湖北省襄阳市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

襄阳一中2024级高二年级上学期10月月考数学试题(高二年级) 命题人：曾凌云 审题人：陈靖逸 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.已知直线过点A(1,0), (0, )则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A. x-y+3=0 B. x+y-5=0 C. 4x-y=0或x+y-5=0 D. 4x-y=0或x-y+3=0 3.若方程 表示圆，则实数a的取值范围是( ) A. (-1,+∞) B. (-∞,-1] C. (-∞,-1) D. [-1,+∞) 4.已知直线: mx+y+3=0和直线n: 则“m=-1”是“//n”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知正方体. 的棱长为4，M为AB的中点.则点A₁到平面DM的距离等于() B. D. 6 .若点A(-2,1), 点B为曲线C: |x|+|y|=1上一点, 则直线AB的倾斜角取值范围是( ) D.以上三项都不对 7、已知直线l₁: x-y+1=0和直线l₂:x+2y-5=0,点M,N分别是直线l₁和l₂上的点,点A(4,3),则△AMN周长的最小值是( ) A.4 B.6 C.9 D.12 8.三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在 1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中, △ABC 的顶点A(0,2), B(-1,0), 则“△ABC 的欧拉线方程为x=-1”是“点C的坐标为(-2,2)”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( ) A.若直线的方向向量为ē=(1，0，3)，平而α的法向量为 则∥α B.对空间任意一点O和不共线三点 A，B、C，若 则P, A, B, C四点共面 C.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D.已知 ，若ā与b的夹角为钝角，则. 10.已知实数x，y满足圆的方程 则( ) A. 圆心为(1,0)、半径为 B. x的最大值为2 的最大值为 的最大值为 11.已知棱长为2的正方体. 中, M, H, N分别为CC₁,AD, .的中点,则下列正确的是; ( ) C.若点T是正方体表面上一动点且满足BN⊥DT ，则点T的轨迹长度为 D. 已知平面β过点D且BN⊥β, 若P∈β, 且| 则P点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.两条平行直线4x+3y+3=0与8x+6y-9=0间的距离为 . 13.已知A(1,-3), B(-2,6)是直线y=-3x上的两点, 若沿x轴将坐标平面折成120°的二面角, 则折叠后A, B两点间的距离是 14.如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜(它通过各扇门的籶会相等)，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)已知▱ABC的三个顶点分别为A(0,0),B(1,1),C(4.2). (1)求边 BC所在直线的方程； (2)若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线的方程； (3)求△ABC的外接圆的方程. 16.(本小题〔5分)为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有胆、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目，规则如下； ①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题. ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分. ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分. 已知甲答对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 且两人每道题目是否回答正确相互独立. (1)求乙同学最终得 10分的概率； (2)记X为甲同学的最终得分，求X≥10的概率. 17.(本小题15分)如图, 四边形ABCD与BDEF均为菱形、 (1)求证: (2)P 为线段DE上的动点，求 FP 与平面ABF所成角正弦值的最大值； (3)设EF中点为K，G为四边形ABCD内的动点(含边界)且(GK=CF,求动点G的轨迹长度. 18.(本小题17分)《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益。根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行了一次未成年人保护法知识竞赛、意赛规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，两人答题互不影响。若答对题数合计不小于3，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲、乙答对每道题的概率均分别为P₁，P₂ (1)若 求在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率； (2)若 求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最值， 19.(本小题17分)如图，已知四棱锥M-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，AB=2BC=2, AD⊥BD, 二面角M=AD-B的大小为 P, Q分别为AB和MC的中点. (1)求证PQ∥平面MAD (2)求 MC与平面AMD 所成角的正弦值； (3)设N为侧棱MC上一点, 四边形 AENF 是过A, N两点的截面, 分别交MD₁MB于E,F两点, 且BD//平面AENF，是否存在点 N，使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为 若存在，求 的值：若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1-8 BDCBA BA 9-11 BCD AC ABD 12.月 13.6√2 14号 15. (1)由两点式可得BC边所在直线的方程为一1 2-1 x-1 4-1 即BC边所在直线的方程x一3y+2=0; (2)AC的中点为D(2,1), 又KAC= 2-0 4-0 片三号，所以AC边的垂直平分线的 斜率为-2， 所以l的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y- 5=0. (3)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0, (02+02+0+0+F=0 则K12+12+D+E+F=0,解得 (42+22+4D+2E+F=0 （F=0 D=-8, (E=6 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x+6y =0. 