湖北省襄阳市第三中学教育集团2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

湖北省家阳市￥三中学校训：志存高远学济天下控风：文明和谭务实进取 Y/ww.zl32.com 教风：爱生乐业严谨争优学风：自主勤奄博学高效 2026~2027学年高二年级数学学科9月月考试题 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 7 1.过A(0,5),B(V5,2)两点的直线的倾斜角为() j (J A.30° B.60 C.120° D.150° 2.已知随机率件么B满足P(-P(副-子P(4UB)-名则PAnB)=（) A B. 3 10 C.1 4 3.已知正四面体ABCD的棱长为2，空间中一点P满定DP=xDA+yDB+zDC,其中x,y,z∈R, 且x+y+:分则网的最小恒为《) A.3 B.6 c D. 22 3 3 4.在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AB=1,AD=2,4=3,且AB与AD的夹角为60°，A丽 与AA的夹角为90°，AA与AD的夹角为120°，则体对角线AC的长度为（) A.6 B.2N2 c.0 D.25 5.已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1,2,3,4,5,6，现抛掷该骰子两次 观察并记录它每次落地时朝上的面的数字记事件A=“两次数字之和为偶数”，事件B,=“第i次的数字 为奇数”(i=1,2),则下列说法正确的是（) A.事件A与事件B,互斥 D.事件B与事件B,互为对立事件 C.P(AUB)>P(BUB2) D.P(AB)=P(B,B) 6.己知三棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥BC,AA=BC=V6,AB=√10，点B,在底面ABC内 第1 射影为AABC的外心，则直线BC,与平面ABC所成角的正弦值为() 8.2 c.3 2 A.3 D. 3 3 3 ”.将边长为2√2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使点A到达A的位置，连接A'C,得到三棱 锥A'-BCD,E是线段A'C的中点，BF=3FD,当∠ABC∈ 63 时， BE.CF的范围是() A.[0,2] B.[0,2-5].c.[2-23,0 D.「2-23,2-5 8.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DA,BB,的中点，M,N分别为线段 D,A,AB,上的动点（不包括端点)，且满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围为() D.2,22） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知三条直线L,m,n的倾斜角分别为a,B,Y,斜率分别为k,k2,飞，且k<k2<k3,则a,B,y 的大小关系可能为() A.a<B<y B.Y<a<B C.B<Y<a D.Y<B<a 10.如图，平行六面体ABCD-AB,CD,的体积为48√2，∠4AB=∠AAD, 4=6,底面边长均为4，且∠DMB=写M,N,P分别为AB,CC,C0的中 点，则下列选项中不正确的有() A.MVI∥APB.A,C⊥平面BDNC.AP⊥ACD.AP∥平面MNC 11.设样本空间2={x,x2,x8},每个样本点等可能出现.已知事件A={x,x2,5,3}, B={x2,x,x,x,}，事件C需同时满足以下两个条件：①P(ABC)=P(A)P(B)P(C), ②P(AC)=P(A)P(C),，下列说法正确的是 A.事件C可以为{x,x2,x,8} B.事件(ABC)可能包含2个样本点 C.事件(AC)可能包含1个样本点 D.事件C的可能情况数是16个 共2页 中 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知过点P(3,2m)和Q(m,2)的直线与过点M(-2,1)和N(-3,4)的直线平行，则m的值是 13.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为2，收到0的概率为2： ,收到0的概率为收到1的概宠 现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个 0的概率为 14.已知正四面体ABCD的棱长为23，球O与正四面体ABCD的四个面分别相切于点E,F,G, H,P为球O的球面上一点，则PA+PE2+PF2+PG+PH2的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图，直三棱柱ABC-AB,C中AB=AC=AA,AB⊥AC,D,E分别为线段BC,BB,的中 点 (1)证明：AD⊥AE; (2)求直线AD与平面ACCA所成角的余弦值. 16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为 3),一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A=“第一次摸到红球”，B=“第 二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球” (1)用数组(；，x)表示可能的结果，为是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，试用 集合的形式写出试验的样本空间2： (2)分别求事件A,B,C发生的概率； (3)求事件A,B,C中至少有一个发生的概率、 D 17.如图，在直三棱柱ABC-4BC,中，AC=2CC=4V3,BC=4, AC⊥BC,D为棱A,C的中点. 第2 限疗行I用 (I)求点B,到平面BCD的距离； (2)若点E在AB土，且AE11平面BCD ①求4g的值：@求平面4C与平面BC,B所成角的余孩值 AB 18、某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出 胜负，则需进行点球大战，点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球 为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员 全部罚进也不能追上的时候，比赛即宜告结束，剩下的球员无需出场罚球若5名球员全部罚球后双方 得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派-一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进 的局面，则罚进的一方获胜设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进 点球的概率均为}，乙队每位球员罚进点球的概率均为三假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响， 各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2：0领 先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率， 19.如图，平行六面体ABCD-A,B,CD,的底面ABCD是菱形，∠CCB=∠CCD=∠BCD=0, AB=1,且AC⊥平面BC,D. (1)求CC,的长. ②)当9e,受时，求直线BC与平面8CD所成的角的正弦值的取值范围， )当8-2时，已知动点M到点A的距离是它到平面CDDG的距离的.2倍若动点M的领迹、平 面ACC,A,和平面AB,D三者相交于两点P,Q,求P2, 共2页 湖北有索阳市第三中学 校训：志存高远学济天下校风：文明和谐务实进取 www x132 cem 敦风：生乐业兴連争优学风：且丰勒崦博学高效 2026~2027学年高 二年级 数学 学科 答案详解与评分细则 编者：张冬青 审核：张小思 日期：2026.9.15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 c B D A c B ABC ABC 题号 11 答案 ACD 12.7 13.3 14.12 15.(1)因为直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC， 所以AB,AC,AA两两垂直，以A为原点， AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，不妨设AB=AC=A4=2,则各点坐标如下： A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2),B(2,0,2),C(0,2,2), 因为D,E分别为线段BC,BB的中点，所以： 2+00+20+0） D的坐标为 =(11,0),E的坐标为 2+20+00+2 2,2,2 2,2,2 =(2,0,1), 根据坐标，可得向量：4D=(1-0,1-0,0-2)=(1,1,-2),A正=(2,0,1)， 4D·AE=1×2+1×0+(-2)×1=2+0-2=0, 所以向量AD与AE垂直，即AD1AE(6分) 2)由AB,AC,A4两两垂直，可得AB⊥平面ACC,A, 平面ACC,A的-个法向量可取为i=(1,0,0),直线4D的方向向量为=AD=(（1,1-2), 设直线AD与平面ACCA,所成的角为日，根据线面角的正弦值公式： s9=kas,训-调P+P66 -列_1×1+1x0+(-2)×0_1=6 (12分) 第 因为线面角0的范围是 (3分 16.(1)样本空间2={1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3》，2 共有12个基本事件： (4分） 2)事件A的基本事件为：《化2j.L,3).(L,4,(2,1.(23).(2,4到}共6个基本*件，所以P(④= 事件B的基本事作为：《化，3)23)(43训共3个基本事件，所以P()=子 事件C的基本率件为：他424.(4.(42}共4个墨本事#，所以P(O)-宁0分（一个满剂 (3)事件A,B,C中至少有一个发生的基本事件为： 《L23421.232494).(243明共9个善本作所以P(4UBUC)- (15分) 17.(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，CA,CB,CC,两两垂直， 以C为空间直角坐标原点，以CA,CB,CC方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系. B(0,4,0),D(2N5,0,25),则C丽=(0,4,0)，CD=(23,0,25), 设平面BCD的法向量为m=(x,y,z), D C m.CB=4y=0 y=0 则 ,则有 m.CD=2W3x+2√3z=0’x=-z 文A E 所以m=(1,0,-1), (2分) c瓜=0,423，d=} CB 23 =6. |m√2 第1页共3页 所以，点B,到平面BCD的距离为√6： (5分)》 (2)①A(45,0,0,B(0,4,0),则AB=(-4W3,4,0, 设A正=2AB,则4E=AA+AE=4A+1AB=(0,0,-25)+2(-4W3,4,0) 因为AE/1平面BCD,所以，AE⊥m,即AEm=0， 得（4W3元，4元，-2W3)-(1,0,-1)=0, 所以-45+25=0，将A=所以5- AB 2 (10分) ②平面BCC,B的-个法向量i=(1,0,0),又AE=(-2W3,2,-2√3)，AC=(-4V5,0,-23) 平面AEC的法向量为m=(L,-V3,-2),设平面4EC与平面BCC,B,所成角为9， 1√2 则cos8cos(m,)= V1+3+42W24 (15分) 18.(1)设甲队球员罚进点球为事件A,未罚进为事件A,乙队球员罚进点球为事件B,未罚进为事件B. 因为P(利=分所似P(团=1-月腿，因为P(到子所P()-1号号 则甲、乙均罚进的概率为P(A×P(B)-2×行一方 1.21 (2分) 甲、乙尚未和造的微幸为P(国列P间司-君 (（4分) 1+1-1 所以甲、乙两队打成平局的概率为二+ (5分） 362 (2)设踢完k轮后，甲队总得分为Xk,乙队总得分为Y: 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即X3-Y=3,则概率为： (7分) 第2 ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即Y3一X3=3,则概率为： =1x8=1 82727 (9分) 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为1+1=1 2162724 (10分) (3)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为 2:1或2：2或3：2，则需要分以下情况来讨论： ①比分为2：1的概率为： P国P(xP(+PxP国xPxP-片号-号 .(12分) ②比分为2：2的概率为： P()xP(B)xP()xP(B)-1x2x1x2-1 232391 (14分) ③比分为3：2的概率为： P(A)xP(B)xPF()xP(B)+P(A)xP(B)xP(4)xP(B)-1x2xix2x2-2 121.2 2323 (16分) 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为 1,1,24 (17分) 9'999 19.(1)在平行六面体ABCD-AB,CD中，令CB=a,CD=i,CC=c,令1c上m>0, 由四边形ABCD是菱形，得1aHb上1，由∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=B, a.b=cos0,a.c=b.c=mcos0,BC=c-a,BD=B-a,CA=a+b+c, BD.CA=(b-a)-(a+b+c)=1-1+mcos0-mcos0=0 AC⊥平面BCD,则 BC.CA=(c-a).(a+B+c)=m2-1+mcos0-cos0=0 整理得(m-1)(m+1+cos0)=0,而m+1+cos0>0,解得m=1, 所以CC,的长为1. (4分) 页 2)当0e肾时，由0得a-6=a-c=.c=cos0e0, CB,=a+c,则1CB=V(a+⊙)2=√2+2cos0,|CA=√(a+i+c)2=V3+6cos0, CB.CA=(a+c)(a+i+c)=(a+c)2+(a+c)b=2+4cos6,而CA,为平面BCD的法向量， 则直线BC与平面BCD所成角的正孩值1e0s(C匹，C4)上1CBC ICB,‖CA 2+4cosθ 1+2cose 2 2 1 (7分) V2+2cose.3+6cos0 3 V1+cose 1+c0s0 而2s 1 1 2 ≤1，即1≤2 ≤ 3-1+cos0 1+os0≤，则1≤2-1+o 2- 629.ma网52， 所以直线BC与平面BCD所成角的正弦值的取值范图是5,2马]。 33 (10分) (3)当0=亚时，(1)得平行六面体ABCD-4B,CD,为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,1,0),D,(1,0,1),B,(0,1,1),平面CDD,C1上的点满足y=0,平面ACCA上的点满足x-y=0, 设平面ABD内任意-点N(x,y,2),AD=(0,-1,1),AB=(-1,0,1),AN=(x-1,y-1,z), x-1=-4 B 则AN=AD+HAB,=(4,-入，入+)，即{y-1=-元，于是平面AB,D上的点 z=九+4 B 满足x十y+Z=2, D 设动点M(x,y,z),由动点M到点A的距离是它到平面CDDC,的距离的√2倍， 得√(x-1)2+(y-1)2+z2=√2y,整理得点M满足方程(x-1)2+z2=y2+2y-1, (13分) 第 x-y=0 y=x 由x+y+z=2 ，整理得{z=2-2x ，设P5,,),x2,2,22) (x-1)2+z2=y2+2y-1 2x2-6x+3=0 则x+为=3，x=因此P0=g-}尸+(0-+（名-》 =V(x-x2+(x-x}+[2-2x)-(2-2x =6V(x+x)-4xx=V6V32-6=32, 所以P2长为32. .(17分)