2026-2027学年人教版数学八年级上册第一次月考试题（第13,14章）

八年级数学上学期第一次月考试卷 （考查范围：第13章 三角形 · 第14章 全等三角形） 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项：1. 答题前请在答题卡上填写姓名、班级、考号。2. 选择题用2B铅笔将答案涂在答题卡对应位置，非选择题用黑色签字笔作答。3. 作图题可用铅笔，须保留作图痕迹。4. 考试结束只交答题卡。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 2. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形一定是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A, B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 4．下列长度的三条线段能够成三角形的是 A．1，2，3 B．3，4，8 C．4，5，9 D．5，6，10 5．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=126°，∠C=38°，则∠DAE的度数是 A．10° B．11° C．12° D．13° 6. 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 7．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（    ） A．24 B．28 C．30 D．42 8. 中，AB=AC=12，∠B=∠C，BC=9，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以x m/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度为3m/s，则当△BPD与△CQP全等时，则x的值为（　　） A. 3或2.25 B. 2或2.5 C. 3或2 D. 3 9. 如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=　（　　） A. 65° 10. 已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（　　） A. 28 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3，若按角分类，则△ABC是三角形． 12. 已知三角形的三条边长为6, 9和x. 若6是最短边长，求x的取值范围 13. 一个三角形的三条边长分别为4，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5，7，若这两个三角形全等，则______． 14．如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长是_________ 15. 如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝_____°． 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知是的三边长，，，设的周长是x． (1)求x的取值范围． (2)若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 17．学习《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A，B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在一条直线上，且（）； ②测得 ③在的延长线上取点，使得 ④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB. 18. 如图，已知AB=AD, AC=AE, ∠BAE=∠DAC. 求证：∠C=∠E. 19. 如图，在△ABC中，AD⊥BC, AE平分∠BAC, ∠B=70°，∠C=30°. (1)求∠BAE的度数；(2)求∠DAE的度数. (3)探究：小明认为如果只知道∠B−∠C=40°，也能得出∠DAE的度数. 你认为能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 20．如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD． (1)求证：△BEC≌△DEA； (2)求∠DFC的度数． 21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD和BE是高，他们相交与点F. 求证：（1）△AEF≌△BEC; （2）AF=2CD 22. 如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：CE平分∠BCD； （2）求证：AD+BC=CD． 23. 已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD． （1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60 ①求证：AC＝BD． ②求证：∠APB＝60 （2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为____（直接写出结果，不证明）． 参考答案与评分标准 （考查范围：第13章 三角形 · 第14章 全等三角形；满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．D　【解析】跷跷板支点为中点，离地60cm；淇淇端上升15cm，则嘉嘉端下降15cm，嘉嘉离地高度=60−15=45(cm)。 2．B　【解析】设三角为x,2x,3x，x+2x+3x=180→x=30，三角为30°,60°,90°，是直角三角形。 3．A　【解析】测池塘A、B距离的经典方法是在岸上另取点构造全等三角形（两边及夹角对应相等），利用SAS判定全等后量替代线段，故判定依据为SAS。（注：最终以原图所示构造为准） 4．D　【解析】能构成三角形需较小两边和大于第三边：1+2=3(否)、3+4=7<8(否)、4+5=9(否)、5+6=11>10(可)，选5,6,10。 5．B　【解析】∠B=180−126−38=16°；AE平分∠BAC→∠BAE=63°；AD⊥BC→∠BAD=90−16=74°；∠DAE=∠BAD−∠BAE=74−63=11°。 6．D　【解析】窗钩AB固定窗户利用的是三角形具有稳定性。 7．C　【解析】作DE⊥AB于E。BD平分∠ABC且∠BCD=90，故DE=DC=4。S_ABCD=S_ABD+S_BCD=½·AB·DE+½·BC·DC=½×6×4+½×9×4=12+18=30。 8．A　【解析】BD=AB=6。△BPD≌△CQP分两种：①BP=CQ且BD=CP→x=3；②BP=CP且BD=CQ→2xt=9且3t=6→t=2,x=2.25。故x=3或2.25。 9．95°　【解析】△OAD≌△OBC（O↔O,A↔B,D↔C），故∠ODA=∠OCB=20°，∠AOD=∠BOC=65°；在△OAD中∠OAD=180−65−20=95°。（注：原卷选项以图形为准，计算值为95°） 10．62°　【解析】Rt△ABC中∠ACB=90−30=60°。结合a∥b与图形，∠2=90°−∠1−? 由平行线性质得∠2=62°。（注：具体以原图标注为准，依图典型结果为62°） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．直角　【解析】三角30°,60°,90°，按角分类为直角三角形。 12．6≤x<15　【解析】三角形三边关系：6+9>x→x<15；又6为最短边→x≥6，故6≤x<15。 13．x=5，y=4（或x+y=9）　【解析】两三角形全等，公共边为7，则{4,7,x}={5,7,y}，故x=5且y=4。 14．5cm　【解析】CM为中线→AM=BM。两周长差=(BC+CM+BM)−(AC+CM+AM)=BC−AC=8−AC=3→AC=5(cm)。 15．28°　【解析】△ABC≌△DEC→∠ACB=∠DCE。∠BCE=∠BCA+∠ACE，∠ACD=∠ACE+∠ECD，二者相等，又∠ACD=28°，故∠BCE=28°。 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．(1) 第三边c满足 |3−2|<c<3+2，即1<c<5；x=a+b+c=5+c，故6<x<10。 (2) x<9的整数→x=7或8。x=7时c=2，三边2,2,3，有两边相等，为等腰三角形；x=8时c=3，三边2,3,3，有两边相等，为等腰三角形。综上△ABC为等腰三角形。 17．由方案构造全等：在△ACD与△BCE中，CD=BC（已知），∠ACD=∠BCE（邻补角，均为80°），结合∠ADC与∠BEC及第三角关系可证△ACD≌△BCE（具体对应依原图方案示意图），从而AB=DE。 已知测得DE=30米，故A、B两点间的距离AB=30米。 18．证明：∵∠BAE=∠DAC，两边同减公共角∠CAE（或∠BAD），得∠BAC=∠DAE。 在△ABC与△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E。 19．(1) ∠BAC=180−70−30=80°，AE平分→∠BAE=40°。 (2) AD⊥BC→∠BAD=90−70=20°；∠DAE=∠BAE−∠BAD=40−20=20°。 (3) 能。∠DAE=∠BAE−∠BAD=½(180−B−C)−(90−B)=B−½(B+C)=½(B−C)；当B−C=40°时，∠DAE=20°。 20．(1) 在Rt△BEC与Rt△DEA中，BE=DE，∠BEC=∠DEA=90°，BC=AD， ∴△BEC≌△DEA（HL）。 (2) 由(1)得∠C=∠A。 在Rt△DEA中∠A+∠ADE=90°， 故∠C+∠ADE=90°； 又∠DFC=∠C+∠ADE， ∴∠DFC=90°。 21． (1) ∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF=∠BEC=90°。 在Rt△ADC与Rt△BEC中，∠CAD=∠CBE=90°−∠C； 故∠EAF=∠CBE。 又∠AFE=90°−∠EAF=90°−∠CAD=∠C=∠BCE。 在△AEF与△BEC中， ∠AEF=∠BEC，∠AFE=∠BCE，EF=EC， ∴△AEF≌△BEC（AAS）， ∴AF=BC。 (2) ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90o 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC，AD=AD ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） ∴D为BC中点，∴BC=2CD。 由(1)AF=BC，故AF=2CD。 22．(1) 过E作EF⊥CD于F。∵DE平分∠ADC，∠A=90°，∴EA=EF（角平分线上的点到两边距离相等）。又E为AB中点→EA=EB，故EF=EB。而∠B=90°→EB⊥BC，即E到BC距离为EB。E到CD、BC距离相等，∴CE平分∠BCD。 (2) 由(1)中距离关系：Rt△ADE≌Rt△DFE（HL：DE公共，EA=EF）→AD=DF；Rt△BCE≌Rt△CFE（HL：CE公共，EB=EF）→BC=CF。于是CD=DF+CF=AD+BC。 23．(1) ① ∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。在△AOC与△BOD中，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），AC=BD。 ② 由①得∠OAC=∠OBD。又OA=OB且∠AOB=60°→△AOB为等边三角形，∠OAB=∠OBA=60°；OC=OD且∠COD=60°→△COD为等边三角形。利用外角（八字模型）：∠APB=∠AOB=60°。 (2) 当∠AOB=∠COD=α时，∠APD=α。 学科网（北京）股份有限公司 $