专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7．D 8．B 9．C 10．C 11．D 12．BC 13．BCD 14．A 15．【答案】 【分析】 根据直线平行求得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】 直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，， 则，解得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 16．【答案】 【分析】 由两直线垂直的条件列方程求解． 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为： 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. (1) 小问详解： 由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. (2) 小问详解： 依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 考点02 直线的方程 1．A 2．C 3．A 4．A 5．D 6．A 7．AD 8．ABD 9．D 10．D 11．【答案】 【分析】 根据两直线垂直的斜率关系，及直线的斜截式方程即可求解. 【详解】 设该直线方程为， 直线与垂直，则， 直线在y轴上的截距为2，则， 所以该直线方程为. 故答案为：. 12．【答案】（1）直线的方程为，的方程为；     （2）或.      【分析】 （1）应用两点求斜率，再由点斜式写出为，根据垂直关系，可设为，利用点线距离列方程求参数，即可得方程； （2）首先求出直线与的交点，讨论的截距是否为0，结合截距式，分别求出对应满足条件的直线方程. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设直线的斜率为，而，所以，则， 可设直线的方程为， 原点到直线的距离，解得， 因为原点在直线的斜上方，则， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 联立 ，得 ，所以直线与的交点坐标为， 当直线过原点时，设为，则，则直线为，即， 当直线不过原点时，设为，则，得，则直线为， 综上，直线的方程为或. 13．【答案】 【分析】 先求直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 以向量为方向向量的直线的斜率为， 则过点的直线的方程为， 即， 则点到直线的距离. 故答案为：. 14．【答案】或 【分析】 分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】 当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 15．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线得斜率关系，从而得直线的方程，联立 ，解得即可求得的坐标； （2）设，结合中线方程求得的值，从而得的坐标，从而求直线的斜率，从而得直线的方程. (1) 小问详解： 由题意知，，则，故， 则直线的方程为，即， 联立 ，得顶点； (2) 小问详解： 设，则中点的坐标为， 将其代入中线方程，得，故， 则， 所以直线的方程为，即. 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据给定条件，结合轴对称求出直线方程. （2）由（1）求出的外接圆方程，直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长. (1) 小问详解： 在中，由边上的高所在直线的方程为，得垂直于轴， 而，点在上，则， 设关于直线的对称点为，则 ，解得 ， 即点在直线上，直线的斜率， 所以直线所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）得点，线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为，由 得的外接圆圆心为， 该圆半径为，方程为， 由直线，得， 则 ，解得 ，因此直线过定点，，即点在圆内， 则直线与圆相交，当直线被圆截得的弦长最小时，直线， 所以直线被的外接圆截得的弦长最小值为. 18．【答案】（1），直线的方程为     （2）      【分析】 （1）设，则线段的中点，根据点在直线方程上，点在直线上，列方程组求出，得点的坐标；求出点关于的角平分线的对称点的坐标，利用两点式方程求出直线的方程； （2）联立中线与直线的方程，求得点的坐标，可得，从而得得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程求出边上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 设，点，则线段的中点， ∵点在直线方程上， ∴，即① ， ∵点在直线上，∴② ， 联立① ② 解得，故， 设点关于的角平分线的对称点为， 则 ，解得，即， 由题意在直线上， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 联立中线与直线的方程，得 ， 解得，即， 所以， 则边上的高所在直线的斜率为， 又在高线上， 所以边上的高所在直线方程，即. 19．【答案】或 【分析】 由题意可知点，均在直线上，又在直线上，可求得，进而求出，得出所求直线的方程. 【详解】 根据，成立， 可知点，均在直线上， 且有两个不等实根，则， 又在直线上，则，得， 所以，均满足， 当，时，所求直线方程为，即； 当，时，所求直线方程为，即， 故答案为：或. 20．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程， （2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程. (1) 小问详解： 设边上的高为， ∵直线与垂直，又直线的斜率， ∴的斜率. 又∵直线过点， ∴的方程为，整理成一般方程为. (2) 小问详解： ∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等， ∴直线与平行或过的中点. ① 当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为； ② 当直线过的中点时，直线的斜率且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为. 综上，直线的方程为或. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．A 2．C 3．C 4．D 5．BD 6．C 7．A 8．ABD 9．【答案】 【分析】 利用平行直线间的距离公式从而求解. 【详解】 由题意得，可化为， 所以两直线的距离为， 故答案为：. 10．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两点式方程，化简整理，即可得答案. （2）先求得BC长，根据面积，可求得点A到直线BC的距离，结合点到直线距离公式，化简计算，即可得答案. (1) 小问详解： 由两点式方程得边所在的直线方程为，整理得． (2) 小问详解： ∵， 设到直线BC距离为d，则，∴． ∴，联立， 解得，或，， ∴A的坐标为或． 11．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据给定条件，求出直线方程，进而求出点坐标，利用轴对称，结合直线的点斜式方程求解. （2）由已知可得直线l过边AC的中点或，再利用直线点斜式方程分类求解. (1) 小问详解： 由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为，即， 而的角平分线CD所在的直线方程为，由 ， 解得 ，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则 ，解得 ，即，直线的斜率， 所以直线AC的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点， 由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或， 当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线l的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 12．【答案】 【分析】 根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】 由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 13．【答案】（1），；     （2）；     （3）      【分析】 （1）已知，利用此公式求出，利用点斜式得到直线，利用两点间距离公式求出； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，求出即为所求； （3）显然的角平分线所在直线的斜率存在，设的角平分线所在直线的斜率为，利用点斜式设出此直线方程在角平分线上取不同于的一点，求出直线方程，利用角平分线性质：点到的距离相等，求出点到的距离，建立等式计算得到，由图形观察对进行取舍，从而得到的角平分线所在的直线方程. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； (3) 小问详解： 设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：.    14．【答案】0 【分析】 先求出点的坐标，再利用的面积为2，得到关于的方程，从而求得答案. 【详解】 设点，则 ，解得，则， 设直线与联立，解得，则， 因为直线的方程为，且， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：0 15．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先求出直线的交点坐标，然后根据两直线平行设出直线的方程，最后将交点坐标代入求出参数值即可求出直线的方程. （2）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求出符合题意的直线方程. (1) 小问详解： 联立直线方程组为 ，解得 . 所以直线的交点坐标为. 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将交点坐标代入可求得. 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知直线过点， 当直线的斜率不存在时，，此时点到该直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，因为点到该直线的距离为2， 所以，化简得， 等式两边平方化简得，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. (1) 小问详解： 如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得 ， 解得 ，所以垂心； (2) 小问详解： ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得 ， 解得 ，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. (3) 小问详解： 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以 ， 整理得 ，解得 ， 所以，所以到直线的距离为． 考点04 圆的方程 1．C 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．D 9．【答案】（ 或） 【分析】 先求得圆的圆心和半径，根据点关于直线对称点的求法，可求得圆心关于直线的对称点，分析即可得答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为2， 设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，即对称点坐标为， 所以对称圆的方程为. 故答案为：（ 或） 10．【答案】 【分析】 设点的坐标，应用角平分线定理得出，利用坐标公式得到点坐标代入圆的方程即可； 【详解】 由题意知， 设，， 因为是的平分线，所以，所以， 所以， 所以 ，所以 ， 将点代入圆的方程，可得， 所以的轨迹方程为； 故答案为：. 11．【答案】（1）（，）     （2）      【分析】 （1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. (1) 小问详解： 以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以 ，解得 ， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. (2) 小问详解： 如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】 关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 12．【答案】 【分析】 根据阿氏圆的知识，设，，，进而待定系数得，所以,进而将问题转化为求的最小值问题即可求解. 【详解】 根据题意，设，，， 所以， 整理后得：， 又因为点的轨迹为圆，即圆， 所以 ，解得，所以. 所以 当且仅当三点共线时取得最小值，即点为图中点时，取得最小值. 此时，直线的方程为：，即， 所以，联立方程 得 或 即直线与圆的交点坐标为或 由题知，故舍去， 所以点的坐标为. 故答案为： 13．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设圆的标准方程为，由圆心在直线得到，由圆经过点，得到，根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，联立方程组计算得解； （2）由，根据对称性得到，则在Rt中，可解得，从而得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为，又在直线上，联列方程组解得点的坐标. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，① 因为圆经过点，所以，② 因为圆与直线相切，所以，③ 联立① ② ③ 解得，，， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 因为，由对称性可知，故， 在Rt中，，，解得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为， 又因为在直线上， 联列方程组 ，解得 或 ， 所以点的坐标为或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（     ） A. 0 B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）直线的倾斜角范围是 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知直线，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知直线，，则是的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即 ，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为 （为参数），则该直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）直线和的位置关系是（       ） A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定 9．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知直线与平行，那么k的值为（       ） A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2 10．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）若直线：的倾斜角为，则实数值为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·湖北·期中）与直线垂直的直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知三条直线，，，下列结论正确的是（       ） A.  B. 三条直线的斜率之积为1 C. 三条直线的倾斜角之和为135° D. 三条直线在轴上的截距之和为12a 13．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（       ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 14．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线与直线平行，则直线的倾斜角是　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·湖北·期中）直线，直线，若，则　　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）直线在轴上的截距为（     ） A.  B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）如果，那么直线不经过的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知直线的倾斜角为，则（       ） A. 3 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知直线的方向向量为且经过两点，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）（多选）下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（　　） A. 当变化时，方程表示的直线过定点 B. 等腰三角形中，，则点的轨迹方程为 C. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于为坐标原点，则的最小值为6 D. 过点作直线与轴，轴分别交于为坐标原点，若的面积为4，则这样的直线有3条 8．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）（多选）已知：，：，则下列说法正确的是（     ） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 9．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）下列说法正确的是（　　） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点的直线方程为 10．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·湖北·期中）已知直线经过两点，，原点在直线的斜上方且到的距离为. （1）求直线和直线的方程； （2）已知直线在轴和轴上的截距互为相反数，且直线经过直线与直线的交点，求直线的方程. 13．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 16．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 17．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）中，，边上的高所在直线的方程为，角的角平分线所在直线的方程为. （1）求所在的直线方程； （2）已知：直线（其中为参数），求直线被的外接圆截得的弦长最小值（其中为坐标原点）. 18．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为. （1）求点的坐标和直线的方程； （2）求边上的高所在直线方程. 19．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B. 点为平面上的一点，点为平面外的一点，若，则 C. 若向量，夹角为钝角，则的取值范围为 D. 已知，，若，则 6．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知，函数的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（     ） A. 0或6 B. 或7 C. 6 D. 7 8．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 9．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）两平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． （1）求边所在的直线方程； （2）若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 11．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在的直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 12．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）平面直角坐标系内，点，， （1）求直线的方程和线段长度； （2）求三角形的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程. 14．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则　　　　　　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）直线经过两条直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为2，求直线的方程. 16．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·湖北·期中）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A.  B. 5 C.  D. 4 5．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）曲线的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（     ） A. 9 B. 5 C.  D.  8．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）与圆关于直线对称的圆的方程为　　　　　　． 10．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. （1）建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； （2）为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 12．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是　　　　　　　　. 13．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 4大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（     ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】 设该直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将方程变为斜截式，可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】 直线，变形可得， 所以斜率， 又倾斜角，， 所以. 故选：A 3．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）直线的倾斜角范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．（25-26学年高二上·湖北随州·期中）已知直线，则“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】 ，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】 由直线，得， 所以直线的斜率为，得，所以倾斜角. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）已知直线，，则是的（       ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据或重合，找到平行的充要条件，再根据充分、必要条件定义判断. 【详解】 当或重合时，，，或， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 7．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定.设直线经过点，它的一个方向向量是，是直线上的任意一点，则存在唯一的实数，使，即 ，我们把这个方程称为直线的参数方程.已知直线的参数方程为 （为参数），则该直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先得到直线的方向向量，即可求出斜率，从而求出倾斜角. 【详解】 因为直线的参数方程为 （为参数），所以直线的方向向量， 所以直线的斜率，又，则. 故选：D 8．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）直线和的位置关系是（       ） A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定 【答案】B 【分析】 先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】 由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 9．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知直线与平行，那么k的值为（       ） A. 1或3 B. 1或5 C. 3或5 D. 1或2 【答案】C 【分析】 讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法. 【详解】 当时，两直线为，满足题意； 当时，因已知两条直线平行，所以，解得. 另解：把代入已知两条直线方程，得与， 此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以，排除A，B，D. 故选：C 10．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）若直线：的倾斜角为，则实数值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】 由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·湖北·期中）与直线垂直的直线的倾斜角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由垂直两直线斜率关系以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】 由题意得直线，即的斜率为， 则与直线垂直的直线的斜率为， 设与直线垂直的直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：D 12．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）（多选）已知三条直线，，，下列结论正确的是（       ） A.  B. 三条直线的斜率之积为1 C. 三条直线的倾斜角之和为135° D. 三条直线在轴上的截距之和为12a 【答案】BC 【分析】 分别将三直线转化成点斜式，进而分析斜率和纵截距，根据斜率关系判断ABC；根据纵截距判断D. 【详解】 设三条直线对应斜率为，倾斜角为， ，； ，； ，， 对于A：因为，所以不垂直于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 因为，则，可得， 所以三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确； 对于D：三条直线在y轴上的截距之和为，故D错误. 故选：BC. 13．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（       ） A. 任意一条直线都有倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D. 分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】 任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 14．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】 直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，    或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 15．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线与直线平行，则直线的倾斜角是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线平行求得直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】 直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，， 则，解得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·湖北·期中）直线，直线，若，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由两直线垂直的条件列方程求解． 【详解】 由题意可得，解得. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. (1) 小问详解： 由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. (2) 小问详解： 依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）直线在轴上的截距为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 利用直线在轴上的截距的内涵求解即可. 【详解】 令则 直线在轴上的截距为， 故选：A. 2．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）如果，那么直线不经过的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】 由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 3．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知直线的倾斜角为，则（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出直线的斜率，再应用同角三角函数的基本关系弦化切求值. 【详解】 由题可知直线的斜率为，所以. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】 由 ，解得 ，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 5．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知直线的方向向量为且经过两点，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 根据求解即可. 【详解】 因为，所以， 又直线的方向向量为，所以，故，即. 故选：D 6．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角. 【详解】 已知直线的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率. 因为直线的斜率，且，所以. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）（多选）下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（　　） A. 当变化时，方程表示的直线过定点 B. 等腰三角形中，，则点的轨迹方程为 C. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于为坐标原点，则的最小值为6 D. 过点作直线与轴，轴分别交于为坐标原点，若的面积为4，则这样的直线有3条 【答案】AD 【分析】 令的系数为零，解方程组 ，求得直线所过定点，判断A；设点C的坐标，根据，求得点C的轨迹方程，并去掉与共线时的两点，判断B；据题意设直线的截距式方程，利用基本不等式求得的最小值，判断C；分情况讨论直线与轴，轴交点的位置，分别求出对应的直线，判断D. 【详解】 对于A，由 ，得 方程表示的直线过定点故A正确． 对于B，设，由得： 点的轨迹方程为且去掉两点，故B错误. 对于C，由题可设直线，则 所以， 当且仅当，即，也即时取等号， 所以的最小值为，故C错误 对于D，设，则有． 当时，， ，由，有， 当时，，有且， 解得：， 当时，，同理可得， 共3条直线，故D正确. 故选：AD. 8．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）（多选）已知：，：，则下列说法正确的是（     ） A. 的充要条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】ABD 【分析】 结合两直线平行性质，利用充要条件概念判断A；利用两直线垂直建立方程求解即可判断B；将直线化为斜截式后利用纵截距列不等式求解判断C；先求出直线关于原点对称的直线，利用纵截距列式求解判断D. 【详解】 对于A：若，则，即，解得或， 当时，：，：，则，符合题意； 当时，：，：，则，符合题意， 所以的充要条件是或，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：：即， 若直线：不经过第四象限，则 ，解得，故C错误； 对于D：直线：关于原点对称后得到的直线为，则纵截距为，解得，故D正确． 故选：ABD 9．（25-26学年高二上·湖北圆创教育联·期中）下列说法正确的是（　　） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点的直线方程为 【答案】D 【分析】 根据直线的截距式概念判断A；举反例判断B；根据直线平行求参数，再利用充要条件定义判断C；根据直线两点式方程及一般方程的概念判断D. 【详解】 对于A，截距相等且为0的直线不可以用方程表示，错误； 对于B，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，错误； 对于C，因为直线与直线平行， 所以 ，解得， 所以“”是“直线与互相平行”的充要条件，错误； 对于D，当时，直线的斜率存在，直线方程为， 即． 当时，直线的斜率不存在，直线方程为， 此时满足方程．所以D正确． 故选：D 10．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分别求出的重心与垂心坐标，即可求出的欧拉线方程. 【详解】 由题意知：的重心坐标为， ,， 所以边上的高所在直线为：， 所以边上的高所在直线为：， 联立两直线得： ， 所以的垂心坐标为， 所以的欧拉线方程为：. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两直线垂直的斜率关系，及直线的斜截式方程即可求解. 【详解】 设该直线方程为， 直线与垂直，则， 直线在y轴上的截距为2，则， 所以该直线方程为. 故答案为：. 12．（25-26学年高二上·湖北·期中）已知直线经过两点，，原点在直线的斜上方且到的距离为. （1）求直线和直线的方程； （2）已知直线在轴和轴上的截距互为相反数，且直线经过直线与直线的交点，求直线的方程. 【答案】（1）直线的方程为，的方程为；     （2）或.      【分析】 （1）应用两点求斜率，再由点斜式写出为，根据垂直关系，可设为，利用点线距离列方程求参数，即可得方程； （2）首先求出直线与的交点，讨论的截距是否为0，结合截距式，分别求出对应满足条件的直线方程. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设直线的斜率为，而，所以，则， 可设直线的方程为， 原点到直线的距离，解得， 因为原点在直线的斜上方，则， 所以直线的方程为； (2) 小问详解： 联立 ，得 ，所以直线与的交点坐标为， 当直线过原点时，设为，则，则直线为，即， 当直线不过原点时，设为，则，得，则直线为， 综上，直线的方程为或. 13．（25-26学年高二上·湖北级示范高中教育教学改革联盟学校·期中）已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 以向量为方向向量的直线的斜率为， 则过点的直线的方程为， 即， 则点到直线的距离. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】 当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 15．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求边所在直线方程； （2）求点和点的坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）先利用上的高所在方程求出斜率，再利用点斜式求出方程； （2）先利用是与中线的交点，联立直线与方程求出点坐标，利用是中点，结合在上的高所在直线方程上，求出点坐标． (1) 小问详解： 上的高所在直线方程为，斜率为， 而与其高所在直线垂直，，解得， ，根据点斜式得，整理得． (2) 小问详解： 是与中线的交点，联立直线与方程 得， ， . 设点，是的中线，为中点，，， 又在直线上，，整理得， 又在上的高所在直线方程上，联立 ，解得 ， ． 16．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线得斜率关系，从而得直线的方程，联立 ，解得即可求得的坐标； （2）设，结合中线方程求得的值，从而得的坐标，从而求直线的斜率，从而得直线的方程. (1) 小问详解： 由题意知，，则，故， 则直线的方程为，即， 联立 ，得顶点； (2) 小问详解： 设，则中点的坐标为， 将其代入中线方程，得，故， 则， 所以直线的方程为，即. 17．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）中，，边上的高所在直线的方程为，角的角平分线所在直线的方程为. （1）求所在的直线方程； （2）已知：直线（其中为参数），求直线被的外接圆截得的弦长最小值（其中为坐标原点）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据给定条件，结合轴对称求出直线方程. （2）由（1）求出的外接圆方程，直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长. (1) 小问详解： 在中，由边上的高所在直线的方程为，得垂直于轴， 而，点在上，则， 设关于直线的对称点为，则 ，解得 ， 即点在直线上，直线的斜率， 所以直线所在的直线方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）得点，线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为，由 得的外接圆圆心为， 该圆半径为，方程为， 由直线，得， 则 ，解得 ，因此直线过定点，，即点在圆内， 则直线与圆相交，当直线被圆截得的弦长最小时，直线， 所以直线被的外接圆截得的弦长最小值为. 18．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线方程为. （1）求点的坐标和直线的方程； （2）求边上的高所在直线方程. 【答案】（1），直线的方程为     （2）      【分析】 （1）设，则线段的中点，根据点在直线方程上，点在直线上，列方程组求出，得点的坐标；求出点关于的角平分线的对称点的坐标，利用两点式方程求出直线的方程； （2）联立中线与直线的方程，求得点的坐标，可得，从而得得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程求出边上的高所在直线方程. (1) 小问详解： 设，点，则线段的中点， ∵点在直线方程上， ∴，即① ， ∵点在直线上，∴② ， 联立① ② 解得，故， 设点关于的角平分线的对称点为， 则 ，解得，即， 由题意在直线上， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 联立中线与直线的方程，得 ， 解得，即， 所以， 则边上的高所在直线的斜率为， 又在高线上， 所以边上的高所在直线方程，即. 19．（25-26学年高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中）已知，，则同时经过三个点，，的直线方程为　　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由题意可知点，均在直线上，又在直线上，可求得，进而求出，得出所求直线的方程. 【详解】 根据，成立， 可知点，均在直线上， 且有两个不等实根，则， 又在直线上，则，得， 所以，均满足， 当，时，所求直线方程为，即； 当，时，所求直线方程为，即， 故答案为：或. 20．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程， （2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程. (1) 小问详解： 设边上的高为， ∵直线与垂直，又直线的斜率， ∴的斜率. 又∵直线过点， ∴的方程为，整理成一般方程为. (2) 小问详解： ∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等， ∴直线与平行或过的中点. ① 当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为； ② 当直线过的中点时，直线的斜率且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为. 综上，直线的方程为或. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案. 【详解】 设与直线关于轴对称的直线的上一点为， 则在直线上，即得，即， 故与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：A 2．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）若直线：与：（）平行，则与间的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解． 【详解】 因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为． 故选：C． 3．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 利用点到直线的距离求解. 【详解】 ，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·湖北襄阳第四中学·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求直线与的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可. 【详解】 联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 5．（25-26学年高二上·湖北部分重点学校·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B. 点为平面上的一点，点为平面外的一点，若，则 C. 若向量，夹角为钝角，则的取值范围为 D. 已知，，若，则 【答案】BD 【分析】 对于A：根据概率的意义分析判断；对于B：根据四点共面的推论运算求解；对于C：根据空间向量的坐标运算求解；对于D：根据直线方程结合交集运算求解. 【详解】 对于选项A：因为其次品率为0.05，从中任取200件，其结果是随机的，不可能是确定的，故A错误； 对于选项B：因为，且四点共面， 则，所以，故B正确； 对于选项C：若向量，夹角为钝角， 则，解得， 若向量，共线， 则，解得， 所以的取值范围为且，故C错误； 对于选项D：对于，可得，且， 即集合A表示直线，点除外， 对于，即， 即集合B表示过定点，且斜率为的直线， 若，可知两直线重合，则，即， 故时，，故D正确； 故选：BD. 6．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知，函数的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，化简得，转化为点到点和到直线的距离之和的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】 由函数， 可得， 则， 因为表示点到定点的距离， 表示点到直线的距离， 所以表示点到点和到直线的距离之和的倍， 如图所示，过点作，垂足为， 当点在线段上时，可得， 所以的最小值为. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（     ） A. 0或6 B. 或7 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】 设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（       ） A.  B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【分析】 首先求出点A，B的坐标，可判断选项A的正误；判断两条直线的位置关系可判断选项B的正误；根据基本不等式链可判断选项C，D的正误. 【详解】 由，得． 因为，所以 ，得． 由，得． 因为，所以 ，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 9．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）两平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用平行直线间的距离公式从而求解. 【详解】 由题意得，可化为， 所以两直线的距离为， 故答案为：. 10．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． （1）求边所在的直线方程； （2）若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两点式方程，化简整理，即可得答案. （2）先求得BC长，根据面积，可求得点A到直线BC的距离，结合点到直线距离公式，化简计算，即可得答案. (1) 小问详解： 由两点式方程得边所在的直线方程为，整理得． (2) 小问详解： ∵， 设到直线BC距离为d，则，∴． ∴，联立， 解得，或，， ∴A的坐标为或． 11．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. （1）求边所在的直线方程； （2）若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据给定条件，求出直线方程，进而求出点坐标，利用轴对称，结合直线的点斜式方程求解. （2）由已知可得直线l过边AC的中点或，再利用直线点斜式方程分类求解. (1) 小问详解： 由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为，即， 而的角平分线CD所在的直线方程为，由 ， 解得 ，则，设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则 ，解得 ，即，直线的斜率， 所以直线AC的方程为，即. (2) 小问详解： 由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点， 由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或， 当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线l的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 12．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】 由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·湖北十堰普通高中区县·期中）平面直角坐标系内，点，， （1）求直线的方程和线段长度； （2）求三角形的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程. 【答案】（1），；     （2）；     （3）      【分析】 （1）已知，利用此公式求出，利用点斜式得到直线，利用两点间距离公式求出； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，求出即为所求； （3）显然的角平分线所在直线的斜率存在，设的角平分线所在直线的斜率为，利用点斜式设出此直线方程在角平分线上取不同于的一点，求出直线方程，利用角平分线性质：点到的距离相等，求出点到的距离，建立等式计算得到，由图形观察对进行取舍，从而得到的角平分线所在的直线方程. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 点到直线的距离为：， 所以，即三角形的面积为； (3) 小问详解： 设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在， 则此直线方程为， 在角平分线上取不同于的一点， ，，， 直线方程为，即， 则由角平分线性质可知：点到的距离相等， 所以， 解得：， 由图形观察可知为外角平分线， 为内角平分线， 所以的角平分线所在直线为：.    14．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点且与直线相交于点，若的面积为2，则　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】0 【分析】 先求出点的坐标，再利用的面积为2，得到关于的方程，从而求得答案. 【详解】 设点，则 ，解得，则， 设直线与联立，解得，则， 因为直线的方程为，且， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：0 15．（25-26学年高二上·湖北孝感安陆第一高级中学·期中）直线经过两条直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为2，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先求出直线的交点坐标，然后根据两直线平行设出直线的方程，最后将交点坐标代入求出参数值即可求出直线的方程. （2）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求出符合题意的直线方程. (1) 小问详解： 联立直线方程组为 ，解得 . 所以直线的交点坐标为. 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将交点坐标代入可求得. 所以直线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知直线过点， 当直线的斜率不存在时，，此时点到该直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 即，因为点到该直线的距离为2， 所以，化简得， 等式两边平方化简得，解得. 此时直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 16．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. (1) 小问详解： 如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得 ， 解得 ，所以垂心； (2) 小问详解： ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得 ， 解得 ，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. (3) 小问详解： 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以 ， 整理得 ，解得 ， 所以，所以到直线的距离为． 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·湖北·期中）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 以点为圆心且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径 【详解】 将圆的一般方程化成标准方程为：，所以圆的圆心坐标为，半径为， 故选：B 3．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【详解】 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故 ，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 4．（25-26学年高二上·湖北云学联盟·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A.  B. 5 C.  D. 4 【答案】C 【分析】 在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】 ，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）曲线的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】 由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为. 6．（25-26学年高二上·湖北武汉新洲区部分学校·期中）已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】 设，由题可知，则， 即， 所以，所以点， 将点F的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为. 故选：C 7．（25-26学年高二上·湖北六校·期中）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（     ） A. 9 B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出圆心坐标即得的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】 圆的圆心为，则，即，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A 8．（25-26学年高二上·湖北武汉部分重点中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】 设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 9．（25-26学年高二上·湖北黄冈·期中）与圆关于直线对称的圆的方程为　　　　　　． 【答案】（ 或） 【分析】 先求得圆的圆心和半径，根据点关于直线对称点的求法，可求得圆心关于直线的对称点，分析即可得答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为2， 设关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，即对称点坐标为， 所以对称圆的方程为. 故答案为：（ 或） 10．（25-26学年高二上·湖北沙中学·期中）已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设点的坐标，应用角平分线定理得出，利用坐标公式得到点坐标代入圆的方程即可； 【详解】 由题意知， 设，， 因为是的平分线，所以，所以， 所以， 所以 ，所以 ， 将点代入圆的方程，可得， 所以的轨迹方程为； 故答案为：. 11．（25-26学年高二上·湖北部分省级示·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. （1）建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； （2）为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】（1）（，）     （2）      【分析】 （1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. (1) 小问详解： 以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以 ，解得 ， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. (2) 小问详解： 如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】 关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 12．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知点，，圆.在圆上求一点，使得的值最小，则点的坐标是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据阿氏圆的知识，设，，，进而待定系数得，所以,进而将问题转化为求的最小值问题即可求解. 【详解】 根据题意，设，，， 所以， 整理后得：， 又因为点的轨迹为圆，即圆， 所以 ，解得，所以. 所以 当且仅当三点共线时取得最小值，即点为图中点时，取得最小值. 此时，直线的方程为：，即， 所以，联立方程 得 或 即直线与圆的交点坐标为或 由题知，故舍去， 所以点的坐标为. 故答案为： 13．（25-26学年高二上·湖北武汉江岸区·期中）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）设圆的标准方程为，由圆心在直线得到，由圆经过点，得到，根据圆与直线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，联立方程组计算得解； （2）由，根据对称性得到，则在Rt中，可解得，从而得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为，又在直线上，联列方程组解得点的坐标. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，① 因为圆经过点，所以，② 因为圆与直线相切，所以，③ 联立① ② ③ 解得，，， 所以圆的标准方程为； (2) 小问详解： 因为，由对称性可知，故， 在Rt中，，，解得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为， 又因为在直线上， 联列方程组 ，解得 或 ， 所以点的坐标为或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $