广东省广州市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟卷（考查范围：第25-26章）

广东广州市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）用配方法解方程时，方程可化为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列各点中，在二次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（     ） A．3 B．3 C．4 D．4 4．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则该方程的解为（     ） A．， B． C．， D． 5．（本题3分）已知抛物线，下列结论正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 6．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．（本题3分）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（         ） A． B． C． D． 8．（本题3分）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 9．（本题3分）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是44个，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（本题3分）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知方程的一个根为1，则m的值为_______． 12．（本题3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 13．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 14．（本题3分）随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 15．（本题3分）当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 16．（本题3分）如图，已知与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使有最大值，则这个最大值为___________ 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，，满足，求k的值． 19．（本题8分）某超市购进一批坚果，进价为90元/盒．当售价为110元/盒时，每天可售出15盒．经市场调查发现，若每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒．现该超市计划降价销售，请回答下列问题： (1)当售价为105元/盒时，每天的销售量为______盒，每天盈利______元； (2)当每盒坚果降价多少元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元？ 20．（本题8分）已知二次函数． (1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象； (2)当时，直接写出y的取值范围． 21．（本题9分）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，求y的取值范围． 22．（本题9分）如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 23．（本题10分）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． (1)当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； (2)设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（本题12分）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； (4)设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《广东广州市2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟卷（考查范围：第25-26章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A B C C C B B D 1．B 【分析】将常数项移到等号右侧，配方凑完全平方式即可． 【详解】解：移项，得， 两边同时加，得， 即． 2．A 【详解】解：A、当时，， ∴点在二次函数的图象上； B、当时，， ∴点不在二次函数的图象上； C、当时，， ∴点不在二次函数的图象上； D、当时，， ∴点不在二次函数的图象上． 3．A 【分析】无需计算参数，利用一元二次方程根与系数的关系可直接求解另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵一元二次方程为， ∴由根与系数的关系得两根之积为， ∵方程的一个根为， ∴， ∴． 4．B 【分析】由题中两根的和与积的等量关系，结合一元二次方程的根与系数的关系求出的值，再解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 5．C 【分析】根据解析式可得二次项系数，对称轴和顶点坐标，进而判断出对应的增减性，据此可得答案． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 6．C 【分析】根据图象可得答案. 【详解】解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，， ∴当，即时，，， ∴关于的一元二次方程的解为，. 7．C 【详解】解：对于二次函数，其对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴． 8．B 【分析】利用误方程的根得到、与的数量关系，再分别判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：由题意得，误方程为 ∵，是误方程的根， ∴将代入得， 将代入得， 两式相减得，即， 将代入，得 甲：将代入原方程左边，得 将，代入，得 ∵， ∴，即不是原方程的根，甲错误； 乙：原方程的判别式 将，代入，得 ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙正确． 9．B 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般规律，得出第n个图形中圆的个数是，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆, 可得第n个图形中圆的个数是； 则， 解得：（舍去）． 10．D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，①正确，②正确； ∵当时，， ∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为， ∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 11． 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴将代入得， 解得． 12． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 13．或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或； 14． 【分析】设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据4月和6月的产量列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 15．或 【分析】先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得． 综上，为或． 16． 【分析】连接，，则，由于，故当点三点共线时，取得最大值，即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，取得最大值，即为 令，则， 解得，， ∴，， 令，则 ∴ ∴． 17．(1)， (2)，. 【分析】（）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用配方法解答即可． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴，； （2）解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 即或， ∴，． 18．(1) 证明： 对于一元二次方程， ，，， . ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根. (2) 的值为. 【分析】 （1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0，即可得证． （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知等式求解． 【详解】（1） 解： 略 ． （2）解：∵方程的两实数根为，， ∴由根与系数的关系得： ， ． ∵， ∴， 解得． 19．(1)30；450 (2)当每盒坚果降价4元或11元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒坚果降价元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵每盒坚果降价1元，平均每天可多售出3盒， ∴当销售价为105元/盒时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）； （2）解：设每盒坚果降价元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元， 由题意得：， 整理得， 解得，， ∴当每盒坚果降价4元或11元时，超市销售该坚果平均每天能盈利432元． 20．(1)； (2) 【分析】（1）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （2）由图象直接写出y的取值范围即可. 【详解】（1）解：，故抛物线的顶点坐标为； 列表如下： 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 略 （2）略 21．(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式为，把点代入，求出a的值即可； （2）求出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵其顶点坐标为， ∴可设函数解析式为， ∵与x轴的一个交点为， ∴， ， 函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别是和， 观察图象知，当时，y的取值范围为． 22．(1) (2)的面积为 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据二次函数的对称性和点A的坐标求出点B的坐标，然后求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵过点作轴的垂线，交抛物线于另一点， ∴点、关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴，轴， ∵点的坐标是， ∴点到的距离为， ∴． 23．(1)80，1600； (2)①（且为整数）；②当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，列式计算可得平均每天售出的马甲件数；根据利润单件利润销售数量列式计算即可； （2）①根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，可列出的代数式表示，根据实际情况可知的取值范围； ②根据利润单件利润销售数量，用含x的代数式表示利润，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：当每件马甲售价为60元时， 平均每天售出马甲（件）， 每天的利润是（元）； （2）解：①根据题意得， 即， ∵售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件， ∴售价上涨不得超过元， 即， ∵且为整数， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意得 ， ∴当时，有最大值，最大值为1800， 即当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 24．(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把解析式化为顶点式求出对称轴，再由对称性求出点B的坐标；连接，由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，据此求解直线的解析式即可求出点P的坐标； （3）根据平移方式可推出平移后的抛物线的对称轴为直线，讨论对称轴的位置，根据当时，函数有最大值2求解即可； （4）取点，连接，可证明，则可证明，据此求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得点B的坐标为； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：将抛物线的函数图象向右平移h个单位长度得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值，且最大值为4，此时不符合题意； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，h的值为或； （4）解：如图所示，取点，连接， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵点D和点M都在直线的同一侧， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 答案第2页（共14页） 答案第13页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $