2026～2027学年度人教版九年级数学上学期10月学情自测卷（广东省广州市专用，范围：第25～26章）

广东省广州市九年级数学10月学情自测卷 （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.用配方法解方程，则方程可变形为(    ) A. B. C. D. 4.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.若方程有两个不相等的实数根，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 6.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线单位：米的一部分，则水喷出的最大高度是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为(    ) ；；；为任意实数 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，若直线与、共有个不同的交点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.二次函数的顶点坐标为       ． 12.若关于的一元二次方程的一个解为，则的值为        ． 13.如图，直线和抛物线都经过点和，不等式 的解集为       ． 14.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为      ． 15.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为米，宽为米停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为平方米则车道的宽为        米 16.已知点和点都在抛物线上． 若，则           ； 若，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解下列一元二次方程： 18.本小题分 已知函数． 该抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 在如图的坐标系中画出该抛物线的图象． 根据图象直接写出当时，的取值范围是______． 根据图象写出当时，的取值范围______． 19.本小题分 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出你的解答过程． 20.本小题分 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月份游客人数为万人，月份游客人数为万人． 求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 预计月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区月日至月日已接待游客万人，则月份后天日均接待游客人数最多是多少万人？ 21.本小题分 已知关于的方程：． 求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 设，是方程的两个根，且，求的值． 22.本小题分 为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： 分别求出与，与的函数解析式 若矩形实验田的面积为，求矩形实验田的边长 当长为多少时，实验田的面积最大最大面积是多少 23.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：不论为何值该函数图像与轴必有公共点； 求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． 已知点，在二次函数图像上，若，则的取值范围是          ． 24.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务 确定桥拱形状 在图中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 25.本小题分 如图，二次函数为常数的图象交轴于，两点，交轴于点，已知点的坐标为，点的坐标为，连接，． 求抛物线的解析式． 若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的坐标． 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $广东省广州市九年级数学10月学情自测卷 （满分150分考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2-3x+6=0 B.2+5=是 C.x2-4y+4=0D.ax2+bx+c=0 2.抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为() Ay=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=x-2)2-3D.y=(x+2)2-3 3.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为() A(c-32=君 B.3c-12=C3x-12=1D.e-12=号 4.若点(-2，y1),(-1,y2),(5,y3)在抛物线y=4x2+5上，则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 5.若方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是() A.5 B.4 C.3 D.2 6.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为() A.3 B.-10 C.0 D.10 7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水 在空中划出的曲线是抛物线y=一x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是() 账4米 B.3米 C.2米 D.1米 0 x(米) 第1页，共7页 8.若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是() A.m>9 B.m≥9 C.m<-9 D.m≤-9 9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为() ①abc<0:②b2-4ac>0:③9a-3b+c=0:④am2+bm>a-b(m为任意实数) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，抛物线y=-2x2+8x一6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向右 平移得C2,C2与x轴交于点B,D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是() A-2<m<台 B.-3<m<-}C-3<m<-2D.-3<m<-5 8 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.二次函数y=2(x-1)2+3的顶点坐标为· 12.若关于x的一元二次方程x2-3x+2a=0的一个解为x=-1,则a的值为一· 13.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)和B(3,2),不等式x2+bx+c>x+m的 解集为 R 第2页，共7页 14.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为一， 15.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米.停车场内车道的宽都相等，停车 位总占地面积为288平方米则车道的宽为一米. 30米 出口 停车位 车 18米 道 车道 x米 停车位 入口 16.己知点A飞，y1)和点B(k+3,y2)都在抛物线y=x2-8kx+2上. (1)若y1=y2,则k=; (2)若y1<y2<2,则k的取值范围是 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 解下列一元二次方程： (1)3(x-1)2=x(x-1) (2)x2-4x-6=0 18.(本小题12分) y 己知函数y=-(x-1)2+4. (1)该抛物线的对称轴是直线 一一，顶点坐标是 (2)在如图的坐标系中画出该抛物线的图象， (3)根据图象直接写出当y>0时，x的取值范围是 (④)根据图象写出当-2≤x<2时，y的取值范围 第3页，共7页 19.(本小题10分) 小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)的过程如下框： 小霞： 小敏： 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, 两边同除以(x-3),得 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0. 3=X-3, 则x-3=0或3-x-3=0, 则x=6. 解得x1=3,x2=0. 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程. 20.(本小题10分) 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率： (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月 1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 21.(本小题10分) 已知关于x的方程：x2+(m-2)x-m=0. (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根. (2)设x1,x2是方程的两个根，且x好+x号=7，求m的值. 第4页，共7页 22.(本小题10分) 为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地.在综合实践 课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 【了解场地】用皮尺测出墙MN的长为19m,墙的前面是一片空旷 的场地。 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田ABCD,中间用篱 笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在BC边上给 每个小矩形区域各留一个1m宽的门. 活动过程 B-门一门 M 【准备材料】篱笆总长为33m,三个门不用篱笆. 设BC=xm,AB=ym,矩形ABCD的面积为sm2,请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出y与x,s与x的函数解析式； (2)若矩形实验田ABCD的面积为80m2,求矩形实验田ABCD的边长； (③)当AB长为多少时，实验田ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 23.(本小题10分) 已知二次函数y=x2-2mx+2m-1(m为常数) (1)求证：不论m为何值该函数图像与x轴必有公共点： (2)求证：不论m为何值，该函数图像的顶点都在函数y=-(x-1)2的图像上. (3)己知点A(-3,y1),B(1,y2)在二次函数图像上，若y1>y2,则m的取值范围是一· 第5页，共7页 24.(本小题12分) 根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱 素 的示意图，某时测得水面宽20m,拱顶离水 材 面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨 20m 1.8m达到最高. 图1 图2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 0cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部 素 桥拱 40cm 距离水面不小于1m:为了实效，相邻两盏灯 材 笼悬挂点的水平间距均为1.6m:为了美观， 安全距离！ 最高 2 水位 要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成 图3 轴对称分布. 问题解决 任 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表 务确定桥拱形状 达式. 1 任 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬 务探究悬挂范围 挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围， 2 任 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所 务拟定设计方案 建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 3 第6页，共7页 25.(本小题12分) 如图，二次函数y=专x2+bx+c(b,c为常数)的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点C,已知点B的坐标为(9,0)， 点C的坐标为(O,-3),连接AC,BC. 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当LPCB=∠OBC时，求点P的坐标. (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2V10个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对 称轴上的一点，若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标 第7页，共7页 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，含有一个未知数，未知数的最高次数为次，是整式方程，故是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有一个未知数，未知数的最高次数为次，但不是整式方程，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：． 含有一个未知数，未知数的最高次数为次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 2.【答案】  【解析】解：函数向右平移个单位得：； 再向上平移个单位，得：； 故选B． 根据二次函数图象左加右减，上加下减平移规律进行解答即可． 主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 3.【答案】  【解析】解：由题知， ， ， ， ． 故选：． 根据配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 又到对称轴的距离为：，到对称轴的距离为：，到对称轴的距离为：，且， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得， 即的取值范围为． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：、是一元二次方程的两个根， ， 是的一个根， ， ， ． 故选：． 由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 7.【答案】  解：水在空中划出的曲线是抛物线， 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ， 顶点坐标为：， 喷水的最大高度为米， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：抛物线与轴没有交点， ， ， 解得， 的取值范围是． 故选：． 利用根的判别式列不等式求解即可． 本题考查了抛物线与轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由抛物线可知：，， 又对称轴为直线， ， ，故正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 即，故正确； 由题意，关于的对称点为， 时，，故正确； 当时，的最小值为， 时，， ， ，故错误． 综上，正确的有共个． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：令， 即， 解得或， 则点，， 由于将向右平移个长度单位得， 则解析式为， 当与相切时， 令， 即， ， 解得， 当过点时， 即， ， 当时直线与、共有个不同的交点， 故选：． 首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 11.【答案】  【解析】解：的顶点坐标为， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：把方程得， 解得． 故答案为：． 把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13.【答案】或  【解答】直线和抛物线都经过点和， 根据图象可知，不等式 的解集为或； 故答案为：或． 14.【答案】  【解析】解：， 因式分解得， 解得，， 当等腰三角形的腰为时，三边是，，， ，不符合三角形的三边关系定理， 此时不能组成三角形； 当等腰三角形的腰为时，三边是，，， ，符合三角形的三边关系定理， 周长是． 故答案是：． 15.【答案】  【解析】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 即车道的宽度为米． 故答案为：． 16.【答案】【小题】      【小题】 或   【解析】  本题考查了二次函数的性质．先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 点和点关于直线对称， ， 解得， 故答案为：；   由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可． 当时， ， ， 解得； ， ， 整理得，即， 或 解得或， 综上或． 故答案为：或． 17.【答案】【小题】， ， ， 则或， 所以 【小题】， ， ， 则， 所以   【解析】解：， ， ， 则或， 所以； ， ， ， 则， 所以． 利用因式分解法进行求解即可； 利用配方法进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18.【答案】；；   ；   ；     【解析】， 该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：；； 列表得： 画图得： 由图象可知：当时，的取值范围是， 故答案为：； 当时，， 结合图象可得：当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 19.【答案】解：小敏：； 小霞：． 正确的解答方法：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．  20.【答案】【小题】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意可得， 解得，不合题意舍去． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 【小题】 设月份后天日均接待游客人数是万人， 由题意可得，解得． 答：月份后天日均接待游客人数最多是万人．   21.【答案】证明： ， 因为， 所以， 所以无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．   的值为或．  【解析】证明： ， 因为， 所以， 所以无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又， 即， 所以， 解得或， 所以的值为或． 22.【答案】【小题】 解：由题意得：， ， 矩形的面积， 与，与的函数解析式分别是， 【小题】 当时，，解得：，， 墙的长为， ， ，当时，， 矩形实验田的边长， 【小题】 ， 该二次函数开口向下，对称轴是直线，由题意可知， 当时，，此时， 当长为时，实验田的面积最大，最大面积是．   23.【答案】【小题】 证明： ， 所以不论为何值，该二次函数的图象与轴总有公共点 【小题】 证明：， 二次函数的顶点坐标为 当时，， 所以不论为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上 【小题】     24.【答案】解：任务： 以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ， 抛物线的函数表达式为：； 任务： 该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， 当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ， 悬挂点的横坐标的取值范围是：； 任务： 方案一：如图坐标轴的横轴，从顶点处开始悬挂灯笼， ，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 若顶点一侧悬挂盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂盏灯笼时，， 顶点一侧最多悬挂盏灯笼， 灯笼挂满后成轴对称分布， 共可挂盏灯笼， 最左边一盏灯笼的横坐标为：； 方案二：如图， 若顶点一侧悬挂盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂盏灯笼时，， 顶点一侧最多悬挂盏灯笼， 灯笼挂满后成轴对称分布， 共可挂盏灯笼， 最左边一盏灯笼的横坐标为：．  25.【答案】【小题】 解：把，代入， 得 抛物线的解析式为． 【小题】 如图所示，当点在下方时， ， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称． 抛物线的对称轴为直线， 点的坐标为． 如图所示，当点在上方时，设直线交轴于． ， ． ． 设， ，解得． ． 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 直线的解析式为． 联立解得或舍去． 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 【小题】 点的坐标为或或 解析：由可得原抛物线的对称轴为直线， ， 由对称性可得． ． ， ． ． 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， 将原抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线． 新抛物线的解析式为． 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， ，的中点坐标相同． ． ． ． 此时点的坐标为． 当为对角线时，． ． ． 此时点的坐标为． 当为对角线时，． ． ． 此时点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $