第4讲平面向量的最值与范围（提高）-2027届高三数学一轮复习

向量的最值与范围 先平方、极化恒等式与图形中的动点 模的最值：先平方 提高版的模最值，条件 常常不是直接给两个模，而是一个「模的和等于常数」的等式。这时不要急着平方 —— 先认清它是椭圆。把常数除以 得到长半轴 ，两个定点之间的距离的一半就是 ，短半轴 也随之定下。目标量若写成「动点到椭圆中心的距离」，它的范围就是 ；这一步把「求最值」变成了「读椭圆的两个半轴」。 另一条常用变换是换元凑定点。题目里的目标是像 这样的组合时，先把减法合并：，其中 是一个由已知点定出来的定点。合并之后目标就变成「定点到动点的距离」，而动点往往在一个圆上，最值立刻可读。找这个定点的方法就是把组合式里的 、 系数配成 这类形式。 当动点的轨迹是一个圆、而目标又是「到某定点的距离」时，最值就是「圆心距加减半径」，其中圆心距要用点到直线的距离算。这一步要特别小心：动点的圆与那条直线可能相交，所以「加减半径」给出的端点必须落在动点允许的范围内，否则要改用端点值。 最后是一个好用的检查：把答案代回原式，看它对应的几何位置是否真的存在。比如 的最小值取到时要 与 反向，那就问一句「题目允许它们反向吗」；若题目还附加了 或夹角为锐角这样的条件，反向就可能不被允许，最小值要重算。 例1（单选·★★★☆☆） 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 变式1-1（填空·★★★★☆） 在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值为______． 例2（填空·★★★★☆） 已知平面四边形满足，且，为的中点，则 = __________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★☆☆） 在中，，点满足，若的面积为2，则BD的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知向量满足，，则的最大值等于_____ 数量积的最值：极化恒等式与投影 提高版的数量积最值，几乎都由两条路拼出来：极化恒等式定形状，投影定方向。极化恒等式处理「两个向量共起点、但起点在动」的情形 —— 把它折成「动点到定点距离的平方减常数」——动点的轨迹若是圆或直线，最值就是几何量。投影处理「一个向量固定、另一个在动」的情形 —— 固定那个放到坐标轴上，目标只由动向量在该方向上的分量决定。 用投影时，先把固定向量放到坐标轴上是关键的习惯。比如目标是 而 、 固定，就把 放在 轴上，于是目标等于 ，只要分析 的横坐标的范围。这一步省掉了整个二维的配方 —— 很多学生在这里硬算两维坐标，算到一半发现平方项全部约掉，正是因为没有提前把方向选好。 动点在线段上（而不是整条直线或整个圆）时，要注意参数的范围。二次函数的顶点若不在区间内，最值在端点；有些题目故意把顶点放在区间外，专门考「你有没有看范围」。经验上，凡是给出「点在边 XX 上」「在线段 XX 上」的，十有八九顶点在区间外。 最后说双空题。两问通常是接力关系：第一问把某个几何量算出来（或定出坐标系里的关键点），第二问在这个基础上求最值。所以第一问千万不能跳 —— 它给出的那个数，正是第二问里那个「常数」或那个「定点」。做题时把第一问的结果显式写下来，第二问就不会悬空。 例4（单选·★★★★☆） 在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 例5（单选·★★★★☆） 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则 = __________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 例6（填空·★★★★☆） 在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 变式6-1（填空·★★★★☆） 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则 = ________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 综合最值：图形、动点与轨迹 提高版的综合题，难点往往不在计算，而在目标式的形状。有的目标天生是二次式（建系后直接配方即可）；有的目标带着分数（要先用几何条件把分母换掉）；有的目标是「数量投影」这类由两个动点共同决定的东西（要先把它写成两个变量的乘积，再分别处理）。动手前先把目标式抄一遍，看清它是哪一类，再决定用哪条路 —— 这一步能省掉大半的试算。 两个动点各自独立时，「一个动点决定的量乘以另一个动点决定的量」往往要分别取极值。比如数量投影等于「被投影向量的模」乘「夹角的余弦」，前者只由第二个动点决定，后者要求两个动点的方向尽量一致。把两件事分开处理，比把它们揉在一个式子里求导清楚得多。 还有一个高频套路：把动点的条件换成辅助圆的切点或弦中点。「直线过交点」「弦长固定」这类条件，用的是「弦心距为定值」，于是弦中点落在一个小圆上；「过定点作圆的两条切线」用的是切点与圆心连线垂直于切线。看出这些以后，动点就不再是自由的了。 最后提醒：综合题的答案常常落在端点上。因为参数有范围、点在线段上、图形有边界，配方得到的顶点反而常常取不到。所以每一道综合题收尾时都要问一句「这个最值对应的位置，图形上真的存在吗」，回答得上，答案才算落地。 例7（单选·★★★★☆） 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 变式7-1（填空·★★★★☆） 在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：①的最大值为； ②的最小值为；③的最小值为； ④的最大值为．其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 例8（单选·★★★★☆） 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 变式8-1（填空·★★★★☆） 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 例9（单选·★★★☆☆） 已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知非零向量满足，且对任意实数，．则在上的投影向量的模的最小值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量的最值与范围 先平方、极化恒等式与图形中的动点 模的最值：先平方 提高版的模最值，条件 常常不是直接给两个模，而是一个「模的和等于常数」的等式。这时不要急着平方 —— 先认清它是椭圆。把常数除以 得到长半轴 ，两个定点之间的距离的一半就是 ，短半轴 也随之定下。目标量若写成「动点到椭圆中心的距离」，它的范围就是 ；这一步把「求最值」变成了「读椭圆的两个半轴」。 另一条常用变换是换元凑定点。题目里的目标是像 这样的组合时，先把减法合并：，其中 是一个由已知点定出来的定点。合并之后目标就变成「定点到动点的距离」，而动点往往在一个圆上，最值立刻可读。找这个定点的方法就是把组合式里的 、 系数配成 这类形式。 当动点的轨迹是一个圆、而目标又是「到某定点的距离」时，最值就是「圆心距加减半径」，其中圆心距要用点到直线的距离算。这一步要特别小心：动点的圆与那条直线可能相交，所以「加减半径」给出的端点必须落在动点允许的范围内，否则要改用端点值。 最后是一个好用的检查：把答案代回原式，看它对应的几何位置是否真的存在。比如 的最小值取到时要 与 反向，那就问一句「题目允许它们反向吗」；若题目还附加了 或夹角为锐角这样的条件，反向就可能不被允许，最小值要重算。 例1（单选·★★★☆☆） 已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 35 【切入点】 可以换成中点的形式 —— 设 是 的中点，则它等于 ，于是问题变成「 到 的距离的最小值」。 【关键】因为 是圆 的弦且 ，所以 的中点 到圆心 的距离恒为 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上运动。而 在直线 上，所以 的最小值等于「 到该直线的距离减去半径」。 【关键】圆心到直线的距离为 ，所以 ，于是 ，选 A。 