16. (1)根据题意，不妨设乙同学最终得10分为事件A 则事件A可能情况：①甲回答两题且错两题，② 甲、乙各答一题且各对一题，③乙回答两题且对一 题错一题， 则P0=×号××号+×号×x×2 200' 故乙同学最终得0分的概率为， (2)记X为甲同学的最终得分，设“X≥10”为事 件B, P(X=10)= 13xx2+13号 5 2 1 11、1、1133 ×2×2+2×2 400 P(X=15)= 2+ ×1×1x2= 3 X 5 20 P(X=20)= ×31 2××2 5 =100 故P(B)=P(X=10)+P(X=15)+P (X=20)= 229 400 17. (1)证明：因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD 设AC∩BD=O,连接OF,则O为AC的中点， 因为AF=CF,则AC⊥OF, 因为BD∩OF=O,BD、OFC平面BDEF, 故AC⊥平面BDEF; (2)连接DF,因为四边形BDEF为菱形，则BD =BF, 又因为∠DBF=60°，则△BDF为等边三角形， 因为O为BD的中点，则OF⊥BD,又AC⊥平面B DEF, 则以点O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分 别为x、y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， E Z 因为AB=2,四边形ABCD为菱形，且∠BAD =60°， 则△ABD是边长为2的等边三角形， 所以BD=2,OA=VAB2-OB2=V22-1 =√3，AC=2OA=2√V3, 同理可得OF=√BF2-OB2=√22-1= V3, 所以A(√3,0,0)、B(0,1,0)、C(-√3,0,0) 、D(0,-1,0)E(0,-2,V3)、F(0,0,V3 ), 则AB=(-√3,1,0)，AF=(-√3,0， √3)， 设平面ABF的一个法向量为元=(c1,1,1), 则由元⊥AB,m⊥AF,可得 元。AB=-V3x1+1=0 (m·AF=-V3x1+V31=0 取x1=1,可得元=(1，V3,1), 因为P为DE上的动点，设EP=入ED,其中0 ≤入≤1， 且FE=(0,-2,0),ED=(0,1,-V3) 所以FP=FE十EP=FE十入ED=(O ，-2,0)+λ(0,1，-3)=(0，入-2， λ)， 设直线FP与平面ABF所成角为0， 则sin0=cos<FP,元>|= |FP·ml |FP川m I√3(A-2)-V3 V(A-2)2+(-√3λ)25 2√3 v5·V/(2入-1)2+3 当入=壹时，sin取最大值，且最大值为2g5 5 因此，FP与平面ABF所成角正弦值的最大值为 25； 5 (3)因为K为EF的中点，则K(0,-1,√)， 设点G(x,y,0),则KG=(x,y+1,-√3) ,CF=(3,0,√3)， 因为KG=CF,即KG|=|CF,即 Wx2+(y+1)2+3=V6, 化简可得x2+(y+1)2=3, 故动点G的轨迹是以点D为圆心，半径为√③3的圆在 四边形ABCD内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为× 3 8=2g 18 18.概率综合回题。解题思路(1)记事件A=在第一轮竞 赛中，该组成为“优秀小组”， 事件B=甲答对两题，乙答对一题， 事件C=甲答对一题，乙答对两题， 事件D=甲、乙都答对两题. 易知事件B,C,D两两互斥， 则P(B)= )2x(1)品 P(C)=2× 1)23 -())a =64 因为A=BUCUD, 所以P(A)=P(BUCUD)=P(B)+P(C)+P(D)=32+32+ 93 933 64-64' 所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为 64 (7分) (2)设甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率 为P, 则P=p1×2p2(1-p2)+2p,(1-p1)p2+pP2=pP2[2p,(1-p2)+ 2(1-P1)P2+p1P2]=pP2[2(P1+P2)-3p1P2], 因为Ap,=子，所以P,=子，又0≤p,≤1.0≤p,≤1， 3 所以0≤子A,≤1，所以2≤n,≤1， 3 所以pm=p(3n)=-(-)°+2e[32], (11分)》 令=nte[分6]则P=-3+3=-3(-)+ 因为函数P=-3()'+子在[3，]上单调递减， 所以当4=之时，P取最大值，为 4 1 1 此时p1=2P=1或P1=1,P=2 当=2时，P取最小值，为8此时P,=P,=子 所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值 为子最小值为8船 (17分) 19. (1)证明：取MD的中点H,连接AH,HQ,PQ 在△MDC中，H,Q分别为MD和MC的中点， 所以HQ//DC且长为DC的一半， 又因为底面ABCD为平行四边形，P为AB的中 点， 所以AP//HQ且AP=HQ,所以四边形APQ H为平行四边形，可得PQ//AH, 又AHC面MAD,PQI面MAD, 所以PQ//平面MAD. (2)取AD的中点O,连接PO,由AD⊥BD,则P O⊥AD, 分别以OA,OP所在直线为x轴和y轴，以过O垂直 于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标 系， 2A P 则A(3,0,0),B(-3,V3,o),C(-多，V3 o,D-是0.0，M0,-年，子 设平面AMD的一个法向量为n=(x,,z), 贝 了元上A方 ，则 1元上OM 了元·AD=-x=0 京.o=-经y+子=0 4 令之=1，则2y=3,x=0, 所以=(0，√3,1)为平面AMD的一个法向 量， 又M乙=(-多，5￥经， 4 圣)，设MC与平面 AID所成角为0， 则sin0=lcos<M乙，分>1=1MC.n1 IMClI 3 =30 2V是+语+品 10 所以MC与平面AMD所成角的正弦值为③0 10 (3)因为BD//平面ADNF,平面ADNF门平面M BD=四F,BDG平面MBD, 所以BD//DF, 设ME=MD(0<入≤1)， 则AE=AM+ME=AM+入MD=( -号1+0.9a-1.1-》, 设平面AENF的一个法向量为m=(a,b,c), 由BD//EF, 则〈 m⊥AE ,则 m⊥BD 元.AE=-号1+a+9(A-1)b+( 4 =0 m.BD =-/3b=0 令a=1,则b=0,c= 2,1+入 3·1-入1 所以元=1,0，号芒分)为平面AENF的- 个法向量， 设平面AENF与平面AMD夹角为a, 由(2)可知平面AMD的法向量n=(0,√3,1)， 由题意可得cosa=lcos<m,元>|=| 21+入 m.n= 31-入 V5 2V1+(号尝7 5 mllnl 令号=，则v5d=2v1+飞 得t2=4,所以t=±2， 当t=-2时，入=2（舍去），所以当t=2时，入 号，此时元=(1,0,2)， 设CN=uCM(0<u≤1)， 则AN=AC+uCM=(-2+多4，V3 5￥u, 又因为平面AENF的法向量m=(1,0,2), 则AN,m=-2+多u 3 2h+2u=0, 解得4=子， 所以存在点N,使得平面AENF与平面AMD夹角 的余滋值为汽，此时器=号