精品解析：广西壮族自治区南宁市第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

南宁二中2025－2026学年度上学期高二9月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应点的坐标，由此判断该点所在象限即可. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限， 故选：B. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥ ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥ ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】对①，若m∥，m∥，则与平行或相交，①错误； 对②，若⊥，⊥，则与平行或相交，②错误； 对③，若m⊥，m⊥，则∥成立，③正确； 对④，若m∥，n⊥，则m⊥n，④错误； 故选：A. 4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 5. 有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，.由这组数据得到一组新样本数据，，…，.其中，其平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解. 【详解】因，可得，， 故B正确,A,C,D均错误. 故选：B. 6. 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，得到相关点的坐标和相关向量的坐标表示，利用求解，最后结合平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，，，， 依题意，因为，即， 所以， 结合，解得， 则，，，， 因此，. 故选：C. 7. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离等于,由能求出半径的取值范围. 【详解】根据点到直线的距离公式 圆心到直线的距离等于: 由 解得 半径的取值范围是:. 故选:A. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系问题,画出圆和直线的几何图像,用采用数形结合是解题关键. 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先由正弦定理化简可得，即得，从而可求解. 【详解】设，，， 则， 故由正弦定理可知， ， 于是， 其中，当且仅当时，等号成立，故B正确. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知圆，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 圆关于直线对称 C. 若直线被圆截得的弦长为，则 D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD 10. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】写出平移后的函数解析式，再由图象关系列出关于的等式，进而求出可能取值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 依题意，，解得，所以的取值可能是6，12. 故选：BD 11. 已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A. 的周长为 B. 存在点使得 C. 直线与直线的斜率乘积为 D. 的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义判断A；首先求出，根据椭圆的几何性质可知当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，即可判断B；设，求出即可判断C；利用基本不等式判断D． 【详解】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令，解得，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 14. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理可得，， 而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】（1），分位数为分； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【小问1详解】 由题意知，解得， 设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. 【小问2详解】 由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化为单角单函数，依据正弦型函数单调递增区间得到的单调递增区间； （2）将函数零点问题转化为图象交点问题，根据函数的值域，求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，，所以， 所以， 若在上有零点，则直线与函数的图象在上有公共点， 所以实数的取值范围是． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直、线面垂直的性质和线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 侧面为矩形，， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以，所以， 因为，平面，所以平面． 【小问2详解】 连接，如图， 由（1）易知， 所以由已知可得， 在中由余弦定理可得， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以在中， 由（1）易知两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的法向量为， 则取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得； （2）借助向量及模长与数量积关系可得与、有关等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得与、有关等式，结合计算即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 因为，所以，即， 又因为，所以，故； 【小问2详解】 由知，， 则有， 即，化简得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，则， 则，化简得， 则，即，则（负值舍去）， 所以. 19. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【小问1详解】 设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025－2026学年度上学期高二9月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m∥，m∥，则∥ ②若⊥，⊥，则⊥ ③若m⊥，m⊥，则∥ ④若m∥，n⊥，则m∥n 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，.由这组数据得到一组新样本数据，，…，.其中，其平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知圆，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 圆关于直线对称 C. 若直线被圆截得的弦长为，则 D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则 10. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A. 的周长为 B. 存在点使得 C. 直线与直线的斜率乘积为 D. 的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 13. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为_________. 14. 已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，点在边上，，求的面积. 19. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $