第一章 三角形（单元自测卷·南京专用）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年南京专用八年级上册数学三角形单元卷，覆盖三角形性质、全等判定、尺规作图等核心知识，通过基础辨析与综合探究结合，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三边关系、等腰三角形性质、尺规作图|第7题以等边三角形序列探究边长规律，体现数学眼光中的空间观念与创新意识| |填空题|10/20|全等条件、垂直平分线、分类讨论|第17题多情境等腰三角形分类求角，培养数学思维中的推理意识| |解答题|9/64|动态几何、旋转综合、模型构建|27题结合旋转与平行线探究线段关系，发展数学语言中的模型意识与应用能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第一章 三角形(参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C D A C D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．72° 10．BC＝DA（答案不唯一） 11．11或13 12．18 13．55° 14．27 15．16 16．8 17．40°、70°或100° 18．2秒或秒或12秒 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分） 【详解】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，................2分 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）．................5分 20．（6分） 【详解】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC................3分 （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35°................6分 21．（6分） 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形；................3分 （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS），................4分 ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10．................6分 22．（8分） 【详解】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形；................3分 （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB；................5分 （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．................8分 23．（6分） 【详解】解：（1）如图1，点D即为所求．...............3分 （2）如图2，点D即为所求．...............6分 24．（8分） 【详解】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°， ∴∠DEA＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝60°， ∵∠EAB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°，...............2分 故答案为：60． （2）①解：∵DG⊥AE， ∴∠DEG+∠EDG＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEG+∠AEF＝90°， ∴∠EDG＝∠FEA， 在△DEG和△EFA中， ， ∴△DEG≌△EFA（AAS），...............4分 故答案为：EFA． ②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°， ∴∠GDA＝∠BAC， ∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∵△DEG≌△EFA， ∴EC＝AF， ∴AE＝AG+GE＝AF+BC．...............6分 （3）解：BC＝AE+AF，理由如下， 如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAF＝∠DGE＝90°， ∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°， ∴∠GDE＝∠AEF， ∴△GDE≌△AEF（AAS）， ∴GE＝AF， ∵∠DGE＝∠EAF＝90°， ∴DG∥AB， ∴∠GDA＝∠CAB， 在△GDA和△CAB中， ， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∴BC＝EG+AE＝AF+AE．...............8分 25．（7分） 【详解】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD；................2分 （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形；................5分 ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH．................7分 26．（8分） 【详解】解：（1）当点P在边AC上时，AP＝3tcm； 当点P在边AB上时，AP＝AB+AC+BC﹣3t＝15+12+9﹣3t＝（36﹣3t）cm， 故答案为：3tcm，（36﹣3t）cm；................2分 （2）设点Q的运动速度为xcm/s， ①当点P位于AC，点Q位于AB上时，此时AP＝3tcm，AQ＝xtcm， ∵△APQ≌△DEF， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴3t＝4，xt＝5， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为；................5分 ②当点Q位于AC，点P位于AB上时，此时AP＝（36﹣3t）cm，AQ＝（36﹣xt）cm， ∵△APQ≌△DEF， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴36﹣3t＝4，36﹣xt＝5， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为cm/s．................8分 综上可知点Q的运动速度为或cm/s． 27．