第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 第十三章三角形边角关系与命题证明单元提升卷，以核心素养为导向，覆盖三角形性质、命题证明等知识，通过基础巩固与探究创新题梯度设计，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形三边关系、等腰三角形分类、命题真假|结合几何图形考查基础概念，如第3题等腰三角形底长分类讨论| |填空题|4/20|算术平方根与立方根、角平分线性质、等腰三角形周长|设计反例验证假命题（第11题），体现抽象能力| |解答题|9/90|三角形内角和证明、角平分线夹角探究、图形翻折模型|设置探究性问题（如第20题自行车角关系），融合几何直观与推理意识，符合真题命题趋势|

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列命题中，真命题是（     ） A．27的立方根是 B．16的平方根是4 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 4．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 7．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 8．如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①；②；③设，则；④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 12．如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 13．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 14．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 16．（8分）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 17．（8分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 18．（8分）已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 19．（10分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 20．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 21．（12分）综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点分别在边和上，．三角尺中，．猜想与的数量关系，并说明理由． 【问题初探】： (1)若，则_____； (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点作，交于点，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： (3)如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 22．（12分）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 23．（14分）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·提 升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 6 8 10 0 A B C A C B C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.1(答案不唯一) 12.44°/44度 13.14或16 14.10 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【答案】(1)证明：，CD是∠ACB的平分线， .∴.∠ACD=∠BCD, 又·∠ACD=∠D. .∴.∠BCD=∠D, ∴.DF‖BC: (2)89° 【详解】(1)略 (2)解：DF‖BC, ∴.∠B=∠DFE=38, 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=38°， .∴.∠ACB=180°-40°-38°=102°， .CD平分∠ACB, ∠ACE=3∠ACB=3×102=51°， .∠AEC=180°-40°-51°=89°. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【答案】(1)2<BC<12 (2)BD=3 【详解】(1)解：7-5<BC<7+5,即2<BC<12: (2)解：AD是BC边上的中线， :.BD=-BC=3. 17.【答案】(1)∠AEC=110°，∠DAE=20° 2∠AEC=90+aB,∠DAE=a2 2 2 【详解】(1)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得： ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°， .AE是△ABC的角平分线， .∠CAE=号∠BAC=2×80°=40， 2 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得：∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-30°-40°=110°， ,AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-30°=60°， ∴.∠DAE=∠DAC-∠CAE=60°-40°=20°： (2)解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-a-B, .'AE是△ABC的角平分线， 2CC-∠BAC=180-a-A1=90.&e 2 在△AEC中，由三角形内角和定理得： ∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-B- 900-a+2=90°+a-B, 2 2 .AD是△ABC的高， ∴.∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-B, 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六∠DAE=∠DAC-∠CAE=(900-B)-90°-a+2=Q-E. 2 2 18.【答案】(1)a=2V2,b=5,c=3V2 (2)能构成三角形，周长为5V2+5 【详解】(1)由题意得，a-V8=0,b-5=0,c-/18=0, 解得a=2V2,b=5,c=32 (2).∵2V2+3V2=5V2>5, .以a、b、c为边能构成三角形， 周长=22+3V2+5=5V2+5. 19.【答案】(1)121 (2)29° B90-20 【详解】(1)解：.·∠A=62, ,∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-62°=118°， .:∠ABC与∠ACB的平分线交于点P, ∠PBC-3ABC.PCB-7ACB. :∠PBC+∠PCB=2ABC+∠ACB=×1I8=59, ∴.∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=180°-59°=121°： (2)解：.∠A=58°， ∴.∠ABD=∠A+∠ACB,即∠ABD-∠ACB=58°， .:∠ACB的平分线与∠ABD的平分线交于点E, :∠ECB=克∠ACB,∠EBD支∠ABD, ·∠EBD-∠ECB=克∠ABD-支∠ACB∠ABD-∠ACB=29, ∴.∠BEC=∠EBD-∠ECB=29°： (3)解：.'∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,∠A=a, ∴.∠CBM+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+a&, 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q, ∠CBQ=<CBM,∠BCQ2<BCN, 2 :∠BQC=180°-zCBQ+∠BCQ)=180°-2CBM+∠BCN =180-l80+a=90-29 20.【答案】(1)∠C;两直线平行，内错角相等；∠B;∠C (2)∠EAB+∠ECD=∠AEC (3)110° 【详解】(1)略 (2)解：∠EAB+∠ECD=∠AEC, 过点E作EH‖AB, B E D .AB‖CD, :EH‖CD(平行于同一直线的两条直线平行)， .∠EAB=∠AEH,∠ECD=∠HEC(两直线平行，内错角相等)， :.∠EAB+∠ECD=∠AEH+∠CEH(等量代换) 即∠EAB+∠ECD=∠AEC: (3)解：如图，作EN‖AB,则∠BEN=∠ABE, ,∠ABE=70°， ∴.∠BEN=70°， 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEF=90°， ∴.∠NEF=90°-∠BEN=20°， 作MF‖CD,则∠MFD+∠D=180°， .AB‖CD,EN‖AB,MFCD, .EN‖MF .∠EFM=∠NEF=20°， ∴.∠DFE=90°+20°=110° 21.【答案】(1)60 (2)∠FCD-∠EAB=90 证明：过点C作CM‖EF,交AB于点H, E M H. B D ∴.∠MCF=180°-∠EFG=90°， 设∠FCD=a, ∴.∠MCD=a-∠MCF=&-90°， ,AB‖CD ∴.∠AHC=∠MCD=a-90°， CM‖EF, ∴.∠EAB=∠AHC=a-90, .∴.∠FCD-∠EAB=90: (3)∠FCD-∠EAB=180°-B 证明：过点C作CM‖EF,交AB于点H,设∠FCD=a, E,M H 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠MCF=180°-∠EFG=180°-B, ∴.∠MCD=a-∠MCF=a-180°-β=a+B-180°， AB CD, .∴.∠AHC=∠MCD=a+B-180°， .CM‖EF ∴.∠EAB=∠AHC=a+B-180°，即∠FCD-∠EAB=180°-B. 【详解】(1)解：，∠FCD=150°， .∠GCD=180°-150°=30， 在△GCP中，∠EGF=30°， ∴.∠CPG=180°-30°-30°=120°， .∠CPE=180°-120°=60°， :AB‖CD .∠CPE=∠AQE=60°， .∠FEG=60°， .∠EAB=180°-60°-60°=60， ∴.∠EAB的值为60°. (2)略. (3)略. 22.【答案】(1)①∠B+∠D+∠E+∠F=360°；②∠CEF=∠CBF+∠EFB 2)∠A=号(a+B 2 (3)150° (4)∠BDA+∠CEA=4∠BAC-360° 【详解】（1)略 (2)解：折叠， .∠A=∠A, 由(1)可知：∠A+∠A=∠BDA+∠CEA, ∴.2∠A=Q+β， ∠A=a+l (3)解：，∠B=45°，∠C=60°， 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=180°-∠B-∠C=75°， ∴.∠BDA+∠CEA=2∠A=2×75°=150： (④)解：：∠ABC=克∠ABC,∠ACB=支∠ACB, 2 ∠ABC+∠ACB-3∠ABC+3∠ACB =1|180°-∠A =90°- 2<A, ∠BAC=180°- 0-A小=90+号A .∠A=2∠BAC-180°， 又，∠BDA+∠CEA=2∠A, .∠BDA+∠CEA=4∠BAC-360°. 0 E A 23.【答案】(1)10 21@∠GQH=45+)a:@1.25或2.5。 【详解】(1)解：，PH平分∠CHG,∠CHP=40°， ∴.∠CHG=2∠CHP=80°， :AB‖CD ∴.∠AGH+∠CHG=180°， .∠AGH=100°， .PG⊥EF, .∠PGH=90°， ∴.∠AGP=∠AGH-∠PGH=10°： 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E\G一B H -D (2)解：①过点P作PK‖AB,过点Q作QM‖AB, .'AB‖CD .PK‖CD,QM‖CD, .PH平分∠CHG,∠CHP=a, ∴.∠CHP=∠GHP=a, 又PG⊥EF, ∴.∠PGH=90°， ∴.∠GPH+∠PHG=90°， ∴.∠GPH=90°-a, .HQ平分∠PHG, ∠QHP=∠QHG=& .PK‖CD ∴.∠KPH=∠CHP=a, ,PK‖AB, ∴.∠AGP=∠GPK=90°-a-a=90°-2a, .GQ平分∠AGP, ∠AGQ=∠QGP=3<AGP=45-& 又：∠QHC=∠QHP+∠PHC=3 q, .QM‖AB, ∴.∠AGQ=∠GQM=45°-a, ,QM‖CD, ∠MQH=∠QHC=3 q, ∠GQH=∠GQM+∠QHC=450-a+ 2Q=45+1 a, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E、 G B …K ②<PHQ- ∠GHP, .人PHQ=3a, 当点Q在GP延长线上时， 过点Q作QN‖AB .AB‖CD, .QN‖cD, .∠AGQ=∠QHC, 由①得，∠AGQ=90°-2a, ∴.∠GQN=∠AGQ=90°-2a, QN CD. ∴.∠NQH=∠QHC, ∠QHC=PHC-∠PHQ=Qa=3 a, 3 ∠GQH=∠GQN+∠NQH=90°-2a+3a=90°-4 3 a, 又.'∠GQH=75°， .900-4 0=75, 解得a=11.25°， 当点Q在线段GP上时， 过点Q作QN‖AB, ,AB‖CD ∴.QN‖CD 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①得，∠AGQ=90°-2a, ∴.∠GQN=∠AGQ=90°-2a, QN CD, ∴.∠NQH=∠QHC, :∠QHC=∠PHC-∠PHQ=a+。 3 ∠GQH=∠GQN+∠NQH=90°-2a+号a=90°-2&， 3 又.∠GQH=75°， 900号知-75 解得a=22.5° 所以a的值为11.25°或22.5°」 (用三角形内角和解也可) G G …W …W C -D C -D H H 10110 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 2．下列命题中，真命题是（     ） A．27的立方根是 B．16的平方根是4 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【详解】解： 27的立方根是3，不是，故 A是假命题； 16的平方根是，不是4，故B是假命题； 相等的角不一定是对顶角，故C是假命题； 同旁内角互补，两直线平行是真命题，故D符合题意． 3．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 4．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 5．为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：设的长为， 在中，，， ， ， ， 选项A中，选项B中，选项D中，均不符合题意，选项C中，符合题意． 6．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 7．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 8．如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 9．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 10．如图，已知，为上的两点，为上的两点，延长至点平分，点在直线上，且平分．若，则下列结论中，一定成立的是：（     ） ①；②；③设，则；④． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，分别对四个结论进行推导验证；利用推导角的关系，结合计算具体角度表达式，从而判断结论的正确性． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵共线， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， 而， ∴与不一定相等，故①错误； 综上所述，正确的结论是②④． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，即找到一个正数，使它的算术平方根不大于它的立方根． 【详解】解：当时，的算术平方根为，的立方根为，此时的算术平方根等于它的立方根，不满足原命题的结论，因此可以说明原命题是假命题．故这个值可以是． 12．如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】/44度 【分析】点D在内部，且到三边的距离相等，得到平分，平分，根据三角形内角和求解即可； 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； 13．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 14．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ； (2) 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ． 16．（8分）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 17．（8分）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 18．（8分）已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 19．（10分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解： ， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解： ， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解： ，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 20．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 21．（12分）综合与探究一一问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点分别在边和上，．三角尺中，．猜想与的数量关系，并说明理由． 【问题初探】： (1)若，则_____； (2)小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点作，交于点，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 【类比再探】： (3)如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)60 (2) ， 证明：过点作，交于点， ， 设， ， ， ， ， ， ； (3) 证明：过点作，交于点，设， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】（1）根据，可求得补角的值，已知,根据三角形内角和定理可求得的值，进一步求出补角的值，再根据求出的值，又知道，用三角形内角和定理即可求出的值． （2）过点作，设，即可求出，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． （3）过点作，即可求出的值为，设，即可求出的值，根据“两直线平行，内错角相等”可以求出的值，再根据，, 即可确定与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴, 在中，， ∴, ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴的值为． （2）略． （3）略． 22．（12分）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 23．（14分）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 【答案】(1)10 (2)①；②或 【分析】（1）首先利用角平分线的定义，由得到的度数，再结合，根据平行线的同旁内角互补性质的得到的度数；因为，所以，进而可推导的度数． （2）对于①，先根据角平分线定义分别得到和的表达式，再过点作平行于的辅助线，利用平行线的内错角相等的性质，将拆分为两个角的和，代入已知表达式化简即可．对于②，先确定的度数，结合得到的度数；因为点在直线上，所以分在线段上和在的延长线上两种情况，分别利用三角形内角和定理或角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过点作，过点作， ， ，， 平分，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ②， ， 当点在延长线上时， 过点作， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 当点在线段上时， 过点作， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 所以的值为或． （用三角形内角和解也可） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $