专题5　第46练　平面向量中的最值与范围问题 2027届高中数学一轮复习微题型练习

**基本信息** 聚焦平面向量最值与范围问题，通过单选、多选、填空三级分层设计，实现从单一知识点应用到综合问题解决的进阶，强化数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |单选|向量数量积、线性运算等基础考点|以Rt△外接圆、长方形等具体几何情境巩固基础运算，培养几何直观| |多选|夹角分类、动态点综合分析|通过多选项设置（如夹角为0或2π/3），训练分类讨论与逻辑推理能力| |填空|单位向量、几何约束下的范围问题|以开放范围形式（如取值范围），强化数学语言表达与模型观念|

第46练　平面向量中的最值与范围问题 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　) A.4 B.2+ C.3 D.1+ 2.在△ABC中，点F为线段BC上一点(不含端点)，若=x+2y(x>0，y>0)，则+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.8 D.9 3. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C.  D.  4. .在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为 (　　) A. B. C. D. 5. 如图所示，在正方形ABCD中，已知，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 6. (2025·成都模拟) 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为(　　) A. 0 B.  C. 2 D. 6 7. (2024高一下·长沙月考) 已知是边长为1的等边三角形，点在边上，且，点是边上任意一点（包含，点），则的取值可能是（ ） A.  B.  C.  D.  三、填空题(每小题5分，共10分) 8. (2026高一上·衡阳期末) ,  均为单位向量，且 ，向量  满足 ，则  的取值范围是　　　　　　　. 9. (2026·保山模拟) 已知是边长为的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为　　　　　　. 第46练　平面向量中的最值与范围问题 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　) A.4 B.2+ C.3 D.1+ 答案　A 解析　如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点， 则·(+)=·2=2(+)·=2+2·， 因为c=2，故||=||=1， 则·=cos〈，〉≤1， 当且仅当与同向时取等号， 故·(+)≤2+2=4. 2.在△ABC中，点F为线段BC上一点(不含端点)，若=x+2y(x>0，y>0)，则+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.8 D.9 答案　D 解析　由题意得，B，F，C三点共线， 又=x+2y(x>0，y>0)， 故x+2y=1， 故+=(x+2y) =1+4++≥5+2=9， 当且仅当=，即x=y=时，等号成立，故+的最小值为9. 3. 3. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C.  D.  答案　D 解析　由题意得，，， 则， 代入，得， 则当时，取最小值. 4.在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　取的中点，则， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 5. 如图所示，在正方形ABCD中，已知，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案　C 解析　以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系， 则A(0,0), B(2,0)， 设N(x,y),(0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2)， 则，， ， 所以的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到. 故选：C. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 6. (2025·成都模拟) 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为(　　) A. 0 B.  C. 2 D. 6 答案　BD 解析　因为平面向量，，两两的夹角相等， 所以平面向量，，两两的夹角为或， 又，，， ①当夹角为时，即向量，，同向，则； ②当夹角为时， 则，，， 则， 综上所述，或. 故答案为：BD. 7. (2024高一下·长沙月考) 已知是边长为1的等边三角形，点在边上，且，点是边上任意一点（包含，点），则的取值可能是（ ） A.  B.  C.  D.  答案　AB 解析　设，如图所示： 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 故选：AB.. 三、填空题(每小题5分，共10分) 8. (2026高一上·衡阳期末) ,  均为单位向量，且 ，向量  满足 ，则  的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　解：由题意，,  均为单位向量，且 ， 则 ， 由 ，可得 ，解得 ， 则  的取值范围是 ． 故答案为：． 9. (2026·保山模拟) 已知是边长为的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　解：取，，，， 由题可得， 因为，所以，，三点共线， 在中，， 记中边上的高为，，解得， 即的最小值为，当与点重合时，的最大值为，所以。 故答案为：。 学科网（北京）股份有限公司 $