（10分） 【详解】（1）证明：由旋转知，AE＝AD，∠DAE＝180°﹣2α＝180°﹣2×45°＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DAE+∠ACB＝180°， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∵EF∥AB， ∴∠FEB＝∠EBA， ∴， ∴BF＝AE， ∴BF＝AD， ∵点D与点C重合， ∴AD＝AC， ∴BF＝AC；................3分 （2）证明：如图2，在BC的延长线上取一点，H使CH＝CB， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∴AH＝AB， ∴∠AHC＝∠ABC＝α＝45°， ∴∠BAH＝180°﹣∠AHC﹣∠ABC＝90°， 由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠DAH＝∠EAB， ∴△ADH≌△AEB（SAS）， ∴∠ABE＝∠AHC＝45°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°， ∴BE⊥BC；................6分 （3）解：DF＝2BC，证明： 如图3，在BC的延长线上取一点G，使CG＝BC，则BG＝2BC， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∴AG＝AB， ∴∠AGC＝∠ABC＝α， ∴∠BAG＝180°﹣∠AGC﹣∠ABC＝180°﹣2α， 由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝180°﹣2α， ∴∠DAG＝∠EAB， ∴△ADG≌△AEB（SAS），................8分 ∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣α， ∴∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α， ∵EF∥AB， ∴∠BFE＝∠ABC＝α， ∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BF＝BE， ∴BF＝DG， ∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC， 即DF＝2BC．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第一章 三角形 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 3．已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AC＝6 B．AB＝2，BC＝3，∠A＝50° C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝2 D．AB＝2，BC＝3，AC＝6 5．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AFC的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 6．在如图所示的正方形网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含△ABC）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 8．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　 　 ． 10．如图，已知∠ACB＝∠CAD，请你再添加一个条件，使△ABC≌△CDA，则这个条件可以是　 　． 11．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为　 　 ． 12．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F、G，若△ADE的周长为18，则BC边的长度是　 　 ． 13．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为　 　 ． 14．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是　 　 cm2． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　 　 ． 17．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　 ． 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 21．（6分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 22．（8分）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 23．（6分）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） 24．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　 °； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△EFA ； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 25．（7分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当P在AC上时AP＝　 　 ，当P在AB上时AP＝　 　 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF全等，求点Q的运动速度． 27．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； （2）如图2，α＝45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE，求证：BE⊥BC； （3）如图3，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第一章 三角形 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【答案】D 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 【答案】C 【分析】设∠A的度数为α．根据垂直平分线性质得AD＝BD，则∠DBA＝∠A＝α，根据三角形外角性质得∠BDC＝∠DBA+∠A＝2α，在根据BD＝BC得∠C＝∠BDC＝2α，然后根据AB＝AC得∠ABC＝∠C＝2α，最后由三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则α+2α+2α＝180°，由此解出α＝36°即可得出答案． 【解答】解：设∠A的度数为α． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝α， ∵∠BDC是△DAB的外角， ∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A的度数为36°． 3．已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”和垂直平分线的尺规作图法判断即可． 【解答】解：∵S△ABP＝S△ACP， ∴BP＝CP， ∴作BC的垂直平分线与BC的交点即为点P， ∴A符合题意． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AC＝6 B．AB＝2，BC＝3，∠A＝50° C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝2 D．AB＝2，BC＝3，AC＝6 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法对A、B、C选项进行判断；根据三角形三边的关系对D选项进行判断． 【解答】解：A．已知一角一边不符合三角形全等的判定条件，不能画出唯一的△ABC，所以A选项不符合题意； B．已知两边和其中一边所对的角，它不符合三角形全等的判定条件，不能画出唯一的△ABC，所以B选项不符合题意； C．已知两角和它们所夹的边，它符合三角形全等的判定条件，能画出唯一的△ABC，所以C选项符合题意； D．AB+BC＜AC，它不符合三角形三边的关系，不能画出△ABC，所以D选项不符合题意． 5．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AFC的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出S△ACE＝2S△AFC＝6，S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△CBE，再根据S△ABC＝S△ADE+S△CDE+S△ABE+S△CBE计算即可． 【解答】解：∵F为CE的中点，△AFC的面积为3， ∴S△ACE＝2S△AFC＝2×3＝6， ∴S△ADE+S△CDE＝S△ACE＝6， ∵点E为BD的中点， ∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△CBE， ∴S△ABC＝S△ADE+S△CDE+S△ABE+S△CBE＝6+6＝12． 6．在如图所示的正方形网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含△ABC）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】观察并且画出与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，可知符合条件的三角形共有4个，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，以AB为公共边且与△ABC全等的三角形是△BAH； 以BC为公共边且与△ABC全等的三角形有△DCB、△FCB、△EBC； 此外，没有以AC为公共边且满足条件的三角形， ∴与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形有4个． 7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64． 8．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④． 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　72°　 ． 【答案】72°． 【分析】根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝72°． 10．如图，已知∠ACB＝∠CAD，请你再添加一个条件，使△ABC≌△CDA，则这个条件可以是BC＝DA（答案不唯一）　 ． 【答案】BC＝DA（答案不唯一）． 【分析】要使得△ABC≌△CDA．由条件可得到∠DAC＝∠BCA，AC＝CA，再加条件BC＝DA，可以用SAS证明△DAC≌△BCA． 【解答】解：∵∠DAC＝∠BCA，AC＝CA， 添加BC＝DA， ∴△ABC≌△CDA（SAS）； 添加∠B＝∠D， ∴△ABC≌△CDA（AAS）； 添加∠BAC＝∠DCA， ∴△ABC≌△CDA（ASA）； 综上所述，添加一个条件，使△ABC≌△CDA，则这个条件可以是BC＝DA（答案不唯一）． 11．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为　11或13　 ． 【答案】11或13． 【分析】分腰长为3和腰长为5两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【解答】解：已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，分两种情况讨论： 情况1：当腰长为3时，三角形三边长为3，3，5， ∵3+3＞5，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为3+3+5＝11． 情况2：当腰长为5时，三角形三边长为5，5，3， ∵5+3＞5，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为5+5+3＝13． 因此这个等腰三角形的周长为11或13． 12．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F、G，若△ADE的周长为18，则BC边的长度是　18　 ． 【答案】18． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵△ADE的周长为18， ∴DA+DE+EA＝18， ∴BC＝DB+DE+EC＝DA+DE+EA＝18． 13．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为　55°　 ． 【答案】55°． 【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性质可求∠ABD＝130°，可求解． 【解答】解：由等边三角形性质可知AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵BC＝BD， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB＝25°， ∴∠ABD＝130°， ∴∠CBD＝70°， ∴， 14．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是 　27　 cm2． 【答案】27． 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3cm，OF＝OD＝3cm，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC（AB+BC+AC）． 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O， ∴OE＝OD＝3cm，OF＝OD＝3cm， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB×3BC×3AC×3 （AB+BC+AC） ＝27（cm2）． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　 ． 【答案】16． 【分析】连接BE，先求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线性质得AE＝BE，求出∠ABE，进而得∠CBE＝30°，由此得BE＝2CE＝16，据此可求出AE的长． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　8　 ． 【答案】8． 【分析】延长AE、BC交于点F，证明△CAF≌△CBD（ASA），得BD＝AF，再证明△ABE≌△FBE（ASA），得AE＝EFAF，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵AE⊥BD，∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD＝∠AED＝∠FEB＝90°， ∵∠ADE＝∠BDC，∠CAF＝180°﹣∠AED﹣∠ADE，∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC， ∴∠CAF＝∠CBD， 在△CAF和△CBD中， ， ∴△CAF≌△CBD（ASA）， ∴BD＝AF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EFAF， ∴BD＝2AE＝2×4＝8． 17．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　40°、70°或100°　 ． 【答案】40°、70°或100°． 【分析】由于△BCD中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：当BC＝CD时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝40°， 当BD＝BC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝70°． 当DB＝DC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝CD， ∴∠BDC＝100°． 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　2或或12　 秒时，△PEC与△QFC全等． 【答案】2秒或秒或12秒 【分析】点Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【解答】解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t， ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC≌△QFC， 则PC＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8． 解得：t； ③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ， 则PC＝CQ， 即t﹣6＝6， 解得：t＝12； 当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE． 【分析】由BE＝CF，两边加上EF，得到BF＝CE，利用AAS即可得证． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 21．（6分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【分析】（1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得∠BAG＝∠CGD＝∠AGE，继而证明△AEG为等腰三角形即可； （2）作EH⊥AD，垂足为点H，证明△EHG≌△CDG（AAS），可得AH＝HG＝GD＝5，继而得到AG长． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 22．（8分）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论； （2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 23．（6分）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）作∠BAC的平分线，与BC的交点即为点D． （2）根据垂线的作图方法，过点A作BC的垂线AM，再根据作一个角等于已知角的作图方法，作∠CAM＝∠ACN，此时∠BCN＝90°，延长BA与CN交于点P，作∠BPC的平分线，与BC的交点即为点D． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，点D即为所求． 24．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　60　 °； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△EFA ； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 【分析】（1）先由∠AEF＝20°、∠DEF＝90°得到∠DEA＝70°，然后由∠ADE＝50°得到∠DAE＝60°，再结合∠EAB＝90°得到∠BAC＝30°，最后由∠ACB＝90°得到∠ABC＝60°； （2）①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG＝90°，然后由∠DEF＝90°得到∠DEG+∠AEF＝90°，从而得到∠EDG＝∠FEA，再结合DE＝EF、∠DGE＝∠EAF＝90°得证△DEG≌△EFA； ②先由∠GDA+∠GAD＝90°和∠GAD+∠BAC＝90°得到∠GDA＝∠BAC，再结合AD＝AB、∠DGA＝∠C＝90°得证△GDA≌△CAB，进而得到BC＝AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC＝AF，最后得证AE＝AF+BC； （3）过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF＝∠DGE＝90°，然后由△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形得到∠DEF＝90°，DE＝EF，从而得证△GDE≌△AEF，因此有GE＝AF，再由∠DGE＝∠EAF＝90°得到∠GDA＝∠CAB，然后证明△GDA≌△CAB，最后得到BC＝EG+AE＝AF+AE． 【解答】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°， ∴∠DEA＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝60°， ∵∠EAB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°， 故答案为：60． （2）①解：∵DG⊥AE， ∴∠DEG+∠EDG＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEG+∠AEF＝90°， ∴∠EDG＝∠FEA， 在△DEG和△EFA中， ， ∴△DEG≌△EFA（AAS）， 故答案为：EFA． ②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°， ∴∠GDA＝∠BAC， ∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∵△DEG≌△EFA， ∴EC＝AF， ∴AE＝AG+GE＝AF+BC． （3）解：BC＝AE+AF，理由如下， 如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAF＝∠DGE＝90°， ∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°， ∴∠GDE＝∠AEF， ∴△GDE≌△AEF（AAS）， ∴GE＝AF， ∵∠DGE＝∠EAF＝90°， ∴DG∥AB， ∴∠GDA＝∠CAB， 在△GDA和△CAB中， ， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∴BC＝EG+AE＝AF+AE． 25．（7分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD，再由∠ABC＝∠ADC＝90°证明∠CBD＝∠CDB，则CB＝CD，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设∠F＝α，根据AB＝AF可得∠ABF＝∠F＝α，由于BF∥CD，可得∠F＝∠DCE，根据∠BAC是△ABF的外角，则∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，由于∠ABC＝90°，所以∠BCE+∠BAC＝90°，从而α＝30°，进而∠ACB＝60°，结论得证； ②延长AD至A′，使DA′＝AD，可得A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． 26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当P在AC上时AP＝　3tcm ，当P在AB上时AP＝　（36﹣3t）cm ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF全等，求点Q的运动速度． 【分析】（1）用代数式表示出AP即可； （2）分类讨论：①当点P位于AC，点Q位于AB上时；②当点Q位于AC，点P位于AB上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）当点P在边AC上时，AP＝3tcm； 当点P在边AB上时，AP＝AB+AC+BC﹣3t＝15+12+9﹣3t＝（36﹣3t）cm， 故答案为：3tcm，（36﹣3t）cm； （2）设点Q的运动速度为xcm/s， ①当点P位于AC，点Q位于AB上时，此时AP＝3tcm，AQ＝xtcm， ∵△APQ≌△DEF， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴3t＝4，xt＝5， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于AC，点P位于AB上时，此时AP＝（36﹣3t）cm，AQ＝（36﹣xt）cm， ∵△APQ≌△DEF， ∴AP＝DE＝4cm，AQ＝DF＝5cm， ∴36﹣3t＝4，36﹣xt＝5， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为cm/s． 综上可知点Q的运动速度为或cm/s． 27．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； （2）如图2，α＝45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE，求证：BE⊥BC； （3）如图3，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 【分析】（1）由旋转知，AE＝AD，∠DAE＝90°，进而判断出AE∥BC，得出，得出BF＝AE，即可得出结论； （2）在BC的延长线上取一点H，H使CH＝CB，得出AH＝AB，进而得出∠AHC＝∠ABC＝α＝45°，再判断出△ADH≌△AEB（SAS），得出∠ABE＝∠AHC＝45°，即可得出结论； （3）在BC的延长线上取一点G，使CG＝BC，则BG＝2BC，得出AG＝AB，再判断出△ADG≌△AEB（SAS），得出DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣α，再判断出∠BFE＝∠BEF，得出BF＝BE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：由旋转知，AE＝AD，∠DAE＝180°﹣2α＝180°﹣2×45°＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DAE+∠ACB＝180°， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∵EF∥AB， ∴∠FEB＝∠EBA， ∴， ∴BF＝AE， ∴BF＝AD， ∵点D与点C重合， ∴AD＝AC， ∴BF＝AC； （2）证明：如图2，在BC的延长线上取一点，H使CH＝CB， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∴AH＝AB， ∴∠AHC＝∠ABC＝α＝45°， ∴∠BAH＝180°﹣∠AHC﹣∠ABC＝90°， 由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠DAH＝∠EAB， ∴△ADH≌△AEB（SAS）， ∴∠ABE＝∠AHC＝45°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°， ∴BE⊥BC； （3）解：DF＝2BC，证明： 如图3，在BC的延长线上取一点G，使CG＝BC，则BG＝2BC， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∴AG＝AB， ∴∠AGC＝∠ABC＝α， ∴∠BAG＝180°﹣∠AGC﹣∠ABC＝180°﹣2α， 由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝180°﹣2α， ∴∠DAG＝∠EAB， ∴△ADG≌△AEB（SAS）， ∴DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣α， ∴∠FBE＝∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α， ∵EF∥AB， ∴∠BFE＝∠ABC＝α， ∴∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝α， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BF＝BE， ∴BF＝DG， ∴DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC， 即DF＝2BC． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第一章 三角形 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 2．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 3．已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 4．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AC＝6 B．AB＝2，BC＝3，∠A＝50° C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝2 D．AB＝2，BC＝3，AC＝6 5．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AFC的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 6．在如图所示的正方形网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含△ABC）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 8．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　 　 ． 10．如图，已知∠ACB＝∠CAD，请你再添加一个条件，使△ABC≌△CDA，则这个条件可以是　 　． 11．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为　 　 ． 12．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F、G，若△ADE的周长为18，则BC边的长度是　 　 ． 13．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为　 　 ． 14．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是　 　 cm2． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝4，则BD的长为　 　 ． 17．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是　 　 ． 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（5分）如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 21．（6分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 22．（8分）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 23．（6分）（1）如图1，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿直线AD折叠，点C落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，已知△ABC，请用圆规和直尺在BC上找一点D，使△ABC沿过点D的某一条直线折叠，点C落在边AB上的E处，且DE⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） 24．（8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　 °； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△EFA ； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 25．（7分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 26．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts． （1）如图①，当P在AC上时AP＝　 　 ，当P在AB上时AP＝　 　 ．（用含t的式子表示） （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF全等，求点Q的运动速度． 27．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α＝45°，点D与点C重合，求证：BF＝AC； （2）如图2，α＝45°，点D在线段BC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，连接BE，求证：BE⊥BC； （3）如图3，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $