4.1 圆的轴对称性 题型专练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

青岛版（2024）九年级上册 4.1 圆的轴对称性 题型专练

【题型1】垂径定理及推论的应用

【典例】高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（　　）

A．5米

B．米

C．6米

D．米

【举一反三1】如图所示为某地一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．现有一艘宽5米，其横截面为矩形的货船，顶部高出水面a米，若该货船能顺利通过这座拱桥，则a的值可以是（ ）

A．3.4

B．3.6

C．3.8

D．4.0

【举一反三2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体已经过半，截面圆中弦AB的长为2 cm，则最大深度CD的长为__________ cm.

【举一反三3】某手机完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”.手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量.圆弧对应的弦AB长60 mm，弓形高CD长10 mm，求半径OA的长.

【举一反三4】根据以下素材，探索完成任务．

【问题】如何设计隧道内车道的限高及车道宽方案？

【素材一】图1隧道是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图．经测量，拱形跨度16m，拱顶离地面4m．

【素材二】如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽2m，每条机动车道宽均2.5m．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度）

【素材三】如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条0.5m的绿化带，非机动车道最高高度不低于1.8m，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽相等．

【任务一】确定隧道所在圆弧的半径．

【任务二】探究原计划该隧道下方机动车道一的限高要求．

【任务三】新方案下当机动车宽度最大的情况下，机动车道的宽度与原来相比是变宽了还是变窄了？求出新方案下机动车道的最大宽度．

【题型2】与垂径定理有关的计算和证明

【典例】如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ）

A．4

B．6

C．8

D．10

【举一反三1】已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　）

A．

B．

C．或

D．或

【举一反三2】如图的半径是的弦，于点，则长为__________．

【举一反三3】如图，在☉O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形.

【题型3】垂径定理的推论

【典例】如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（　　）

A．

B．OE＝BE

C．CE＝DE

D．AB⊥CD

【举一反三1】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（　　）