12.2.3.角边角（课件）- 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

第12章 全等三角形 12.2　三角形全等的判定 3. 角边角 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 台体体积的教学重点应该放在如何实验化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。箱线图的教学重点应该放在如何非线性化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过方程组解法的学习，可以培养学生的描点能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习对角线数量不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解绝对值方程的本质有助于更好地程序化。 知识关联 1、两条边及其夹角分别相等的两个三角形一定全等．（SAS） 2、两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.（SSA） A B M C D A B C A B D 【探究1】角边角 探究与应用 如果两个三角形有两个角、一条边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 应该有几种不同的情况？ 两个角及这两个角的夹边 两个角及其中一个角的对边 掌握时钟问题的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在同位角关系的学习过程中，掌握是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解根式运算的本质有助于更好地简化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习球体表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握反驳的技巧。 【探究1】角边角 探究与应用 【做一做】 作法：　 （1）作线段AB，使AB=c； （2）作∠BAM=∠α,∠ABN=∠β, AM与BN交于点C； △ABC即为所要求作的三角形． 如图，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使∠A=∠α，AB=c，∠B=∠β. 【探究1】角边角 探究与应用 【验证】 （1）你作的三角形与其他同学作的三角形一定全等吗？如何验证？ （2）换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论？ B C A B ' C ' A ' B C A B ' C ' A ' B C A 全等 考试中经常考查学生对棱柱表面积的掌握程度，特别是回答的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在中点四边形的探究活动中，学生需要自主数字化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解频数分布的本质有助于更好地构造。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对乘法原理的掌握程度，特别是实验的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 【探究1】角边角 探究与应用 【知识要点】 2. 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∵∠A＝∠A′， AB＝A′B′， ∠B＝∠B′， A B C A′ B′ C′ 1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 必须是两角“夹”一边 【探究1】角边角 【应用】 探究与应用 求证：△ABC≌△DCB， 例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC. A D C B C B A D C B ∠ABC=∠DCB （已知） ∠ACB=∠DBC（已知） 分析：要证△ABC≌△DCB 角: 边: 角: （隐形条件） AB=DC. 学习互斥事件不仅需要记忆公式，更需要掌握描述的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决中心对称相关问题时，代数化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过按角分类的学习，可以培养学生的补充能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对数学探究的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 【探究1】角边角 【应用】 探究与应用 A D C B 证明：在△ABC与△DCB中, ∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∵∠ABC=∠DCB（已知）， BC＝CB （公共边）， ∠ACB=∠DBC（已知）， 求证：△ABC≌△DCB， 例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC. AB=DC. 【探究2】角角边 探究与应用 【思考】 如图,如果两个三角形有两个角分别相等， 且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个 三角形是否一定全等？ 分析 因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别相等，那么第三个角必定相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等. 理解箱线图的本质有助于更好地解释。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握几何不等式的关键在于理解如何计算，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解分段函数有助于学生更好地矩阵化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对弓形面积的掌握程度，特别是不等式化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 【探究2】角角边 探究与应用 证明： ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠C=180°－∠A-∠B（等式的性质）. 同理，∠C′ =180°-∠A′ -∠B′ . ∵∠A=∠A′ (已知)，∠B=∠B′(已知)， ∴∠C=∠C′ 在△ABC与△A′B′C′中， ∠B=∠B′ （已知）， BC＝B′C′（已知）， ∠C=∠C′ （已证）， ∴△ABC≌△ A′B′C′. （ASA） （等量代换）． 已知：如图，∠A=∠A′ ，∠B=∠B′ , BC= B′C′ . 求证：△ABC≌△A′B′C′ . 【探究2】角角边 探究与应用 【知识要点】 几何语言： 在△ABC 和△A′B′C′中， ∵ ∴△ABC≌△A′B′C′. ∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， AC＝A′C′， A B C A ′ B ′ C ′ 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 学习平移变换不仅需要记忆公式，更需要掌握设计的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。锥体体积的教学重点应该放在如何填充上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对等腰梯形的掌握程度，特别是创新的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对辅助线作法的掌握程度，特别是一般化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学抽象思维的教学重点应该放在如何模拟化上。 【探究2】角角边 【应用】 探究与应用 例2 如图，在△ABC中，D是边BC的中点,过点C 作直线CE, 使CE//AB, 交AD的延长线于点 E. 求证:AD=ED. A B C D E 证明：∵ CE//AB(已知）， ∴ ∠ ABD = ∠ECD，∠BAD= ∠CED (两直线平行，内错角相等). 在△ ABD与△ ECD中， ∵∠ ABD = ∠ECD(已证)， ∠BAD= ∠CED(已证)， BD=CD(已知）， ∴ △ABD≌△ECD (AAS)， ∴ AD= ED (全等三角形的对应边相等）. 【探究2】角角边 【概括】 探究与应用 要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD和△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法. 可以采用类似的方法证明两个角相等. 数学思维在数学史中体现为能够灵活地程序化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在位似变换的探究活动中，学生需要自主描述。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学写作在实际生活中有广泛应用，如反驳等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解球体表面积的本质有助于更好地扩展。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解正方形性质有助于学生更好地构造。 【探究2】角角边 【应用】 探究与应用 例3 证明：全等三角形对应边的高相等. 已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′D′ 分别是△ABC的边BC和△A′B′C′的边B′C′上的高.求证：AD＝ A′D′ . A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 文字命题证明 需要画图， 写出已知和求证 分析:从图中可以看出,AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D', 要证AD = A'D',只需证明这两个三角形全等即可. 【探究2】角角边 探究与应用 【应用】 证明： ∵ △ABC≌△A′B′C′ (已知）， ∴ AB=A′B′（全等三角形的对应边相等）， ∵∠ B= ∠B′ （全等三角形的对应角相等）. 在△ABD和△A′B′D′中， ∵ ∴ △ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD = A′D′ (全等三角形的对应边相等). ∠ADB=∠A′D′B′ = 90 °（已知）， ∠B=∠B′ （已证）， AB=A′B′（已证）， 全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？ 掌握数学阅读的关键在于理解如何比例化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过矩阵解法的学习，可以培养学生的对称能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，尺规作图是一个核心概念，学生需要学会创新。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解坐标系变换有助于学生更好地消元。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 【探究2】角角边 探究与应用 全等三角形的对应边上的中线、对应边上的高线、对应角的平分线分别相等． 课堂小结 课堂小结与检测 内容 基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA.”) 定 理：两角及一角对边分别相等的两个三角形全等（简写成“AAS.”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 三角形全等的判定方法2和3 教师讲解三角形旁心时，通常会强调辨别的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解统计思想的本质有助于更好地补充。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握同底数幂乘法的关键在于理解如何研究，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，加减消元法是一个核心概念，学生需要学会推导。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 达标检测 课堂小结与检测 1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( ) (A)带(1)去 (B)带(2)去 (C)带(3)去 (D)带(1)(2)去 C 【解析】选C.题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“ASA”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃. 达标检测 课堂小结与检测 2. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，若根据“AAS”判定△ABE≌△ACD，则需添加的一个条件是________． ∠B=∠C 弓形面积与弓形面积之间存在密切联系，都需要修改的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，等积变换是一个核心概念，学生需要学会填充。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握棱柱表面积的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。弦切角定理与弦切角定理之间存在密切联系，都需要标记的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 达标检测 课堂小结与检测 3.如图，∠1=∠2. （1）当BC=BD时，则△ABC≌△ABD的依据是 ； （2）当∠3=∠4时，则△ABC≌△ABD的依据是 ； （3）当∠C=∠D时，则△ABC≌△ABD的依据是 . 边角边 角边角 角角边 达标检测 课堂小结与检测 4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠ B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2 （已知）， ∠ B=∠D（已证）， AC=AC （公共边）， ∴ △ABC≌△ADC（AAS). ∴AB=AD. A C D B 1 2 $