第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 错题专题训练 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明·错题专题训练 （解析版） 一、选择题（共6小题） 1．手工社团要从下列四组小棒中各取三根首尾相接围成三角形，其中恰好能围成三角形的是（ ） A．3 cm，5 cm，8 cm B．4 cm，6 cm，9 cm C．2 cm，3 cm，6 cm D．5 cm，5 cm，11 cm 【答案】B 【解析】只需验证“较短两边之和是否大于最长边”。A：3＋5＝8，不满足“大于”；B：4＋6＝10＞9，可以；C：2＋3＝5＜6；D：5＋5＝10＜11。故选 B。 【错因】把“两边之和等于第三边”也当成能围成；没有只比较“较短两边之和与最长边”，而是逐对比较导致混乱。 2．如图，△ABC 中∠A 为钝角，安装师傅要从顶点 C 向边 AB 所在直线架设一段垂直支撑杆，也就是画出 AB 边上的高。下面四幅图中画法正确的是（ ） A．垂足落在线段 AB 上 B．垂足落在 BA 的延长线上 C．支撑杆端点放在点 A 处 D．支撑杆与 AB 斜交 【答案】B 【解析】∠A 为钝角时，从 C 看直线 AB，垂足落在线段 AB 之外、位于 BA 过 A 的延长线上，且支撑杆与 AB 所在直线垂直。故选 B。 【错因】认为高的垂足一定在对边“线段”上；钝角三角形夹钝角两边上的高在三角形外部，这是最高频的画高错误。 3．如图，三角形铁板 ABC 中，点 D 在 BC 上、点 E 在 AC 上，连接 AD、BE，量得 BD＝DC，∠ABE＝24°，∠EBC＝30°。下列说法正确的是（ ） A．AD 是∠BAC 的平分线 B．BE 是∠ABC 的平分线 C．AD 是 BC 边上的中线 D．△ABE 与△CBE 的面积相等 【答案】C 【解析】BD＝DC 说明 D 是 BC 中点，故 AD 是 BC 边上的中线。∠ABE＝24°≠∠EBC＝30°，BE 不平分∠B；中线只保证被分成的两块“整体”面积相等，BE 不是中线，△ABE 与△CBE 面积不一定相等。故选 C。 【错因】看到一条过顶点的线段就当成角平分线，混淆“中线（过对边中点）”与“角平分线（平分角）”；误以为任意过顶点线段都能平分面积。 4．如图是一块三角形警示牌，CD 平分△ABC 的外角∠ACE，交 BA 的延长线于点 D。若∠B＝32°，∠D＝26°，则外角∠ACE 的度数为（ ） A．100° B．108° C．116° D．124° 【答案】C 【解析】设∠ACE＝2x，则∠ACD＝∠DCE＝x。∠ACB＝180°−2x，于是∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝(180−2x)＋x＝180−x。在△BCD 中，32＋26＋(180−x)＝180，解得 x＝58，故∠ACE＝2x＝116°。故选 C。 【错因】外角平分线把外角分成两半后，不会用“∠BCD＝180°−x”这一关系；在三角形里漏算某个角导致方程列错。 5．如图为一次定向越野的方位示意：B 处在观测点 A 的南偏西 35°方向，C 处在 A 的南偏东 30°方向，C 处在 B 的北偏东 75°方向。则∠ACB 的度数为（ ） A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【解析】由 A 处正南方向，∠BAC＝35°＋30°＝65°。A 处正南与 B 处正北互相平行，故 A 在 B 的北偏东 35°，而 C 在 B 的北偏东 75°，∠ABC＝75°−35°＝40°。于是∠ACB＝180°−65°−40°＝75°。故选 C。 【错因】不会利用两处“正南、正北方向线互相平行”得到内错角；把南偏西、北偏东的角度直接相加或相减搞错方向。 6．命题“若两个角互为补角，则其中一定有一个角是锐角”是假命题，下列能作为反例的是（ ） A．120°与 60° B．90°与 90° C．100°与 80° D．150°与 30° 【答案】B 【解析】反例需满足“两个角互补、但没有锐角”。90°＋90°＝180°，两角互补，而直角既不是锐角也不是钝角，恰好推翻原命题。其余三组都含一个锐角。故选 B。 【错因】误以为互补必为“一锐一钝”，忽略两个直角也互补；判断反例时没有同时核对“满足条件、却不满足结论”。 二、填空题（共4小题） 7．命题“相等的两个角是对顶角”是 ______ 命题（填“真”或“假”）；它的逆命题是 ____________，该逆命题是 ______ 命题。 【答案】假；“对顶角相等”；真 【解析】相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角），故原命题为假。交换题设与结论得逆命题“对顶角相等”，这是定理，为真命题。 【错因】把“相等的角是对顶角”误判为真；不会写逆命题，或误以为原命题为假、逆命题也一定为假（互逆命题真假需分别判断）。 8．如图，模型制作课上，△ABC 中∠ABC＝100°，点 D 在 AC 上，将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 AB 边上的点 E 处。若∠ADE＝30°，则∠A＝______。 【答案】25° 【解析】折叠后∠C＝∠BED，且 BD 平分∠CBE＝∠ABC＝100°，∠CBD＝∠DBE＝50°。设∠C＝γ，则∠BED＝γ。E 在 AB 上，∠BED 是△AED 的外角，故∠BED＝∠A＋∠ADE，即 γ＝∠A＋30，∠A＝γ−30。在△ABC 中，(γ−30)＋100＋γ＝180，得 γ＝55，∠A＝25°。 【错因】折叠后对应角∠C＝∠BED 找错；把外角关系写成∠A＝∠BED＋∠ADE，方向相反导致结果错误。 9．如图，△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 I。若∠BIC＝125°，则∠A＝______，∠ABC＋∠ACB＝______。 【答案】70°；110° 【解析】两条内角平分线夹角∠BIC＝90°＋∠A，故 125＝90＋∠A，∠A＝70°。于是∠ABC＋∠ACB＝180°−70°＝110°。 【错因】把公式记成 90°−∠A（那是两条外角平分线的夹角）；求出∠A 后不会用内角和反求两角之和。 10．【新定义】若一个三角形中有一个内角恰好是另一个内角的 3 倍，则称它为“三倍角三角形”，其中较大的角叫作“顶角”。已知某个“三倍角三角形”中有一个内角为 60°，则它的“顶角”度数为 ________。 【答案】60°或 90° 【解析】设成 3 倍关系的两个角为 x、3x，第三角为 180−4x。分类讨论：①若 60°是顶角 3x，则 x＝20，第三角 100，三角 20、60、100，成立；②若 60°是小角 x，则 3x＝180、第三角为 −60，不成立；③若 60°是第三角，则 180−4x＝60，x＝30，3x＝90，三角 30、60、90，成立。故顶角为 60°或 90°。 【错因】只讨论 60°是顶角或小角，漏掉 60°是“第三个角”的情况；不验证三个内角都为正，写出 −60°这类无效答案。 三、解答题（共4小题） 11．【补全证明】已知：如图，AB∥CD，点 E 是 AB、CD 之间的一点，连接 BE、DE。求证：∠BED＝∠B＋∠D。请在横线上补全辅助线、角或括号内的依据。 证明：过点 E 作 EF∥AB。 （1）∵AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），∴EF∥CD（________________）； （2）∴∠B＝∠BEF（________________）； （3）　　∠D＝________（两直线平行，内错角相等）； （4）∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D（________）。 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）∠DEF；（4）等量代换。 【解析】这是“拐点（铅笔头）”模型。过拐点 E 作 EF∥AB，由平行的传递性得 EF∥CD；于是 BE、DE 分别截平行线，得到两对内错角∠B＝∠BEF、∠D＝∠DEF，相加即得结论。 【错因】想不到“过拐点作平行线”这条辅助线；作辅助线后只推出一组内错角，漏掉另一组；依据张冠李戴，把“判定”与“性质”混用。 12．如图是边长为 1 的正方形网格，△ABC 的顶点都在格点上，其中 B(1,1)、C(7,1)、A(3,5)。 （1）画出 BC 边上的中线 AD，并写出点 D 的坐标； （2）画出 BC 边上的高 AE，并写出点 E 的坐标； （3）求△ABC 的面积。 【答案】（1）D(4,1)；（2）E(3,1)；（3）S＝12。 【解析】BC 水平、长为 6。（1）D 为 BC 中点，坐标 ((1＋7)/2,1)＝(4,1)；（2）BC 水平，高为竖直方向，垂足 E(3,1)；（3）高 AE＝5−1＝4，S＝×6×4＝12。 【错因】中线与高的垂足混淆（本题 D、E 不是同一点）；数格子时底或高多（少）数一格；用割补法时忘记除以 2。 13．如图，小区中心有一处圆形假山，假山两侧各安装一段景观护栏 AM、DN，设计要求两段护栏所在直线互相垂直。由于假山遮挡，质检员在假山外选取了可直接到达 M、N 的点 B，量得∠M＝28°，∠B＝48°，∠N＝14°。请判断 AM 与 DN 是否垂直，并说明理由。 【答案】垂直。 【解析】延长 AM、DN，设它们所在直线交于点 P；延长 AM 交 BN 于点 Q。∠PQN 是△BMQ 的外角，故∠PQN＝∠M＋∠B＝28°＋48°＝76°。在△PQN 中，∠QPN＝180°−∠PQN−∠N＝180°−76°−14°＝90°，所以 AM⊥DN。 【错因】不会通过延长护栏把被假山遮挡的交点“移”到可求的三角形中；使用外角时认错是哪两个内角之和；三角形内角和漏减一个角。 14．【动态探究】如图，∠AOB＝80°，点 M 在射线 OA 上、点 N 在射线 OB 上运动（均不与 O 重合），连接 MN，MD 平分∠OMN，ND 平分∠ONM，两线交于点 D。 （1）当∠OMN＝60°时，求∠MDN 的度数； （2）当 M、N 运动时，∠MDN 的度数是否发生变化？若不变，请求出它的定值并说明理由； （3）若将∠AOB 改为 β，直接用含 β 的式子表示∠MDN。 【答案】（1）130°；（2）不变，∠MDN＝130°；（3）∠MDN＝90°＋β。 【解析】（1）∠OMN＝60°时，∠ONM＝180°−80°−60°＝40°，两半角为 30°、20°，∠MDN＝180°−30°−20°＝130°。 （2）不变。MD、ND 是△OMN 的两条内角平分线，故∠MDN＝90°＋∠MON＝90°＋×80°＝130°，与 M、N 位置无关。 （3）一般地，∠MDN＝90°＋β。 【错因】受“点在运动”干扰，误认为角也一定变化；把双内角平分线公式用成 90°−∠O；第（1）问算出 130°后，第（2）问不敢推广为一般结论。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明·错题专题训练 （试题版　建议用时45分钟） 一、选择题（共6小题） 1．手工社团要从下列四组小棒中各取三根首尾相接围成三角形，其中恰好能围成三角形的是（ ） A．3 cm，5 cm，8 cm B．4 cm，6 cm，9 cm C．2 cm，3 cm，6 cm D．5 cm，5 cm，11 cm 2．如图，△ABC 中∠A 为钝角，安装师傅要从顶点 C 向边 AB 所在直线架设一段垂直支撑杆，也就是画出 AB 边上的高。下面四幅图中画法正确的是（ ） A．垂足落在线段 AB 上 B．垂足落在 BA 的延长线上 C．支撑杆端点放在点 A 处 D．支撑杆与 AB 斜交 3．如图，三角形铁板 ABC 中，点 D 在 BC 上、点 E 在 AC 上，连接 AD、BE，量得 BD＝DC，∠ABE＝24°，∠EBC＝30°。下列说法正确的是（ ） A．AD 是∠BAC 的平分线 B．BE 是∠ABC 的平分线 C．AD 是 BC 边上的中线 D．△ABE 与△CBE 的面积相等 4．如图是一块三角形警示牌，CD 平分△ABC 的外角∠ACE，交 BA 的延长线于点 D。若∠B＝32°，∠D＝26°，则外角∠ACE 的度数为（ ） A．100° B．108° C．116° D．124° 5．如图为一次定向越野的方位示意：B 处在观测点 A 的南偏西 35°方向，C 处在 A 的南偏东 30°方向，C 处在 B 的北偏东 75°方向。则∠ACB 的度数为（ ） A．65° B．70° C．75° D．80° 6．命题“若两个角互为补角，则其中一定有一个角是锐角”是假命题，下列能作为反例的是（ ） A．120°与 60° B．90°与 90° C．100°与 80° D．150°与 30° 二、填空题（共4小题） 7．命题“相等的两个角是对顶角”是 ______ 命题（填“真”或“假”）；它的逆命题是 ____________，该逆命题是 ______ 命题。 8．如图，模型制作课上，△ABC 中∠ABC＝100°，点 D 在 AC 上，将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 AB 边上的点 E 处。若∠ADE＝30°，则∠A＝______。 9．如图，△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 I。若∠BIC＝125°，则∠A＝______，∠ABC＋∠ACB＝______。 10．【新定义】若一个三角形中有一个内角恰好是另一个内角的 3 倍，则称它为“三倍角三角形”，其中较大的角叫作“顶角”。已知某个“三倍角三角形”中有一个内角为 60°，则它的“顶角”度数为 ________。 三、解答题（共4小题） 11．【补全证明】已知：如图，AB∥CD，点 E 是 AB、CD 之间的一点，连接 BE、DE。求证：∠BED＝∠B＋∠D。请在横线上补全辅助线、角或括号内的依据。 证明：过点 E 作 EF∥AB。 （1）∵AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），∴EF∥CD（________________）； （2）∴∠B＝∠BEF（________________）； （3）　　∠D＝________（两直线平行，内错角相等）； （4）∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D（________）。 12．如图是边长为 1 的正方形网格，△ABC 的顶点都在格点上，其中 B(1,1)、C(7,1)、A(3,5)。 （1）画出 BC 边上的中线 AD，并写出点 D 的坐标； （2）画出 BC 边上的高 AE，并写出点 E 的坐标； （3）求△ABC 的面积。 13．如图，小区中心有一处圆形假山，假山两侧各安装一段景观护栏 AM、DN，设计要求两段护栏所在直线互相垂直。由于假山遮挡，质检员在假山外选取了可直接到达 M、N 的点 B，量得∠M＝28°，∠B＝48°，∠N＝14°。请判断 AM 与 DN 是否垂直，并说明理由。 14．【动态探究】如图，∠AOB＝80°，点 M 在射线 OA 上、点 N 在射线 OB 上运动（均不与 O 重合），连接 MN，MD 平分∠OMN，ND 平分∠ONM，两线交于点 D。 （1）当∠OMN＝60°时，求∠MDN 的度数； （2）当 M、N 运动时，∠MDN 的度数是否发生变化？若不变，请求出它的定值并说明理由； （3）若将∠AOB 改为 β，直接用含 β 的式子表示∠MDN。 学科网（北京）股份有限公司 $