第一次月考冲刺（拔尖篇）（第1章集合与逻辑+第2章不等式）讲义-2026-2027学年高一数学上学期沪教版必修第一册

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一次月考复习冲刺（拔尖篇） 考点一、集合的概念、关系、运算 1.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 2.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 3.已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 4.已知集合,且,求实数的取值范围. 5.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 考点二、常用逻辑 6. 若命题“存在， ”为假命题，求实数的取值范围. 7.已知集合，若“，都有”为真命题，则实数a的取值范围为___________； 8.已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是_______ 9.若是的必要不充分条件，则实数a的值为______ 10.设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11.设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 考点三、一元二次方程的根与系数的关系 12.若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 13.已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14. 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15..已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 16.法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 考点四、不等式的求解 17.解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 18.若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 19.若不等式的解集为空集，则实数能为___________. 20.若关于的不等式的解集是或，则实数的取值范围是___________． 21.关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 24.已知函数，解关于的不等式． 考点五、不等式的恒成立问题 25.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26.已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是________. 27.已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 28. 设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 29.已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 考点六、基本不等式的应用 30.已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 31.已知正实数，满足，则的最小值为________． 32.已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 33.已知，且，则的最大值为__________. 34.已知且,求的最大值. 35.已知，则的最大值为__________. 36.已知，，且，则的最小值为_____ 37.已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 考点七、集合的新定义问题 38.已知集合，，若且，则__ 39.当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中假命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 40.若数集具有性质：对任意的， ，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 41.非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 42．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 43.设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 44.如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 45.已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 46. 已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 47.设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 考点八、不等式的综合压轴题 48.设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 49.若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 50.问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 第一次月考复习冲刺（拔尖篇） 考点一、集合的概念、关系、运算 1.设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【分析】由题意可求出， 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 2.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 3.已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 4.已知集合,且,求实数的取值范围. 【答案】或或} 【详解】解：∵,∴. ①当时，,解得. ②当时，需,解得. ③当时，需,解得. ④当时,需,解得. 综上：或或} 5.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 考点二、常用逻辑 6. 若命题“存在， ”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 7.已知集合，若“，都有”为真命题，则实数a的取值范围为___________； 【答案】 【分析】解不等式和，再根据题意可得，列出不等式求解即可； 【解析】，即，解得， ， ，因为，故解得， ， ，都有，则， 则或， 解得或， 故a的取值范围为. 故答案为： 8.已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解析】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 9.若是的必要不充分条件，则实数a的值为_______ 【答案或或0 【分析】依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得. 【详解】由可解得：或， 依题意，是的真子集，则可以是，或. 当时，易得； 当，可得； 当，可得. 10.设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】 1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 11.设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【解析】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时，. 考点三、一元二次方程的根与系数的关系 12.若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴    ． 故选：D． 13.已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 14. 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 15..已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解， 则，解得且， 所以的范围是 . （2），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，解得． 所以的取值范围为． （3）依题意：，且， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 16.法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 【解析】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此. （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. 考点四、不等式的求解 17.解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 18.若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 19.若不等式的解集为空集，则实数能为___________. 【答案】 【分析】根据分式不等式,移项、通分并等价化简,可得一元二次不等式.结合二次函数恒成立条件,即可求得的值. 【详解】将不等式化简可得 即的解集为空集 所以对于任意都恒成立 将不等式等价化为 即恒成立 由二次函数性质可知 化简不等式可得 解得 故答案为: 20.若关于的不等式的解集是或，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式不等式以及高次不等式的解法即可求解. 【详解】解：， 即， 即， 原不等式的解集为或， 故， 当时，由， 得， 故， 当时，由 解得：或，不符合题意， 当时，由， 解得：或， 再根据以及， 即可求得原不等式的解集为：或， 综上所述：. 故答案为：. 21.关于的不等式的解集中恰有个正整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式即为，分、、三种情况讨论，解原不等式，确定满足不等式的三个正整数解，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由得， 若时，原不等式即为，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为或， 满足条件的正整数解有无数个，不合乎题意； 若时，则原不等式的解为， 由题意可知，满足条件的三个正整数解为、、，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 22.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的草图，由解出实数a的取值范围. 【详解】函数的图象如图所示． 若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则 即解得. 故选：A． 23.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】原不等式可化为，即可得，即或，再分及，结合解集及正整数解的个数讨论即可得. 【详解】原不等式可化为， 即恰有2个整数解， ，解得或. 当时，不等式的解集为， ，个整数解为1，2， ，即，解得； 当时，不等式的解集为， ，个整数解为，， ，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B. 24.已知函数，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先对不等式进行化简变形，再分与讨论，进而对两根的大小进行讨论，最后合并求解． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 考点五、不等式的恒成立问题 25.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论二次项系数是否为零，再结合二次函数的性质可解. 【详解】当时，不等式为，解集不为； 当时，不等式为恒成立，解集为； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围为. 故选：B. 26.已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先不等式转化为，再根据不等式的解集，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可列式求解. 【详解】， 当时，不成立，解集为空集， 当时，，解得， 综上可知，. 故答案为：． 27.已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 28. 设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 29.已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 考点六、基本不等式的应用 30.已知，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解，注意基本不等式成立的条件. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A. 31.已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 32.已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 33.已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用消元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：． 34.已知且,求的最大值. 【答案】 【详解】解：即,，所以 当且仅当即时取.所以最大值为. 35.已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为：． 36.已知，，且，则的最小值为______ 【答案】6 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 37.已知、为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设，则， 所以 , 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 考点七、集合的新定义问题 38.已知集合，，若且，则__ 【答案】 【分析】求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】因为集合，， 所以且. 39.当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中假命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】C 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：C 40.若数集具有性质：对任意的， ，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（   ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素个数一定是有限个 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】对A，因为与均不属于数集，所以A错误； 对B，因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 对C，举例，由“权集”的定义易知其为“权集”，所以C错误； 对D：举例，因为，都属于数集，则其是“权集”， 所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 41.非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 42．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案. 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 43.设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ） A. 一个“好子集”中最多有个元素 B. 一个“好子集”中最多有个元素 C. 一个“好子集”中最多有个元素 D. 一个“好子集”中最多有个元素 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，则三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多有个元素. 【详解】中有且只有一个为，不妨设， 则三者为1或0， 若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即， 不合要求，舍去， 若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求， 若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足， 综上，一个“好子集”中最多有个元素. 故选：A 44.如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 45.已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为 ， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 46. 已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数. （1）若，求的值； （2）若集合中的元素构成等差数列，且公差. （i）当时，求的最小值； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）5；（ii）4050 【解析】 【分析】（1）当 ，先按条件确定 ，再根据 定义找出元素，最后数元素个数得 . （2）（i）解法一：设 元素，算 元素，让 、 相同元素最多求 最小. 解法二：由等差性质得范围，结合 最小元素确定 范围，用公式求 最小. （i i）先证引理确定 元素及，再根据 、 元素关系确定 范围，用公式求 最小，最后代入 求值. 【小问1详解】 若，则，此时，， ，所以. 【小问2详解】 （i）解法一：设，则有， ， 所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多， 而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小， ，此时. 解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有 又中最小元素为，则，则有，所以， 另一方面，当时，，此时， 综上，时，的最小值为5. （ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则 引理的证明：对任意 当时，，当时，， 因此有； 另一方面，再证明可以取到满足的所有整数， ①取，当依次取时，可取到满足的所有整数； ②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数； ③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数； ④取，此时， 由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有 综上，引理得证． 故当时，，， 又，即，则有， 所以； 另一方面，当时，，，， 此时， 综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050. 47.设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）13 【解析】 【分析】（1）假设，根据条件②来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. 【小问1详解】 由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 考点八、不等式的综合压轴题 48.设，定义． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求x的取值范围； （3）若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），，M的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. 【小问2详解】 ①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. 【小问3详解】 由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 49.若实数、、满足，则称比远离． （1）若比远离1且，求实数的取值范围； （2）设，其中，求证：比更远离； （3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）比更远离．理由见解析. 【分析】（1）由题意利用已知条件消去y，得到，两边平方即得； （2）利用分析法证明即可； （3）结合基本不等式的变形，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论. 【详解】（1）由题意，，∵，∴，即， 两边平方，得； （2）即证，即证， ∵，∴，即证，即证（*）， ∵，∴， ∴，（*）成立，即比更远离； （3）∵，∴， 从而， ①时， ， 即； ②时， ， 即； 综上，，即比更远离． 【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分析法证明不等式，分类讨论思想，属中高档题，难度较大. 50.问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【解析】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $