第8章 第51讲 第2课时 最值、范围问题(高考超重点)(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值与范围问题，通过代数推理与几何直观结合，系统呈现方程思想、函数求导等解题方法，构建“曲线性质—直线关系—目标函数—最值范围”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆综合|2题（含2025深圳二模）|联立方程+韦达定理+判别式求范围；参数法求面积最值|椭圆定义→标准方程→直线与椭圆位置关系→斜率/面积范围| |抛物线应用|1题|斜率表示+函数求导求乘积最值|抛物线方程→直线斜率范围→距离乘积函数化→导数求最值| |双曲线拓展|1题（含2025浙江二模）|对称点性质+韦达定理构造方程；基本不等式求面积|双曲线几何性质→对称直线方程→交点坐标关系→面积最小值| |综合创新|1题（2025全国一卷）|坐标参数化+圆与椭圆位置关系；三角函数/二次函数求最值|椭圆离心率→轨迹方程→圆上点与椭圆点距离最值|

课时分层测评75　最值、范围问题 (时间：60分钟　满分：55分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1.(10分)已知F(，0)是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的一个焦点，点M在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围. 解：(1)根据题意，得椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点为(－，0). 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＝4， 即2a＝4，所以a＝2. 又因为c＝，可得b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率为0或不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意. 故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以kOA＋kOB＝＝2k＋＝2k＋＝－， 可得m2＝4k＋1. 又m2≥0，所以k≥－. 又由Δ＞0，可得16(4k2－m2＋1)＞0，所以4k2－4k＞0，解得k＜0或k＞1. 综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪. 【教师备选】　(2025·广东深圳二模)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，｜PF｜＝，R是直线y＝2上一动点，｜PR｜的最小值为1. (1)求E的方程； (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求△RMN面积的取值范围. 解：(1)设点F(c，0)(c＞0)， 当直线PF与x轴垂直时，点P(c，)，则＝1. 因为｜PR｜的最小值为2－b＝1，所以b＝1. 又由a2＝b2＋c2，可解得a＝2，c＝， 故E的方程为＋y2＝1. (2)如图， 设点M(m，0)，N(n，0)，R(t，2)，注意到RM，RN斜率不为0， 设RM：x＝y＋m，RN：x＝y＋n， 联立得[16＋(t－m)2]y2＋4(t－m)my＋4(m2－4)＝0. 因为RM与E相切，所以Δ＝[4(t－m)m]2－4[16＋(t－m)2]·4(m2－4)＝0， 于是16(t－m)2m2－16[16＋(t－m)2](m2－4)＝0， 化简得3m2＋2tm－t2－16＝0. 又RN与E相切，同理有3n2＋2tn－t2－16＝0， 故m，n是一元二次方程3x2＋2tx－t2－16＝0的两根， 则m＋n＝－，mn＝－， 所以｜MN｜＝｜m－n｜＝， 又t2≥0，所以S△RMN＝｜MN｜·2＝≥， 所以△RMN面积的取值范围是［，＋∞). 2.(13分)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－x)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求｜PA｜·｜PQ｜的最大值. 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－. 因为－x，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1). (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为｜PA｜＝｜x＋｜＝(k＋1)， ｜PQ｜＝｜xQ－x｜＝－， 所以｜PA｜·｜PQ｜＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 则f'(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在上单调递增，在上单调递减， 因此当k＝时，｜PA｜·｜PQ｜取得最大值. 3.(15分)(2025·浙江金华十校二模)如图，双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点A(t，0). (1)求双曲线E的标准方程； (2)若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q. (ⅰ)当k＝时，求t的取值范围； (ⅱ)当t＝－3时，求S△APQ的最小值. 解：(1)根据题意，知 所以双曲线E的标准方程为－y2＝1. (2)令P(x0，y0)，设直线BC：y＝－x＋m，与－y2＝1联立得(k2－4)x2＋8mkx－4m2k2－4k2＝0. 当Δ＝16k2(m2k2＋k2－4)＞0时， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则由韦达定理，及题意可得 x0＝，y0＝. (ⅰ)当k＝时，x0＝m，y0＝－m， 由＝k＝，得t＝x0－3y0＝m. 又因为Δ＞0，即k2(m2＋1)＞4⇒m2＞－1＝35⇒m∈(－∞，－)∪(，＋∞)， 所以t＝m∈(－∞，－)∪(，＋∞). (ⅱ)根据题意知Q(0，m)，A(－3，0). 因为k＝⇒－4km＋3k2－12＝mk， 所以m＝⇒. 又x0＋3＝，y0＝， 则｜PA｜＝｜y0｜＝， ｜PQ｜＝. 又⇒，x0＝＝－， 则｜PQ｜＝， 则S△APQ＝｜PA｜·｜PQ｜＝··(｜k｜＋)≥·2， 当k＝±1时取等号，此时m2＝，Δ＝16(＋1－4)＞0，满足题意. 综上，S△APQ的最小值为. 4.(17分)(2025·全国一卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝. (1)求C的方程； (2)(一题多解)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3. (ⅰ)设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值. 解：(1)根据题意，知A(0，－b)，B(a，0)， 所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8. 故C的方程为＋y2＝1. (2)(ⅰ)设R(x0，y0)，易知m≠0， 法一：所以kAP＝，故，且mx0＞0. 因为A(0，－1)，｜AR｜｜AP｜＝3， 所以＝3， 即x0m＝3，解得x0＝，所以y0＝， 所以点R的坐标为(，). 法二：设＝λ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3⇒λ[m2＋(n＋1)2]＝3，所以λ＝，＝λ＝λ(m，n＋1)＝(，)， 故点R的坐标为(，). (ⅱ)因为kOR＝，kOP＝， 由kOR＝3kOP，可得， 化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋(n＋4)2＝18(m≠0)， 所以点P在以N(0，－4)为圆心，3为半径的圆上(除去两个点)， ｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径. 法一：设Q(3cos θ，sin θ)，所以 ｜QN｜2＝(3cos θ)2＋(sin θ＋4)2＝9cos2θ＋sin2θ＋8sin θ＋16＝8cos2θ＋1＋8sin θ＋16＝8(1－sin2θ)＋8sin θ＋17＝－8sin2θ＋8sin θ＋25 ＝－8＋27≤27， 当且仅当sin θ＝时取等号， 所以｜PQ｜max＝＋3＝3(). 法二：设Q(xQ，yQ)，则＝1， ｜QN｜2＝＝9－9＋8yQ＋16＝－8＋8yQ＋25＝－8＋27≤27， 当且仅当yQ＝时取等号， 故｜PQ｜max＝＋3＝3(). 学生用书⬇第255页 学科网（北京）股份有限公司 $