第4章 一元二次方程 期末高频考点专练 2025-2026学年青岛版（2012）数学九年级上册

期末高频考点专练之一元二次方程2025-2026学年 青岛版九年级上册 考点一：一元二次方程的概念与解 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 3.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 4.若a为方程x2+2x﹣3＝0的解，则3a2+6a﹣8的值为 　 　 ． 考点二：解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 2.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 3.方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 4.若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 5.解下列方程： (1)；(2) 考点三：一元二次方程根的判别式 1.对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 2.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 3.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 4.已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A． B． C． D． 2.关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 3.若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 ． 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若其两根x1，x2满足，求k的值． 考点五：一元二次方程应用题 1.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 4.某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 5.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 7.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】 期末高频考点专练之一元二次方程2025-2026学年 青岛版九年级上册 考点一：一元二次方程的概念与解 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 【答案】C． 3.方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2 【答案】D 4.若a为方程x2+2x﹣3＝0的解，则3a2+6a﹣8的值为 　 　 ． 【答案】1． 考点二：解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 3.方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 4.若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 【答案】B． 5.解下列方程： (1)；(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：∵, ∴ 解得，． （2）解：∵， ∴ ∴ 解得，． 考点三：一元二次方程根的判别式 1.对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 2.一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ） A．17 B．1 C．－1 D．－17 【答案】A 3.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 4.已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【答案】(1)见解析(2)11或13 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 2.关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【答案】C． 3.若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式的值等于 　 　 ． 【答案】2032． 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若其两根x1，x2满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 即的取值范围是； （2）方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 即，， 解得，， 故的值为：． 考点五：一元二次方程应用题 1.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 4.某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 5.某小型企业一月份的营业额为200万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额为1000万元．设月平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 6．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 【答案】2或3##3或2 7.小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 学科网（北京）股份有限公司 $