan∠OKC＝2， 设CN＝t（t＞0），则BN， 因为S△BCNCN•BCOC•BN，所以OC， 因为IN∥BQ， 所以cos∠INO＝cos∠NBQ，sin∠INO， 在Rt△BCN中，由射影定理知，CN2＝ON•BN， 所以ON， 在Rt△OKN中，sin∠INO， 所以OK•ON•， 在Rt△OCK中，tan∠OKC＝2，整理得， 解得，即t， 所以HQ＝2HN＝22． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面平行或垂直的判定与性质定理，利用几何法求点到面的距离、平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 19．（17分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）． （1）已知点P（3，1）和点R（﹣1，4），直线l：x＝1，求d（P，R）和d（P，l）． （2）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆E：． （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若a＞0，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且d（M，N）＝3，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为l1，直线BN为l2，证明：d（M，l1）＝d（M，l2）． 【分析】（I）根据“切比雪夫距离”定义计算； （Ⅱ）（i）转化为圆与圆的位置关系判定即可； （ii）运用直线与圆联立，借助韦达定理证明即可． 【解答】解：（I）根据切比雪夫距离的定义，设l上任意一点为Q（﹣1，y）， d（P，R）＝max{|1+1|，|1﹣4|}＝max{2，3}＝3． 则d（P，Q）＝max{|1+1|，|1﹣y|}＝max{2，|1﹣y|}． 当|1﹣y|≥2时，d（P，Q）＝|1﹣y|≥2； 当|1﹣y|＜2时，d（P，Q）＝2， ∴d（P，Q）的最小值为2，故d（P，l）＝2． （Ⅱ）（i）由题可知圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，∴圆心为C（1，0），半径r1＝2．由圆E的方程知圆心为，半径． ． 当，即时，由，解得， ∴． 此时，∴圆C与圆E相切． 当，即时，由，解得a＝1，∴． 此时，∴圆C与圆E相切． （ii）∵M，N都在x轴上，∴|MN|＝d（M，N）＝3， ∴，得或（舍去）． 此时圆，令y＝0，解得x＝2或x＝5， ∵点M在圆C外，∴M（5，0），N（2，0）． 由题意设直线AB的方程为x＝my+5，A（xA，yA），B（xB，yB）． 由可得（m2+1）y2+8my+12＝0， 当Δ＝64m2﹣48（m2+1）＞0，即∴时， 有． ， ∵，∴kAN+kBN＝0， ∴直线l1与l2关于x轴对称，即关于直线MN对称， 由对称性知d（M，l1）＝d（M，l2）． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，新定义的应用，是中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若直线l1：（m﹣1）x+y+2＝0与直线l2：2x+my+4＝0平行，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．1 2．已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 3．“k＞4”是“方程x2+y2+kx+（k﹣2）y+5＝0表示圆的方程”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设直线l的方程为x+ysinθ﹣1＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A．（0，π） B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，0），B（5，0），且动点M满足，则|OM|的取值范围是（　　） A．（4，6） B．[4，6] C．（4，8） D．[4，8] 6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（　　） A． B． C． D． 7．已知F1，F2，B分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点和上顶点，连接BF1并延长交椭圆C于点P，若△PF2B为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：（x+3）2+（y﹣4）2＝4上．若椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，且|PQ|﹣|PF|的最小值为，则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题正确的有（　　） A．若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线l的一个方向向量为（3，﹣2）且过点（2，1），则l的方程为2x+3y﹣7＝0 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的任一点，则下列结论正确的有（　　） A．椭圆C与椭圆C'：1有相同的焦点 B．直线PA1，PA2的斜率之积为 C．存在点P满足|PF1|•|PF2|＝2a2 D．若△PF1F2为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为或 11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ＞0，且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是（　　） A．C的方程为（x+4）2+y2＝16 B．当A，B，P三点不共线时，则∠APO＝∠BPO C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| D．若D（2，2），则|PB|+2|PD|的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．与直线y＝x+1垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为　 　 ． 13．已知点A（﹣2，1），B（﹣1，0），C（2，3），D（a，3）四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 　 　 ． 14．已知A为椭圆C：1（a＞b＞0）的上顶点，点M、N的坐标分别为（0，t）和（0，﹣t）（0＜t＜a），点P、Q分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且MP∥NQ，直线AP和AQ的斜率之差为﹣6，∠PAQ，则椭圆的离心率为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知△ABC的顶点B（1，4），AB边上的中线CM所在直线方程为x+3y﹣6＝0，∠BAC的角平分线方程为x﹣y+1＝0． （1）求A点的坐标和直线AC的方程； （2）求BC边上的高所在直线方程． 16．（15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p1（0＜p1＜1），收到0的概率为1﹣p1；发送1时，收到0的概率为p2（0＜p2＜1），收到1的概率为1﹣p2．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求p2的取值范围． 17．（15分）已知椭圆C：的长半轴长等于焦距，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 18．（17分）如图1，直角梯形ABED中，AB＝AD＝1，DE＝2，AD⊥DE，BC⊥DE，以BC为轴将梯形ABED旋转180°后得到几何体W，如图2，其中GF，HE分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，直线PF∥平面BHQ． （1）证明：平面BHQ⊥平面PGH； （2）若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于，求P到平面BHQ的距离； （3）若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值为，求HQ． 19．（17分）在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）． （1）已知点P（3，1）和点R（﹣1，4），直线l：x＝1，求d（P，R）和d（P，l）． （2）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0和圆E：． （i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系； （ii）若a＞0，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且d（M，N）＝3，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为l1，直线BN为l2，证明：d（M，l1）＝d（M，l2）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $