2026-2027学年沪科版数学八年级上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元自测

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元自测卷（真题改编） （试题版·学生练习用） （建议用时：120分钟　满分：150分） 测试范围：第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 姓名：____________　班级：____________　考号：____________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一项符合题意） 1．下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是（　） A．2，3，5 B．4，6，9 C．3，4，8 D．5，5，10 2．一块三角形纸板被撕掉一角，测得剩下的两个内角分别为 62°和 48°，则被撕掉的角是（　） A．70° B．60° C．80° D．50° 3．如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点 O，并使它们的一条直角边对齐，则两块三角尺的斜边所夹锐角∠x 的度数是（　） A．10° B．15° C．20° D．30° 4．如图，CE 是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=38°，∠ACE=62°，则∠A=（　） A．80° B．82° C．86° D．90° 5．下列命题中，是真命题的是（　） A．无理数都是开方开不尽的数 B．同旁内角互补 C．若 a>b，则 −2a<−2b D．互补的两个角是邻补角 6．若等腰三角形中有一个内角为 50°，则它的顶角的度数为（　） A．50° B．80° C．50°或80° D．65° 7．下列关于三角形高的说法，正确的是（　） A．三角形的三条高都在三角形内部 B．钝角三角形有两条高在三角形外部 C．直角三角形没有高 D．三角形的高是一条射线 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知 AB=9cm，AC=4cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（　） A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm 9．对于命题“如果 a>−1，那么 a²>1”，要说明它是假命题，则 a 的值可以是（　） A．−2 B．0 C．2 D．3 10．如图是一个“飞镖”图形，若∠A=55°，∠B=22°，∠C=25°，则∠BDC=（　） A．92° B．102° C．112° D．122° 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．将命题“等角的补角相等”写成“如果……，那么……”的形式：________。 12．一个三角形的三条边长分别为 a、6、10，则 a 的取值范围是________。 13．如果实数 a、b 满足 |2a−8|+(b−6)²=0，且 a、b 恰好是等腰三角形的两边长，则该三角形的周长是______。 14．如图，BP 平分∠ABC，CP 平分△ABC的外角∠ACD，若∠A=64°，则∠P=______。 三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．补全证明：三角形的内角和等于 180°。 如图，延长 BA 到点 D，过点 A 作 AE∥BC。 证明：∵AE∥BC（已作），∴∠1=∠B（____________），∠2=∠C（____________）。 又∵点 D、A、B 在同一直线上，∴∠1+∠BAC+∠2=∠DAB=______°（____________）， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°。 解： 16．已知△ABC的三边长分别为 a，b，c。 (1) 若 a=4，b=6，c 为三边中最长边的长，且 c 为偶数，求△ABC的周长； (2) 化简：|a+b−c|+|a+c−b|+|b+c−a|。 解： 17．如图，AD是△ABC的中线，△ACD的周长比△ABD的周长多 6cm，△ABC的周长为 48cm，BD=7cm，求 AB、AC 的长。 解： 18．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线。 (1) 若∠ABE=20°，∠BAD=50°，求∠BED的度数； (2) 若△ABC的面积为 48，BD=6，求点 E 到 BC 边的距离。 解： 19．【新定义】在三角形中，若最大内角恰好是最小内角度数的 n 倍（n 为大于 1 的整数），则称这个三角形为“n 倍角三角形”。 (1) 若三角形三个内角分别为 40°、80°、60°，则它是“______倍角三角形”； (2) 若一个“3 倍角三角形”的最大内角与最小内角相差 60°，求这个三角形三个内角的度数。 解： 20．如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点 A₁。 (1) 若∠A=72°，求∠A₁的度数； (2) 设∠A=α，随着三角形变化，∠A₁是否变化？写出∠A₁与 α 的关系并说明理由； (3) 如图②，如此继续，再作∠A₁BC、∠A₁CD的平分线交于 A₂……，则∠Aₙ=______（用含 α、n 的式子表示）；若 α=80°，∠Aₙ=2.5°，求 n 的值。 解： 21．如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E。 (1) 若∠B=68°，∠C=32°，求∠DAE、∠AEC的度数； (2) 若∠B>∠C，猜想∠DAE与∠B−∠C的关系，并证明。 解： 22．如图①，在“飞镖”ABDC中，∠ABD、∠ACD的平分线相交于点 G₁。 (1) 若∠A=50°，∠BDC=140°，求∠BG₁C的度数； (2) 如图②，继续作∠G₁BD、∠G₁CD的平分线交于 G₂，求∠BG₂C的度数，并写出∠BGₖC与∠A、∠BDC的一般关系； (3) 若∠BDC=140°，∠BG₁C=92°，求∠A的度数。 解： 23．如图，△ABC中∠B=60°，∠C=40°，开始时 BC 水平。固定一条直线 MN，它与水平方向成 25°角。现将△ABC绕点 A 以每秒 10°的速度顺时针旋转，旋转一周后停止。 (1) 在旋转过程中，是否存在 AB∥MN？若存在，求出旋转时间 t（秒）； (2) 是否存在 BC⊥MN？若存在，求出旋转时间 t（秒）。 解： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元自测卷（真题改编） （解析版） 测试范围：第13章 三角形中的边角关系、命题与证明　满分：150分 1．下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是（　） A．2，3，5 B．4，6，9 C．3，4，8 D．5，5，10 【答案】B 【解析】只需判断“两条较短线段之和是否大于最长线段”。4+6=10>9，能组成；2+3=5、5+5=10 均为退化，3+4=7<8，均不能。 【错因】只看“有没有两边之和大于第三边”，没有锁定最长边来判断。 2．一块三角形纸板被撕掉一角，测得剩下的两个内角分别为 62°和 48°，则被撕掉的角是（　） A．70° B．60° C．80° D．50° 【答案】A 【解析】三角形内角和为 180°，被撕掉的角=180°−62°−48°=70°。 【错因】用 180°减去一个角后忘记再减第二个角。 3．如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点 O，并使它们的一条直角边对齐，则两块三角尺的斜边所夹锐角∠x 的度数是（　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【解析】一块三角尺的斜边与公共直角边成 60°，另一块成 45°，两斜边夹角为 60°−45°=15°。 【错因】把两个锐角直接相加，或误读成三角尺的固定锐角。 4．如图，CE 是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=38°，∠ACE=62°，则∠A=（　） A．80° B．82° C．86° D．90° 【答案】C 【解析】CE 平分外角，故∠ACD=2∠ACE=124°；由外角定理∠ACD=∠A+∠B，∠A=124°−38°=86°。 【错因】把外角当成只等于∠A，或忘记平分要把∠ACE 乘 2。 5．下列命题中，是真命题的是（　） A．无理数都是开方开不尽的数 B．同旁内角互补 C．若 a>b，则 −2a<−2b D．互补的两个角是邻补角 【答案】C 【解析】不等式两边同乘负数 −2，不等号方向改变，故 −2a<−2b，C 为真；π 是无理数但不是开方所得；同旁内角只有平行时才互补；互补不一定相邻。 【错因】忽略同旁内角互补要以平行为前提，或把无理数等同于“开方开不尽”。 6．若等腰三角形中有一个内角为 50°，则它的顶角的度数为（　） A．50° B．80° C．50°或80° D．65° 【答案】C 【解析】分两种情况：50°为顶角时，顶角就是 50°；50°为底角时，顶角=180°−50°−50°=80°。两种都成立，故为 50°或80°。 【错因】只算其中一种情况，没有就“50°是顶角还是底角”分类。 7．下列关于三角形高的说法，正确的是（　） A．三角形的三条高都在三角形内部 B．钝角三角形有两条高在三角形外部 C．直角三角形没有高 D．三角形的高是一条射线 【答案】B 【解析】钝角三角形夹钝角两边上的高在三角形外部，故有两条高在外；锐角三角形三条高都在内；直角三角形两条高与直角边重合；高是线段。 【错因】误以为钝角三角形只有一条高在外，或把高判断成射线。 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知 AB=9cm，AC=4cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（　） A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm 【答案】B 【解析】中线使 BD=CD，AD 为公共边，周长之差只由 AB、AC 决定，为 9−4=5cm。 【错因】把两条三角形整条周长都算一遍，或把差取成 (AB−AC) 的一半。 9．对于命题“如果 a>−1，那么 a²>1”，要说明它是假命题，则 a 的值可以是（　） A．−2 B．0 C．2 D．3 【答案】B 【解析】0>−1（满足题设），但 0²=0<1（结论不成立），可作反例；−2 不满足 a>−1；2、3 的平方都大于 1。 【错因】选了不满足 a>−1 的数，或选了平方仍大于 1 的数（不能推翻结论）。 10．如图是一个“飞镖”图形，若∠A=55°，∠B=22°，∠C=25°，则∠BDC=（　） A．92° B．102° C．112° D．122° 【答案】B 【解析】飞镖模型中，凹进去的角∠BDC等于另外三个角之和，∠BDC=∠A+∠B+∠C=55°+22°+25°=102°。 【错因】把∠BDC 误当成 180°−(∠B+∠C)，漏加了∠A。 11．将命题“等角的补角相等”写成“如果……，那么……”的形式：________。 【答案】如果两个角相等，那么它们的补角相等。 【解析】题设是“两个角相等”，结论是“它们的补角相等”，套“如果题设，那么结论”。 【错因】把题设写成“补角相等”而漏出条件，或题设结论位置写反。 12．一个三角形的三条边长分别为 a、6、10，则 a 的取值范围是________。 【答案】4<a<16 【解析】由“两边之差<第三边<两边之和”，得 10−6<a<10+6，即 4<a<16。 【错因】只写 a<16 而漏掉下界 a>4，或把不等号写成带等号。 13．如果实数 a、b 满足 |2a−8|+(b−6)²=0，且 a、b 恰好是等腰三角形的两边长，则该三角形的周长是______。 【答案】14或16 【解析】由非负性得 2a−8=0、b−6=0，即 a=4、b=6。腰为 4 时三边 4、4、6，周长 14；腰为 6 时三边 6、6、4，周长 16。两种都满足三边关系，故为 14 或 16。 【错因】只算一种腰的情况，或不检验 4、4、6 是否满足三边关系。 14．如图，BP 平分∠ABC，CP 平分△ABC的外角∠ACD，若∠A=64°，则∠P=______。 【答案】32° 【解析】一内一外角平分线模型 ∠P=∠A=×64°=32°。 【错因】与双内角平分线模型 90°+½∠A 混淆，或算成整个∠A。 15．补全证明：三角形的内角和等于 180°。 如图，延长 BA 到点 D，过点 A 作 AE∥BC。 证明：∵AE∥BC（已作），∴∠1=∠B（____________），∠2=∠C（____________）。 又∵点 D、A、B 在同一直线上，∴∠1+∠BAC+∠2=∠DAB=______°（____________）， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°。 【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；180；平角的定义。 【解析】过顶点作平行线，把三个内角“搬”到同一个平角上，由平角为 180°得证。 【错因】把同位角、内错角两类理由填混，或不说明 180°来自平角。 16．已知△ABC的三边长分别为 a，b，c。 (1) 若 a=4，b=6，c 为三边中最长边的长，且 c 为偶数，求△ABC的周长； (2) 化简：|a+b−c|+|a+c−b|+|b+c−a|。 【答案】(1) 周长为 18；(2) a+b+c。 【解析】(1) c 最长故 c>6，又 c<a+b=10，c 为偶数，故 c=8，周长=4+6+8=18。(2) 由三边关系，a+b>c、a+c>b、b+c>a，三个绝对值内都为正，原式=(a+b−c)+(a+c−b)+(b+c−a)=a+b+c。 【错因】第(1)问漏掉“c 最长”；第(2)问误判某个“两边和−第三边”的符号。 17．如图，AD是△ABC的中线，△ACD的周长比△ABD的周长多 6cm，△ABC的周长为 48cm，BD=7cm，求 AB、AC 的长。 【答案】AB=14cm，AC=20cm。 【解析】中线使 BD=CD、AD 公共，故周长之差 AC−AB=6。又 BC=2BD=14，故 AB+AC=48−14=34。设 AB=x、AC=y，则 y−x=6、x+y=34，解得 x=14、y=20。 【错因】把周长差当成 (AC−AB) 的一半，或求 AB+AC 时漏减 BC。 18．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线。 (1) 若∠ABE=20°，∠BAD=50°，求∠BED的度数； (2) 若△ABC的面积为 48，BD=6，求点 E 到 BC 边的距离。 【答案】(1) ∠BED=70°；(2) 距离为 4。 【解析】(1) E 是 AD 的中点，ED 是 EA 的延长线，∠BED 是△ABE 的外角，∠BED=∠BAD+∠ABE=50°+20°=70°。(2) 中线等分面积，S△ABD=S△ABC=24，S△BDE=S△ABD=12；设 E 到 BC 距离为 h，则 ×BD×h=12，即 ×6×h=12，h=4。 【错因】第(1)问不会用外角等于不相邻两内角和；第(2)问没有连续两次用中线等分面积。 19．【新定义】在三角形中，若最大内角恰好是最小内角度数的 n 倍（n 为大于 1 的整数），则称这个三角形为“n 倍角三角形”。 (1) 若三角形三个内角分别为 40°、80°、60°，则它是“______倍角三角形”； (2) 若一个“3 倍角三角形”的最大内角与最小内角相差 60°，求这个三角形三个内角的度数。 【答案】(1) 2；(2) 30°、60°、90°。 【解析】(1) 最小角 40°、最大角 80°，80÷40=2，为“2 倍角三角形”。(2) 设最小角为 x、最大角为 3x，由 3x−x=60°得 x=30°，最大角 90°，第三个角=180°−30°−90°=60°，故三个角为 30°、60°、90°。 【错因】第(2)问把 3x−x 算成 3x，或求出两角后忘记用内角和求第三角。 20．如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点 A₁。 (1) 若∠A=72°，求∠A₁的度数； (2) 设∠A=α，随着三角形变化，∠A₁是否变化？写出∠A₁与 α 的关系并说明理由； (3) 如图②，如此继续，再作∠A₁BC、∠A₁CD的平分线交于 A₂……，则∠Aₙ=______（用含 α、n 的式子表示）；若 α=80°，∠Aₙ=2.5°，求 n 的值。 【答案】(1) 36°；(2) ∠A₁=½α；(3) α/2ⁿ，n=5。 【解析】(1) 一内一外模型 ∠A₁=∠A=36°。(2) 推导：∠A₁=∠A₁CD−∠A₁BC=∠ACD−∠ABC=(∠ACD−∠ABC)=∠A=α，不随形状变化。(3) 每作一次平分角减半，∠Aₙ=α/2ⁿ；80/2ⁿ=2.5，2ⁿ=32，n=5。 【错因】第(2)问不会现场用外角定理推导；第(3)问找不出“每次减半”的规律。 21．如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E。 (1) 若∠B=68°，∠C=32°，求∠DAE、∠AEC的度数； (2) 若∠B>∠C，猜想∠DAE与∠B−∠C的关系，并证明。 【答案】(1) ∠DAE=18°，∠AEC=108°；(2) ∠DAE=½(∠B−∠C)。 【解析】(1) ∠BAC=180°−68°−32°=80°，AE 平分故∠CAE=40°；直角△ADC中∠DAC=90°−∠C=58°，∠DAE=∠DAC−∠CAE=58°−40°=18°；∠AEC=180°−∠C−∠CAE=180°−32°−40°=108°。(2) ∠DAE=(90°−∠C)−(180°−∠B−∠C)=(∠B−∠C)。 【错因】把∠DAE 误当成½(∠B+∠C)，或求∠AEC时用错△AEC的内角。 22．如图①，在“飞镖”ABDC中，∠ABD、∠ACD的平分线相交于点 G₁。 (1) 若∠A=50°，∠BDC=140°，求∠BG₁C的度数； (2) 如图②，继续作∠G₁BD、∠G₁CD的平分线交于 G₂，求∠BG₂C的度数，并写出∠BGₖC与∠A、∠BDC的一般关系； (3) 若∠BDC=140°，∠BG₁C=92°，求∠A的度数。 【答案】(1) 95°；(2) 72.5°，∠BGₖC=∠A+(∠BDC−∠A)/2ᵏ；(3) ∠A=44°。 【解析】飞镖中∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD。(1) 平分线使 G₁ 处两小角各减半，∠BG₁C=∠A+(∠ABD+∠ACD)=∠A+(∠BDC−∠A)=(∠A+∠BDC)=×190°=95°。(2) 再减半，∠BG₂C=50°+90°/4=72.5°；一般 ∠BGₖC=∠A+(∠BDC−∠A)/2ᵏ。(3) (∠A+140°)=92°，∠A=44°。 【错因】第(1)问不会用飞镖关系，或第(2)问把分母 2ᵏ 写成 2k；第(3)问反解时算错。 23．如图，△ABC中∠B=60°，∠C=40°，开始时 BC 水平。固定一条直线 MN，它与水平方向成 25°角。现将△ABC绕点 A 以每秒 10°的速度顺时针旋转，旋转一周后停止。 (1) 在旋转过程中，是否存在 AB∥MN？若存在，求出旋转时间 t（秒）； (2) 是否存在 BC⊥MN？若存在，求出旋转时间 t（秒）。 【答案】(1) 存在，t=3.5 秒或 21.5 秒；(2) 存在，t=6.5 秒或 24.5 秒。 【解析】开始时 AB 所在直线与水平方向成 60°，BC 成 0°，整体每秒顺时针转 10°。(1) AB 方向为 60−10t，令其与 MN 的 25°平行（相差 180°的整数倍）：60−10t=25 或 −155，得 t=3.5 或 21.5。(2) BC 方向为 −10t，令其与 MN 垂直即方向为 115°（mod180）：−10t=−65 或 −245，得 t=6.5 或 24.5。 【错因】只考虑方向角相等而漏掉“相差180°也平行”，或垂直时把方向取成 25°−90°的错误一侧，漏解。 学科网（北京）股份有限公司 $