【易错】第一， 这个恒等式要记牢，它是「中点型」目标的标准转法；漏掉系数 会算出 。第二， 的轨迹是一个圆而不是圆内区域 —— 弦长固定时中点到圆心的距离也固定。第三， 能取到，因为那条直线与 的轨迹圆不相交（），垂足方向上的点都合法。 【答案】A 变式1-1（填空·★★★★☆） 在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值为______． 【切入点】三个数量积相等且都是负数，说明 到三点等距、而且三对向量的夹角相等 —— 先把这三条信息翻译成 与角度。 【关键】由 与三个数量积都等于 得 ，所以三个角相等、每个都是 ，，解得 。取 为原点，、、。 【关键】由 知 是 的中点，所以 ……更直接地写成 。记定点 ，则 。而 在以 为圆心、 为半径的圆上，，所以 ，。 【易错】第一，三个数量积相等且都等于同一个负数，才能推出三个夹角都是 ；若只相等而未给出符号，还要讨论。第二，把 是 中点翻译成「 在 为中心的对称位置」这一步，要点是先把 里的 消掉、换成 与定点；直接对 求最值会没有抓手。第三，最后别忘除以 与取「加半径」那一侧 —— 求的是最大值，所以是 。 【答案】 例2（填空·★★★★☆） 已知平面四边形满足，且，为的中点，则 = __________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 【切入点】两问是一条链：先用向量等式确定四边形的形状、把各点坐标写出来，再在第一问的坐标系里处理第二问的动点。 【关键】由 得 的等价形式，取 、（因为 ）。设 方向上的单位向量为 ，由 得 ，所以 。再由 可解出 ，於是 、，中点 。 【关键】第一问：，所以 。第二问：设 、（、），由 解出 。代入 ，取 时得 ，所以最小值是 。 【易错】第一，条件 给出的是单位向量的点积，它只定了 的方向、没定长度；长度要靠另一条向量等式求出。第二，、 是线段上的点，所以 、 都要落在 内，解出 后必须回代检验。第三，两问的坐标要用同一套，第一问建好的系直接延续到第二问，别重建。 【答案】； 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标是 ，里面三个点都以 为公共起点，先把它们合并成一个「定点到 的距离」。 【关键】。取 、、，则 ，。 【关键】 在以 为圆心、 为半径的圆上，所以 的取值范围是 ，选 B。 【易错】第一，合并系数时要把 单独留出来：目标是 而不是 ， 与 的系数位置反了，定点 就会落到别处、算出的范围也跟着变。第二， 可以在整个平面内取（只要 ），所以它跑遍的是一个整圆，不是一段圆弧。第三， 时下界为 ，上界为 ，两个端点在 与 共线时取到。 【答案】B 例3（单选·★★★☆☆） 在中，，点满足，若的面积为2，则BD的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】 说明 是 的中点，所以只要把 与 的位置用两个量表示出来， 就成了这两个量的函数。 【关键】取 、（），则 。由 知 在以 为心、 为半径的圆上，设 ，则 。面积条件：，所以 ，（需 ）。 【关键】。记 ，则 ，所以 。对 求导并令其为零：，解得 ，此时 ，所以 的最小值为 ，选 B。 【易错】第一， 是以 为顶点的等腰，所以 到 的距离等于 ，别把它读成「 在 的垂直平分线上」——那是 的意思。第二，面积给出的是 到直线 的距离，所以要写成 。第三，求导得的是 的最小值 ，最后必须开方；选项里没有 ，这本身就是一个提醒。 【答案】B 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知向量满足，，则的最大值等于_____ 【切入点】三条条件都在说「、 与同一个 的关系」，所以把 定在坐标轴上，其余都用坐标与参数写出来。 【关键】取 。设 、，这样自动满足 。条件 化为 。 【关键】由 （同理对 ）得 。把上式中的 解出来代进去：。要使它最大，就让 尽量小；由约束可解得 的最小值为 ，代回得 ，所以最大值为 。 【易错】第一，取 在 轴上是等价变形（只差一个旋转），不会漏解；但把 取成 之后，、 的参数要按「到 距离为 」设，即圆心在 、半径为 。第二， 不能取 —— 那会与 矛盾，必须把约束一起解。第三，最后要开方：平方的最大值是 ，答案是 而不是 。 【答案】 数量积的最值：极化恒等式与投影 提高版的数量积最值，几乎都由两条路拼出来：极化恒等式定形状，投影定方向。极化恒等式处理「两个向量共起点、但起点在动」的情形 —— 把它折成「动点到定点距离的平方减常数」——动点的轨迹若是圆或直线，最值就是几何量。投影处理「一个向量固定、另一个在动」的情形 —— 固定那个放到坐标轴上，目标只由动向量在该方向上的分量决定。 用投影时，先把固定向量放到坐标轴上是关键的习惯。比如目标是 而 、 固定，就把 放在 轴上，于是目标等于 ，只要分析 的横坐标的范围。这一步省掉了整个二维的配方 —— 很多学生在这里硬算两维坐标，算到一半发现平方项全部约掉，正是因为没有提前把方向选好。 动点在线段上（而不是整条直线或整个圆）时，要注意参数的范围。二次函数的顶点若不在区间内，最值在端点；有些题目故意把顶点放在区间外，专门考「你有没有看范围」。经验上，凡是给出「点在边 XX 上」「在线段 XX 上」的，十有八九顶点在区间外。 最后说双空题。两问通常是接力关系：第一问把某个几何量算出来（或定出坐标系里的关键点），第二问在这个基础上求最值。所以第一问千万不能跳 —— 它给出的那个数，正是第二问里那个「常数」或那个「定点」。做题时把第一问的结果显式写下来，第二问就不会悬空。 例4（单选·★★★★☆） 在梯形中，，，，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 【切入点】 是固定的，所以 （ 在 方向上的投影）—— 只要找出四个半圆里最靠右的那个点。 【关键】等腰梯形 、、、，取 、，则 、（腰的水平偏移为 ，高为 ）。四个半圆的圆心分别是四条边的中点，半径是对应边的一半： 边对应的圆心 、半径 ； 边对应的圆心 、半径 ；两腰对应的圆心分别是 与 、半径都是 。 【关键】 在向外作的半圆上，所以对 边那个半圆来说， 可以到最右端 ；其余三个半圆可达的最右横坐标分别是 、、，都更小。所以 的横坐标最大为 ，，选 C。 【易错】第一，梯形的顶点顺序要摆对：上底 位于 ，而不是 —— 把上底摆错，所有圆心都会平移。第二，「向外作半圆」决定了取「加半径」那一侧；若看成向内， 的范围反而收窄。第三，四个半圆里只有 边那个能到最右，要逐个比较横坐标的最大值，不能想当然地认为 边（最长的边）最右。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）． A. B. C. 4 D. 【切入点】 是固定的，所以目标等于「 乘以 在 方向上的投影」—— 把 放到坐标轴上，只需看 在这条方向上的位置。 【关键】正三角形 边长为 ，取 的中点为原点、 为 轴，则 、、。圆 与直线 相切，所以半径 等于 到 的距离 ，圆为 。 【关键】，所以 。 在圆上，横坐标最大为 ，所以原式最大为 ，选 D。 【易错】第一，圆与 相切 ⇒ 半径等于点到直线的距离，即正三角形的高 ，不是边长 。第二，，这里 ，所以是 ，写成 会漏掉起点偏移。第三， 可以在整个圆上取，所以横坐标的最大值就是圆心横坐标加半径。 【答案】D 例5（单选·★★★★☆） 在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】图形是直角梯形， 在线段 上 —— 这种「点在某条线段上」的题，设参数化成二次函数最稳妥。 【关键】取 、、（、），由 且 得 。 是 的中点，所以 。设 ，。 【关键】，，所以 。这是开口向上的二次函数，顶点在 ，落在 内，最小值 ，选 C。 【易错】第一，整理成 时容易把两项算成 之外的数，关键是两项里的 要分别配齐：第一项 、第二项 。第二，顶点 在线段内，所以最小值取得到；若顶点跑到 之外，就要改成端点的值。第三，题目问的是最小值，开口向上的二次函数只有最小值，没有最大值。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则 = __________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【切入点】第一问用「向量等式对应坐标相等」定出 ，第二问 变成动点，但目标里含一个「等腰三角形」的顶点 —— 先把 化简，看 的位置到底影不影响结果。 【关键】取 、、、。 为 上靠近 的三等分点，所以 。设 、，由 得 ，即 ；再由横坐标 解得 ，所以 。 【关键】第二问：设 ，。由 知 在 的垂直平分线上，设其到 中点 的距离为 ，则 。写 ，与 作数量积时， —— 含 的项全部消失，所以 。 时 ，取值范围为 。 【易错】第一，第一问里 在 上，要用「」的一次式，而由纵坐标先定 再定 最省事 —— 纵坐标只含 ，一步就能解出。第二，第二问的关键是发现「含 的项会消掉」：等腰三角形的高不影响结果，所以题目不必给出高。若看不出这一点，会以为条件不足。第三， 这类常数在化简时别忘了，本题里的 正是它。 【答案】； 例6（填空·★★★★☆） 在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 【切入点】、 把 三等分，而条件里给的是 与 —— 先用「中点公式」把目标与 、 的模长挂上钩。 【关键】取 的中点 为原点，设 、、、，。由 得 ；记 ，由夹角为 得 。 【关键】把「和」与「积」摊开：，。两式相减消去 ，配合 可得 ，于是 。这是关于 的二次函数，顶点在 ，最大值 。 【易错】第一，（中线公式）是最快的入口，但要先把目标写成这个形式；直接展开 也行，只是多几步。第二， 是「半个相邻间隔」，，注意别把 当成间隔本身。第三，求出最大值后要确认对应的 ，这里 ，所以这个最大值确实能取到。 【答案】 变式6-1（填空·★★★★☆） 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则 = ________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【切入点】两问都在正方形里：第一问是「用基底表示」，第二问是「动点在线段上求数量积的最值」—— 建系以后两问都变成坐标运算。 【关键】取 、、、。 说明 ，所以 。由 得 ，所以 、，。 【关键】第二问：设 ，。 是 的中点，所以 。，，作数量积得 。顶点 ，所以它在 上递减，最小值在 处：。 【易错】第一， 给出 ，所以 在 上距 为 ，写成 会让第一问变成另一个数。第二，第二问的二次函数顶点在区间外（），最值只能在端点取；直接代顶点会得到比 更小的数。第三， 就是 的坐标（因为 在原点），这一点让计算简化不少，但只有把 放在原点才成立。 【答案】； 综合最值：图形、动点与轨迹 提高版的综合题，难点往往不在计算，而在目标式的形状。有的目标天生是二次式（建系后直接配方即可）；有的目标带着分数（要先用几何条件把分母换掉）；有的目标是「数量投影」这类由两个动点共同决定的东西（要先把它写成两个变量的乘积，再分别处理）。动手前先把目标式抄一遍，看清它是哪一类，再决定用哪条路 —— 这一步能省掉大半的试算。 两个动点各自独立时，「一个动点决定的量乘以另一个动点决定的量」往往要分别取极值。比如数量投影等于「被投影向量的模」乘「夹角的余弦」，前者只由第二个动点决定，后者要求两个动点的方向尽量一致。把两件事分开处理，比把它们揉在一个式子里求导清楚得多。 还有一个高频套路：把动点的条件换成辅助圆的切点或弦中点。「直线过交点」「弦长固定」这类条件，用的是「弦心距为定值」，于是弦中点落在一个小圆上；「过定点作圆的两条切线」用的是切点与圆心连线垂直于切线。看出这些以后，动点就不再是自由的了。 最后提醒：综合题的答案常常落在端点上。因为参数有范围、点在线段上、图形有边界，配方得到的顶点反而常常取不到。所以每一道综合题收尾时都要问一句「这个最值对应的位置，图形上真的存在吗」，回答得上，答案才算落地。 例7（单选·★★★★☆） 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】三块面积之和等于总面积，所以 、、 之间有一个等式约束；而总面积由 与夹角直接给出。 【关键】由 得 ，所以 。又 ，即 ，所以 ，。 【关键】把 代入：。记 如上，求导得 ，令其为零解得 ，代入得 ，选 D。 【易错】第一，面积等式是本题的枢纽：「内点到三边的三块面积之和等于总面积」，不写出它就无法把 、 消成一个。第二， 里的 要换成 之后再求导，直接对两个变量求偏导会绕远。第三， 的范围是开区间，但顶点 落在里面，所以最小值取得到。 【答案】D 变式7-1（填空·★★★★☆） 在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：①的最大值为； ②的最小值为；③的最小值为； ④的最大值为．其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号） 【切入点】四个结论分两类：①②说的是 ，③④说的是 —— 两类各用一条统一的办法处理。 【关键】取 、、，由 知 在 上。由 得 ，所以 。由柯西不等式 ，所以 —— ①错误、③正确。 【关键】设 为 的中点，即 ，。由极化恒等式 。，而 ，所以原式 —— ②正确、④正确。综上，正确的序号是 ②③④。 【易错】第一， 是距离条件，它给出 的轨迹是一个圆，而 的范围来自「、 满足一个椭圆方程」—— 两者是同一个条件的两种写法，别当成两个条件。第二，柯西不等式里系数是 与 ，因为 。第三，④里的 与②里的 是同一个区间的两端，两个都对；若只算了一端就容易选错。 【答案】②③④ 例8（单选·★★★★☆） 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【切入点】 说明 在以 为直径的圆上； 说明 是 的中点 —— 两个条件一环套一环，最后落在斜率上。 【关键】由 得 在以 为直径的圆上，圆心为 的中点 、半径为 ，所以可设 。由 得 是 的中点，，所以 。 【关键】直线 的斜率为 。对 求导并令其为零：分子 ，解得 、，此时 ，选 B。 【易错】第一， 说的是 与 同向、长度比 ，所以 是 的中点（把 看成 到 ）。第二， 是直径的条件是 、 都在圆上，而这里 、 关于圆心对称，所以圆心是 、半径 。第三，斜率式 的最大值可以按「点到直线距离」的几何意义求，但本题用求导更直接。 【答案】B 变式8-1（填空·★★★★☆） 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【切入点】「数量投影」不是一个单纯的模或数量积，它同时由两个动向量决定 —— 所以先把两个动点各自的轨迹写清楚，再合并。 【关键】取 、。由 得 的终点在以 为圆心、 为半径的圆上；由 得 的终点在以 为圆心、 为半径的圆上。 【关键】 在 方向上的数量投影为 。为了让这个值最大，两个向量应当尽量同向：取 、。此时 ，，数量投影为 。 【易错】第一， 说的是「 的终点到 的距离为 」，不要读成「 的模与 的差」。第二，两个动点是独立的，所以可以让它们各自取最有利的位置；取 指向 是为了让 尽量小、同时方向尽量靠向上方。第三，「数量投影」与「投影向量」不同：前者是一个数（本题答案 ），后者是向量。 【答案】 例9（单选·★★★☆☆） 已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 【切入点】与上一题同一套结构：先用数量积与夹角定出总面积，再用「三块面积之和」把两个变量合成一个。 【关键】由 得 ，。由面积等式 得 ，。 【关键】目标式里 。记 如上，，令其为零得 ，即 ，代入得 ，选 C。 【易错】第一， 要先合并，再代 ；分两次代换会算乱。第二，求导后解出的是 （取正根），因为 ；另一个根为负，不符合范围。第三， 落在 内，所以最小值取得到；算完顺手验一下范围是好习惯。 【答案】C 变式9-1（填空·★★★☆☆） 已知非零向量满足，且对任意实数，．则在上的投影向量的模的最小值为______. 【切入点】条件「对任意实数 ，」说的是 到 所在直线的最短距离 —— 先把它翻译出来。 【关键】 的最小值就是点 的终点到直线 的距离，即「 在垂直于 的方向上的分量长度」。所以由条件得： 的垂直于 的分量长度为 。 【关键】又 ，所以 的方向正是垂直于 的方向。因此 在 上的投影向量的模为 —— 它既是不等式的下界，也真的取得到，所以最小值为 。 【易错】第一， 的最小值等于「 垂直于 的分量长度」，这个几何事实是本题的枢纽。第二， 说明 与 同向或反向，所以 在 上的投影长度就等于 。第三，题目问的是「投影向量的模」，不是投影向量本身；模是一个正数，所以答案是 而不是 带方向的量。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $