专题01 集合及其运算（10大题型专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以考点为纲，覆盖集合核心题型，按元素-关系-运算逻辑递进，突出高频与难点，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |元素与集合|2题型（8题）|元素关系判断、特征（互异性）应用|从集合概念基础出发，构建元素属性认知| |集合间关系|2题型（9题）|子集关系判断、子集个数计算|承接元素概念，深化集合间包含关系| |集合间运算|6题型（26题）|数集/点集运算、Venn图、参数求解、容斥原理、新定义|综合应用前序知识，实现概念到复杂问题的拓展|

专题01 集合及其运算 常考题型·精准突破 考点一 元素与集合 题型1 元素与集合的关系 题型2 集合中元素的特征 考点二 集合之间的关系 题型3 集合间的基本关系 题型4（真）子集的个数 考点三 集合之间的运算 题型5 数集的运算（重） 题型6 点集的运算（高频） 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数（难） 题型9 容斥原理 题型10 集合的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 元素与集合 ◆题型1 元素与集合的关系 1．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 3．若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. ◆题型2 集合中元素的特征 5．集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 6．已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 7．已知，则__________． 8．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 考点二 集合之间的关系 ◆题型3 集合间的基本关系 9．设集合，那么（    ） A． B． C． D． 10．下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．下列集合中，不是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 13．已知，，，则______. ◆题型4（真）子集的个数 14．设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 15．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 16．设集合，则集合A的真子集个数为______． 17．已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 考点三 集合之间的运算 ◆题型5 数集的运算 18．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 19．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 20．已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 21．设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 22．已知集合，集合，则（    ） A．{或} B． C．{或} D． 23．全集，集合，，则________． ◆题型6 点集的运算 24．设集合，，则的元素个数是（    ） A． B． C． D． 25． （    ） A． B．} C． D． 26．已知，，则（    ） A． B． C． D． 27．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 28．若集合，，求______ ◆题型7 Venn图的运算 29．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 30．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 31．已知集合为全集，集合为其子集，如图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 32．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 33．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． ◆题型8 利用集合的运算结果求参数 34．已知集合，，且，则__________. 35．集合，，且，则实数的取值范围____. 36．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 37．已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 38．已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. ◆题型9 容斥原理 39．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 40．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 41．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 42．某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 43．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. ◆题型10 集合的新定义问题 44．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 45．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 46．对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 47．设A，B是的两个子集，对于，定义：，，若，则对任意，________. 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．已知集合，，则实数的取值范围是_______. 2．设，且，则a的取值范围是_____. 3．已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 4．设集合 . 且 ，则实数的取值范围为_____. 二、单选题 5．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 9．已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 10．已知集合或，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围 12．设． (1)是否存在实数a，使，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； (2)若，求实数a的值． 13．设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算 常考题型·精准突破 考点一 元素与集合 题型1 元素与集合的关系 题型2 集合中元素的特征 考点二 集合之间的关系 题型3 集合间的基本关系 题型4（真）子集的个数 考点三 集合之间的运算 题型5 数集的运算（重） 题型6 点集的运算（高频） 题型7 Venn图的运算 题型8 利用集合的运算结果求参数（难） 题型9 容斥原理 题型10 集合的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 元素与集合 ◆题型1 元素与集合的关系 1．已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 2．已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 3．若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 4．若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 ◆题型2 集合中元素的特征 5．集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 6．已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 7．已知，则__________． 【答案】 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 8．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 考点二 集合之间的关系 ◆题型3 集合间的基本关系 9．设集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与否的关系． 与A是包含与否的关系，所以选项A、选项C显然不对， 而，所以a是A的一个元素，是A的一个子集，故B错误，D正确. 故选：D． 10．下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 11．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 12．下列集合中，不是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：A． 13．已知，，，则______. 【答案】5 【详解】因为，，所以且， 又，所以. ◆题型4（真）子集的个数 14．设集合，则A的真子集的个数是（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为． 15．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 16．设集合，则集合A的真子集个数为______． 【答案】15 【详解】由题意得集合，共有4个元素，所以集合A的子集有个， 真子集需除去集合本身，故集合A的真子集个数为15个. 17．已知集合． (1)若中有两个元素，求实数的取值集合； (2)若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】(1)或或； (2) 所有子集有：，，，，，，，. 【分析】 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 考点三 集合之间的运算 ◆题型5 数集的运算 18．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 19．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 20．已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 21．设全集，，或，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 故. 22．已知集合，集合，则（    ） A．{或} B． C．{或} D． 【答案】C 【详解】集合或，而集合， 所以或. 23．全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】先求， . ◆题型6 点集的运算 24．设集合，，则的元素个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得或， 即， 故的元素个数为． 25． （    ） A． B．} C． D． 【答案】C 【详解】由，解得或， 所以, 26．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 27．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 28．若集合，，求______ 【答案】 【详解】由，解得或， 故， 故答案为：. ◆题型7 Venn图的运算 29．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 30．设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 31．已知集合为全集，集合为其子集，如图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于图中白色部分表示，因此阴影部分表示， 故选：D 32．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 33．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B ◆题型8 利用集合的运算结果求参数 34．已知集合，，且，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 35．集合，，且，则实数的取值范围____. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 36．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 37．已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）集合，，则，解得， 所以k的值为4. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 38．已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. ◆题型9 容斥原理 39．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 40．某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 41．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 42．某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 43．2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【答案】4 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. ◆题型10 集合的新定义问题 44．在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 45．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 46．【范围：人教B版必修一第1~2章】）对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 47．设A，B是的两个子集，对于，定义：，，若，则对任意，________. 【答案】0 【详解】因为， 则当时，，； 时，，必有，，． 综上可得：． 故答案为：0. 综合攻坚·知能拔高 一、填空题 1．已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 2．设，且，则a的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由集合，， 因为，可得， 当时，即时，解得，此时满足，符合题意； 当时，则满足，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 【答案】 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 4．设集合 . 且 ，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 二、单选题 5．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 6．已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 7．已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 8．已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 三、解答题 9．已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 10．已知集合或，. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1)或； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，； 又或， 所以，或. （2）若，则， 由 当时，， 当时，由，， 则， 综上所述：实数的取值范围为. 11．（03限时小练3集合间的基本关系（2）高中数学必修第一册�SJ）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 12．设． (1)是否存在实数a，使，如果存在，求出实数a的值，如果不存在，说明理由； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】 【详解】（1）解得，故， 若，则是方程的两个根， 即，解得，此时 即存在满足题意； （2）解得，即， 因为，则是方程的一个根， 代入得，解得或， 若，此时， 即，满足题意； 若，此时， 即，此时，不满足题意； 综上所述. 13．设全集，集合，，． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，又， 所以. （2）因为，，，即集合是集合的真子集， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合及其运算 常考题型·精准突破 考点一 元素与集合 ◆题型1 元素与集合的关系 1．【答案】C 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 2．【答案】B 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 3．【答案】D 【详解】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 4．【答案】7 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 ◆题型2 集合中元素的特征 5．【答案】D 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 6．【答案】A 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 7．【答案】 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 8．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 考点二 集合之间的关系 ◆题型3 集合间的基本关系 9．【答案】D 【详解】因为A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与否的关系． 与A是包含与否的关系，所以选项A、选项C显然不对， 而，所以a是A的一个元素，是A的一个子集，故B错误，D正确. 故选：D． 10．【答案】C 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 11．【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 12．【答案】A 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：A． 13．【答案】5 【详解】因为，，所以且， 又，所以. ◆题型4（真）子集的个数 14．【答案】C 【详解】，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为． 15．【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 16．【答案】15 【详解】由题意得集合，共有4个元素，所以集合A的子集有个， 真子集需除去集合本身，故集合A的真子集个数为15个. 17．【答案】(1)或或； (2) 所有子集有：，，，，，，，. 【分析】 【详解】（1）由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. （2）由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或. 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 考点三 集合之间的运算 ◆题型5 数集的运算 18．【答案】D 【详解】，， ． 19．【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 20．【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 21．【答案】A 【详解】由题意， 故. 22．【答案】C 【详解】集合或，而集合， 所以或. 23．【答案】 【详解】先求， . ◆题型6 点集的运算 24．【答案】B 【详解】联立，解得或， 即， 故的元素个数为． 25．【答案】C 【详解】由，解得或， 所以, 26．【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 27．【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 28．【答案】 【详解】由，解得或， 故， 故答案为：. ◆题型7 Venn图的运算 29．【答案】C 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 30．【答案】A 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 31．【答案】D 【详解】由于图中白色部分表示，因此阴影部分表示， 故选：D 32．【答案】B 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 33．【答案】B 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B ◆题型8 利用集合的运算结果求参数 34．【答案】 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 35．【答案】 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 36．【答案】 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 37．【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）集合，，则，解得， 所以k的值为4. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 38．【答案】 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. ◆题型9 容斥原理 39．【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 40．【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 41．【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 42．【答案】5 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 43．【答案】4 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. ◆题型10 集合的新定义问题 44．【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 45．【答案】A 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 46．【答案】②③④ 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 47．【答案】0 【详解】因为， 则当时，，； 时，，必有，，． 综上可得：． 故答案为：0. 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 2．【答案】 【详解】由集合，， 因为，可得， 当时，即时，解得，此时满足，符合题意； 当时，则满足，此时不等式组的解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．【答案】 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 4．【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是：. 故答案为： 5．【答案】B 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 6．【答案】D 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 7．【答案】C 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 8．【答案】D 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 9．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 10．【答案】(1)或； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，； 又或， 所以，或. （2）若，则， 由 当时，， 当时，由，， 则， 综上所述：实数的取值范围为. 11．（03限时小练3集合间的基本关系（2）高中数学必修第一册�SJ）已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 12．【答案】(1)存在， (2) 【分析】 【详解】（1）解得，故， 若，则是方程的两个根， 即，解得，此时 即存在满足题意； （2）解得，即， 因为，则是方程的一个根， 代入得，解得或， 若，此时， 即，满足题意； 若，此时， 即，此时，不满足题意； 综上所述. 13．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，又， 所以. （2）因为，，，即集合是集合的真子集， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $