第2章 等式与不等式（单元分层自测·能力提升卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高一数学第2章等式与不等式单元能力提升卷，通过基础填空、选择及综合解答题，覆盖不等式解法、最值、充要条件等核心知识，结合折纸情境、新定义问题设计，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|不等式解集、比较大小、最值、充要条件|基础知识点全面，梯度设置合理（1-6题基础，7-12题提升）| |选择题|4/18|不等式解法、命题真假判断|考查概念辨析与逻辑推理| |解答题|5/78|实际应用（折纸面积与费用）、函数不等式综合、新定义证明|结合生活情境（折纸问题）、创新定义（“更接近于”），综合考查数学建模与推理能力|

2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．求函数的解集__________. 2．若．则比大小 _____（填“>”或“<”或“=”） 3．已知，且，则的最小值为__________. 4．不等式的解集是______. 5．若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 6．已知实数，满足，，则范围是____________ 7．“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的___________条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 8．已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 9．当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 10．记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 11．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 12．已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 14．下列命题是真命题的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 16．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、> 3、 4、 5、 6、. 7、充分非必要 8、 9、 10、 11、 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 D D C A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 2分 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 4分 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. 6分 （2）． 9分 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 12分 当，即时，，此时； 14分 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 16分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 3分 所以， 所以的面积（单位：） 即 6分 （2）设一枚纽扣的镀金部分所需费用为元，则 , 9分 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 12分 所以当时，一枚纽扣的镀金部分所需的最大费用为元. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由不等式的解集为可得： 方程的两根为： ，且， 2分 由根与系数的关系可得：， 4分 解得：， 所以 6分 （2）由得： ， 又因为， 所以不等式 化为， 即， 7分 当时， 原不等式变形为，解得 8分 当时，， 原不等式． 9分 若，原不等式． 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定， 所以当时， 不等式的解为； 10分 当时，， 不等式或； 11分 当时，， 不等式或 12分 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 1分 当时，恒成立，符合题意； 2分 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 4分 （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 6分 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 8分 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 10分 （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 12分 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 14分 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 16分 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】(1)证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 2分 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. 4分 （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 7分 因，故，即，即比更接近于； 10分 (3)，理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 13分 则，因， 15分 故，即，即比更接近于，故更接近. 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 2．若．则比大小 _____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【详解】， ， 由，故. 故答案为：. 3．已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 4．不等式的解集是______. 【答案】 【详解】不等式，即，化简得， 等价于，解得， 所以不等式的解集. 5．若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和且， 所以，即，所以. 故答案为： 6．已知实数，满足，，则范围是____________ 【答案】. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 7．“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的___________条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分非必要 【详解】当时，显然函数开口向上， 对称轴为， 所以若有根，则根为负数， 所以有，即； 当时，得，此时有一个负数根； 当时，显然开口向下，， 所以有两根，一正一负； 综上所述，， 所以“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 8．已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 9．当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 10．记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 11．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 12．已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：， 即， 故，当且仅当时等号成立， 此时， 当，即时，取得最小值． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． 14．下列命题是真命题的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，，则，，，A错误； 对于B，若，，则，即，B错误； 对于C，若，，则，，，C错误； 对于D，若，则，，D正确. 故选：D. 15．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由等价于，由题意知， 当时，，则，解得（舍）； 当时，，则，解得，符合题意. 16．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为， 第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 2分 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 4分 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. 6分 （2）． 9分 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 12分 当，即时，，此时； 14分 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 16分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 【详解】（1）因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 3分 所以， 所以的面积（单位：） 即 6分 （2）设一枚纽扣的镀金部分所需费用为元，则 , 9分 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 12分 所以当时，一枚纽扣的镀金部分所需的最大费用为元. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． 【详解】（1）由不等式的解集为可得： 方程的两根为： ，且， 2分 由根与系数的关系可得：， 4分 解得：， 所以 6分 （2）由得： ， 又因为， 所以不等式 化为， 即， 7分 当时， 原不等式变形为，解得 8分 当时，， 原不等式． 9分 若，原不等式． 此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定， 所以当时， 不等式的解为； 10分 当时，， 不等式或； 11分 当时，， 不等式或 12分 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 1分 当时，恒成立，符合题意； 2分 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 4分 （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 6分 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 8分 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 10分 （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 12分 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 14分 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 16分 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【详解】(1)证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 2分 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间. 4分 （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 7分 因，故，即，即比更接近于； 10分 (3)，理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 13分 则，因， 15分 故，即，即比更接近于，故更接近. 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．求函数的解集__________. 2．若．则比大小 _____（填“>”或“<”或“=”） 3．已知，且，则的最小值为__________. 4．不等式的解集是______. 5．若关于的不等式的解集为，则的值为__________ 6．已知实数，满足，，则范围是____________ 7．“”是关于x的方程“至少有一个负数根”的___________条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空） 8．已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 9．当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 10．记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 11．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 12．已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 14．下列命题是真命题的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 16．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 高一（2）班的吴同学参加了折纸社团，课上于老师展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形ABCD的周长为12cm，其中较长边AD为，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E． (1)用x表示图1中的面积； (2)吴爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励，其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是6元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $