第一章 三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形全章高频考点，以基础题型归纳与综合攻坚为双主线，覆盖从概念识别到性质应用的完整知识链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|12题型（含选择、填空、基础解答）|侧重单一知识点直接应用，标注高频/重点题型|从三角形基本概念（识别、边角）到特殊线段（高、中线、角平分线），再到全等三角形、垂直平分线、角平分线及等腰（等边）三角形性质，形成概念→性质→基础应用的递进逻辑| |综合攻坚|4类综合题型（几何综合证明、分类讨论等）|强调多知识点融合，涉及动态问题与实际应用|以全等判定和特殊三角形性质为核心，结合垂直平分线/角平分线进行综合推理，通过分类讨论提升空间观念与创新意识，体现从基础到复杂情境的应用拓展|

第一章 三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 题型2·三角形三边关系求参数。 题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 题型4·全等三角形基础性质应用。 题型5·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 题型6·垂直平分线性质基础计算(重) 题型7·垂直平分线作图与实际选址 题型8·角平分线性质基础计算(重) 题型9·角平分线尺规作图 题型10·等腰三角形边角基础计算(高频) 题型11·等腰三角形三线合一(重) 题型12·等边三角形性质与判定 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 三角形识别、顶点·边·角基础辨 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 2．下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 3．图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 4．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成. 【详解】解：选项A中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项B中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项C中，较短边为，，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形； 选项D中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形. ◆题型2·三角形三边关系求参数 1．已知三角形的三边长分别为3，x，6，下列能组成三角形的x值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由题意得，即， 对比选项，只有满足该范围． 2．若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；利用这一关系列出不等式求解即可． 【详解】解：∵三角形三边长为2、5、x， ∴由三角形三边关系定理： ①，得； ② ，得； ∴ x的取值范围为； 故选：B． 3．如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 在中，由三角形三边关系可得，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 则由三角形三边关系可得， 四个选项中满足的是， 故选：B． ◆题型3·三角形高、中线、角平分线的有关计算 1．下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 2．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 3．如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 4．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． ◆题型4·全等三角形基础性质应用 1．如图，，若，，则的长度为（　　） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 根据全等三角形对应角相等，，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可． 【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：， 当时，，即，解得：； 当时，米， 此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：D． ◆题型5·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 1．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 2．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 3．如图，，，．求证：． 【答案】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 4．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． ◆题型6·垂直平分线性质基础计算 1．如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 2．如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少(   ) A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，利用性质将的周长转化为即可求解 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长 ， ，， 的周长． ◆题型7·垂直平分线作图与实际选址 1．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 2．如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 3．如图，在中，，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． ◆题型8·角平分线性质基础计算 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 2．如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（     ）． A．3 B．6 C．12 D．2 【答案】B 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 构造中边上的高，进而计算面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵平分，且，， ∴， ∴． 3.如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． ◆题型9·角平分线尺规作图 1．尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【详解】解：如图，点P即为所求 2．尺规作图，要求保留作图痕迹． (1)如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． (2)如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求： (2) 解：如图所示，即为所作： ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可；然后证明，则，即可证明平行． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，作一个角等于已知角，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确作图． ◆题型 10·等腰三角形边角基础计算(高频)) 1．若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质和周长定义计算底边长，再结合三角形三边关系验证即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两腰相等，周长为三边长度之和，已知周长为18，腰长为5， ∴底边长， 验证三边关系： ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形， ∴该三角形的底边长为8． 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴，， ， ． 故选：C． 3．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ◆题型 11·等腰三角形三线合一(重). 1．如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一作答即可． 【详解】解：∵，， ∴点是的中点， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的，据此即可解答． 【详解】解：∵在三角测平架中，， ∴为等腰的底边上的高， 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． ∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 故选C． ◆题型 12·等边三角形性质与判定 1．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 2．如图，将顺时针旋转，得到，已知，，，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出，，进而得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵将顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 3．如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中等角对等边，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，证明，是解答本题的关键．证明，再证明是等边三角形，即有，问题得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． ◆题型1全等几何综合证明 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段和线段垂直 (2)存在或使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； （2）解：①若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：， ②若，则，， 由题意可得：，，则， ∴， 解得：； 综上所述，存在或使得与全等． 3．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到，使，连接，证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）延长线段到点，使，连接，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接，        ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ◆题型2 垂直平分线·+·角度综合计算 1．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 2．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明： ， ， 即． ，， ． 又 ， ， ． 又 ， ， ． （2）证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又 ， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 3．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． ◆题型3 角平分线·+·全等三角形的综合 1．如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理；运用角平分线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可； 【详解】（1）证明：∵， 在和中 ∴ 平分 （2）解： 在和中 2．如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 3．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）略 （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． ◆题型4 等腰分类讨论·+·几何综合 1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 【答案】(1) (2)t的值为 (3)当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； （2）解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 3．如图，等边的边长为，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，为等边三角形？ (3)当点M，N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)秒 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由点运动路程点运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：设运动秒，、两点重合， 根据题意得：， ， 答：点，运动15秒后，、两点重合； （2）解：在等边中， ， 如图1，设点、运动秒后，为等边三角形，   ， 由运动知，，， ， 解得：， 点、运动5秒后，是等边三角形； （3）解：存在，理由如下： 如图2，设、运动秒后，得到以为底边的等腰三角形，   ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由运动知，，， ， ， 故点，在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时，运动的时间为20秒． 1．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 2．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 3．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 4．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 5．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 8．综合与实践：在等边中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为边在的右侧作等边，连接．探究图中与之间的数量关系． (1)特例研究：如图1，当点在线段上时， 8①求证：； ②判断与有什么样的位置关系，并说明理由； (2)类比探究：在（1）的条件下，探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②；理由如下： 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； 证明如下：由（1）①得， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3)当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时， 【分析】（1）①证明即可； ②；由①的证明得，从而，由平行线的判定即可得到； （2）；由（1）①得，结合等边三角形的性质及线段的和差关系即可证明； （3）分三种情况：点D在线段上；点D在线段的延长线上；点D在线段的反向延长线上；利用三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】（1）①证明：略； ② ；理由略； （2）解：；证明略； （3）解：当点D在线段上时； 由（2）知； 当点D在线段的延长线上时，如图2； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点D在线段的反向延长线上时，如图3； 同理得， ∴， ∵， ∴； 综上，当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的反向延长线上时，． 26 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·三角形识别、顶点·边·角基础辨 题型2·三角形三边关系求参数。 题型3·三角形高、中线、角平分线作图与计算 题型4·全等三角形基础性质应用。 题型5·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 题型6·垂直平分线性质基础计算(重) 题型7·垂直平分线作图与实际选址 题型8·角平分线性质基础计算(重) 题型9·角平分线尺规作图 题型10·等腰三角形边角基础计算(高频) 题型11·等腰三角形三线合一(重) 题型12·等边三角形性质与判定 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 三角形识别、顶点·边·角基础辨 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10 ◆题型2·三角形三边关系求参数 1．已知三角形的三边长分别为3，x，6，下列能组成三角形的x值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，测得，，则点，间的距离可能是（    ） A． B． C． D． ◆题型3·三角形高、中线、角平分线的有关计算 1．下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 2．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 4．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． ◆题型4·全等三角形基础性质应用 1．如图，，若，，则的长度为（　　） A．9 B．6 C．3 D．2 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 ◆题型5·基础全等判定证明(SSS/SAS/ASA/AAS/HI) 1．如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，．求证：． 4．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． ◆题型6·垂直平分线性质基础计算 1．如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 2．如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少(   ) A．10 B．12 C．14 D．20 ◆题型7·垂直平分线作图与实际选址 1．在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 2．如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 3．如图，在中，，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． ◆题型8·角平分线性质基础计算 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，平分交于，若，则的面积等于（     ）． A．3 B．6 C．12 D．2 3.如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 ◆题型9·角平分线尺规作图 1．尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 2．尺规作图，要求保留作图痕迹． (1)如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． (2)如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． ◆题型 10·等腰三角形边角基础计算(高频)) 1．若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 ◆题型 11·等腰三角形三线合一(重). 1．如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 ◆题型 12·等边三角形性质与判定 1．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将顺时针旋转，得到，已知，，，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 3．如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． ◆题型1全等几何综合证明 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 3．（1）问题背景： 如图1，在四边形中 ，，，，点，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）拓展应用： 如图2，在四边形 中 ，，，点，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？ 若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． ◆题型2 垂直平分线·+·角度综合计算 1．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 2．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 3．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． ◆题型3 角平分线·+·全等三角形的综合 1．如图，于，于，若，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 2．如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 3．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． ◆题型4 等腰分类讨论·+·几何综合 1．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． (1)______（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 3．如图，等边的边长为，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动．    (1)点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，为等边三角形？ (3)当点M，N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 1．如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 2．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 3．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 5．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 6．如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 7．在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 8．综合与实践：在等边中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为边在的右侧作等边，连接．探究图中与之间的数量关系． (1)特例研究：如图1，当点在线段上时， 8①求证：； ②判断与有什么样的位置关系，并说明理由； (2)类比探究：在（1）的条件下，探究与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展延伸：当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $