2026-2027学年浙教版数学八年级上册第三章一元一次不等式单元测试卷

第三章一元一次不等式单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 6．不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没有人来买，店主决定打折出售，但希望利润不低于，请问这件皮衣最多可以打（    ）折 A．五五 B．六折 C．六五 D．七五 8．若不等式组无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 12．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 13．不等式组的整数解有 个． 14．已知不等式的解是，则a＝ ． 15．某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题． 16．若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式 ，并在数轴上表示解集． 18．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 20．（8分）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 21．（10分）小张为公司团建活动租车．了解到客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 型 型 载客量(人/辆) 租金(元/辆) (1)小张核算后，向公司申报租金费用元(恰好全部用完)，会计认为他核算错误．你赞同会计的说法吗？请判断，并说明理由． (2)公司共有人参加团建，计划租辆车，共有几种租车方案，哪种方案最划算？ 22．（10分）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 23．（12分）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 24．（12分）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 第三章一元一次不等式单元测试卷 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共个， 故选 C ． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析． 【详解】解：A．是分式，故不是一元一次不等式； B．的次数为二次，故不是一元一次不等式； C．含有、两个未知数，故不是一元一次不等式； D．是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．若，则下列式子中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； B、因为，所以，故此选项错误，符合题意； C、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； D、因为，所以，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 5．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 6．不等式的负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解不等式，在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所求即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 不等式的负整数解为共3个． 故选：C． 7．一件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没有人来买，店主决定打折出售，但希望利润不低于，请问这件皮衣最多可以打（    ）折 A．五五 B．六折 C．六五 D．七五 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系，列出不等式是解题关键．设这件皮衣打折，根据题意“利润不低于”列出不等式解出的范围即可． 【详解】解：设这件皮衣打折． 由题意可列 解得： 这件皮衣最多可以打七五折． 8．若不等式组无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选A． 9．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 10．已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（   ） A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解 C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式、不等式组的整数解等知识，熟练掌握不等式组解集的相关知识是关键．首先求出每个不等式的解集，再根据选项的条件进行分析解答即可． 【详解】解：由得到， ∵不等式组所有正整数解的和为5， ∴， 解得， 故A正确，不合题意； 若，则不等式组的解集为， ∴是不等式组的解， 故B正确，不合题意； ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， 故C正确，不合题意； 若不等式组有解，则， 解得， 故D错误，符合题意， 故选：D 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 【答案】 【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出不等式，根据已知表示出两数a，b的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：由得， 可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变， ∴， 即， 故答案为：． 13．不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 14．已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 15．某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题． 【答案】17 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据得分条件建立不等式是解题的关键．设答对题数为x，根据小颖“得分在76分以上（含76分）”使用符号列不等式求解即可． 【详解】解：设她答对了x道题，根据题意，得 ， 解得，， 故答案为：． 16．若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可． 【详解】解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解不等式 ，并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∴； 在数轴上表示不等式的解集如图： 18．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示如下： 19．（8分）（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）；1，2，3，4；（2）；，0． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次不等式的一般解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，即可求解；． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， ∴正整数解为：1，2，3，4； （2） 去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得． 所以不等式的非正整数解为，0． 20．（8分）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 21．（10分）小张为公司团建活动租车．了解到客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示． 车型 型 型 载客量(人/辆) 租金(元/辆) (1)小张核算后，向公司申报租金费用元(恰好全部用完)，会计认为他核算错误．你赞同会计的说法吗？请判断，并说明理由． (2)公司共有人参加团建，计划租辆车，共有几种租车方案，哪种方案最划算？ 【答案】(1)小张核算错误，理由见解析 (2)共有种租车方案，方案：租用辆型客车；方案：租用辆型客车，辆型客车；方案：租用辆型客车，辆型客车，方案最划算． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）假设小张核算正确，设租用辆型客车，辆型客车，利用总租金每辆型客车的租金租用型客车的数量每辆型客车的租金租用型客车的数量，可列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，可得出原方程无解，进而可得出假设不成立，即小张核算错误； （2）设租用辆型客车，则租用辆型客车，根据租用的客车的总载客量不少于人，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合为非负整数，可得出各租用方案，再求出各租车方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：小张核算错误，理由如下： 假设小张核算正确，设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ， 又均为非负整数， 原方程无解， 假设不成立，即小张核算错误； （2）设租用辆型客车，则租用辆型客车， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 可以为，，， 共有种租车方案， 方案：租用辆型客车，所需总租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，所需总租金为元； 方案：租用辆型客车，辆型客车，所需总租金为元， ， 方案最划算． 22．（10分）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 【答案】(1)①   ② (2)3 【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、系数化为1等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ． （1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用表示，变形得， ②先把代入进行代换，得到；再由已知（即，解此不等式得），确定的范围是；最后由不等式基本性质，给的范围乘3再减8，推出（即 ）的范围：． （2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式建立变量联系，再结合两个不等式条件确定的取值范围，利用“是整数”限定具体值，进而求出参数的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选及代数式求值的综合运用 ． 【详解】解：（1）① ②：， ， ， ， ， ， ， ，即． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是整数， 为整数， ． 23．（12分）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 24．（12分）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； (3)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． （1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程①得：， 解方程②得：， 解方程③得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． $