精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

鹿寨高级中学2026年秋季学期高二9月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算列式求的值. 【详解】由. 故选：B 2. 在中，满足，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 5. 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立则 C. 若与相互独立，则 D. 若与互斥，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，从而可判断；对于B，由互斥事件的概率计算公式可排除；对于C，先得到与相互独立，再由独立事件的概率计算公式计算即可；对于D，由互斥事件的概率计算公式计算即可. 【详解】对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若与相互独立，不互斥，所以B错误； 对于C，若与相互独立，可得与相互独立， 所以，所以C错误； 对于D，若与互斥，则，所以D正确. 故选：D. 7. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位线，将异面直线，所成角转化为，最后利用余弦定理求解计算即可. 【详解】连接，取的中点，连接、，如图所示， 因为，分别是，的中点，所以，且， 所以异面直线，所成角转化为， 在三棱锥中，因为，，是的中点， 所以，即 同理因为，，是的中点， 所以， 同理因为，，是的中点， 所以， 又因为是的中点，所以，所以， 在中，由余弦定理得， ， 又因为异面直线的夹角范围为，所以异面直线夹角的余弦值为正数， 异面直线，所成角的余弦值为. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 10. 给出以下命题，其中错误的是（ ） A. 平面的法向量分别为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D. 【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误； 对于B，由于，，则， 故，则或，B错误； 对于C，由于，即得，C正确； 对于D，由于，故， 向量是平面的法向量，则，解得， 故，D错误， 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到直线的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的特征建立如图所示的空间直角坐标系，利用距离公式可求各选项中距离，故可得正确的选项. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 则，. 又，故. 对于A，，， 故点到直线的距离为，故A正确. 对于B，，， 故点到直线的距离为， 故B错误. 对于C，，，故， 而不共线，故， 因平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面， 故平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故C正确. 对于D，，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则向量与的夹角是________． 【答案】 【解析】 【详解】设向量与的夹角为，其中. 由，可得： ，展开得：  即， 代入得：  ， 解得. 根据向量数量积的定义，代入，得：  ， 结合，可得. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 14. 已知平行六面体中，，，，，，则的长为________ 【答案】 【解析】 【分析】可得，由数量积的运算可得，开方可得； 【详解】如图所示： ， 故 故的长等于. 故答案为： 【点睛】本题考查空间向量模的计算，选定为基底是解决问题的关键，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求角大小； （2）利用配方，结合已知条件即可求，从而可求面积大小. 【小问1详解】 由余弦定理得：， ， 又由，因为，所以. 【小问2详解】 由，， 可得， 所以的面积为. 16. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）先求出样本空间，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 从编号为的5个小球中任意取出3个， 样本空间为 记事件为“编号为的小球同时被取到”， 则，故. 【小问2详解】 记事件为“所取到的三个小球编号之和为偶数”， 则，故. 17. 在直三棱柱中，，，． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. （1）利用空间向量法求出与所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案； （2）利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案. 【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则点、、、、、. （1）设异面直线与所成角为，，， ，即，， 则，因此，异面直线与所成角的正切值为； （2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为， ，，， 由，得，取，得， 所以，平面的一个法向量为， ，，则. 因此，直线与平面所成角的余弦值为. 【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题. 18. 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲 47 51 49 50 53 乙 44 51 60 58 52 （1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； （2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 【答案】（1）甲品种产量样本的平均值，极差为； 乙品种产量样本的平均值，极差为. 所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大. （2）甲品种 【解析】 【分析】（1）求出均值和极差即可得出结论； （2）求出标准差，代入公式求出，比较其大小即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 甲品种的样本方差， 所以甲品种产量的变异系数； 乙品种的样本方差 ， 所以乙品种产量的变异系数. 因为，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴，即 又∵，且，且两直线在平面内， ∴平面. （2） （3）存在，理由：线段上存在点，使得平面， 设，则 由（2）可知，平面的法向量， 则， 解得 ∴当是中点时，则平面. 【解析】 【分析】（1） 通过 ，从而证明，结合已知，从而得到面； （2）构建空间直角坐标系，通过法向量的夹角求解； （3） 设 ，求解出平面的法向量，通过求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面 ，平面， ∴平面,又因为面， ∴. 由（1）已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，， ∵E为PD的中点，∴ 又∵，∴ 设平面FAE的法向量为，则， 令，则，，∴ 由（1）可知，平面， ∴平面的法向量为, ∴ ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹿寨高级中学2026年秋季学期高二9月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 在中，满足，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与相互独立则 C. 若与相互独立，则 D. 若与互斥，则 7. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 给出以下命题，其中错误的是（ ） A. 平面的法向量分别为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 D. 平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 11. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离是 B. 点到直线的距离为 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则向量与的夹角是________． 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 14. 已知平行六面体中，，，，，，则的长为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 17. 在直三棱柱中，，，． （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩产量数据（单位：10kg）如下： 甲 47 51 49 50 53 乙 44 51 60 58 52 （1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价； （2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广? 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $