培优专练+三年真题17向量数量积及向量应用-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

培优专练+三年真题17向量数量积及向量应用 【考点一】用定义求向量的数量积 【考点五】坐标计算向量的模 【考点二】基础运算：数量积、夹角、模长求解 【考点六】向量垂直的坐标表示 【考点三】垂直关系的向量表示 【考点七】投影向量 【考点四】数量积的坐标表示 【考点八】向量在几何、物理中的应用 【题型一】用定义求向量的数量积 1．（2026·海南三亚·一模） 中， ， ， ，则 （     ） A． B．12 C．0 D．9 2．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 3.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知向量 ，，的夹角为，则______. 4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 5．（2026·甘肃·二模）中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，为中点，，求. 【题型二】基础运算：数量积、夹角、模长求解 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·海南·模拟预测）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则________． 4．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 5.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，设，．已知，，，． (1)求，； (2)求与； (3)求的面积． 【题型三】垂直关系的向量表示 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 2.（2026·四川绵阳·模拟预测）已知向量，满足，，且，则________． 3.（多选）（2026·广西·模拟预测）设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．不与垂直 D．若，则与垂直 4.（2026·广东·模拟预测）中，，且． (1)若且，求的值； (2)求的值． 【题型四】数量积的坐标表示 1.（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围是________． 4.（多选）（2026·四川成都·三模）已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 【题型五】坐标计算向量的模 1.（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 2．（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 3.（2026·福建泉州·三模）已知平面向量，，则的最小值是__________． 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知平面向量，，若且，则______. 【题型六】向量垂直的坐标表示 1.（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．5 D． 2.（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026·广东揭阳·二模）已知，，若，则______. 4.（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【题型七】投影向量 1.（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 3.（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 4.（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【题型八】平面向量的应用举例 1.（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 2.（2026·山西忻州·模拟预测）某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风    A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 3.（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 4.（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 8．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题17向量数量积及向量应用 【考点一】用定义求向量的数量积 【考点五】坐标计算向量的模 【考点二】基础运算：数量积、夹角、模长求解 【考点六】向量垂直的坐标表示 【考点三】垂直关系的向量表示 【考点七】投影向量 【考点四】数量积的坐标表示 【考点八】向量在几何、物理中的应用 【题型一】用定义求向量的数量积 1．（2026·海南三亚·一模） 中， ， ， ，则 （     ） A． B．12 C．0 D．9 【答案】C 【分析】先由勾股定理逆定理判断为直角三角形且为直角，再化简向量表达式结合垂直向量数量积为0求解. 【详解】由题可得，所以由勾股定理逆定理得， 所以，因此， 又因为， 所以. 2．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ， ， ． 3.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知向量 ，，的夹角为，则______. 【答案】1 【分析】利用数量积的定义直接求解. 【详解】依题意，. 故答案为：1 4．（2026·山东·模拟预测）在 中， ， ，则 的值为_____. 【答案】 【分析】取的中点为，连接，利用向量的投影向量大小即可求解. 【详解】取的中点为，连接， 由，所以， 所以在上的投影向量的大小为， 所以. 5．（2026·甘肃·二模）中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，为中点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式及正弦定理求解即可. （2）根据向量的平行四边形法则、向量的数量积、余弦定理及诱导公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得：，所以， 由于，故. （2） 因为为中点，所以，则， 所以，即，解得或（舍）， 由余弦定理知，，所以， 所以，则，所以， 所以. 【题型二】基础运算：数量积、夹角、模长求解 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 2．（2026·海南·模拟预测）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线及夹角定义求解即可. 【详解】 与反向， 向量与的夹角和与的夹角互补， 向量的夹角与的夹角为. 3.（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则________． 【答案】1 【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到，再根据模长关系运算求解. 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. 4．（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 5.（2026·山西忻州·模拟预测）在中，设，．已知，，，． (1)求，； (2)求与； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用向量模的运算性质及已知条件，求出与的值，再逆用韦达定理求解即可.； （2）结合题意得到，再结合平面向量的性质得到. （3）利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）设，．由题意得，， 又，，由， 得．解得． 又，故． 代入，得，解得． 因此，是方程的两个根，解得． 由于，所以，，故，． （2）由题意得角是向量与的夹角， 所以，又． 于是． 可得． （3）由，得到． 由三角形面积公式得. 【题型三】垂直关系的向量表示 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 2.（2026·四川绵阳·模拟预测）已知向量，满足，，且，则________． 【答案】/ 【分析】根据向量垂直可得向量的数量积为零，结合向量的模联立计算即可. 【详解】因为，， 所以，即， 因为，所以， 联立，解得. 3.（多选）（2026·广西·模拟预测）设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．不与垂直 D．若，则与垂直 【答案】ABD 【分析】本题解题关键在于：遇模长相等等式，优先两边平方；判断垂直，只需要求点积是否为0. 【详解】由，两边平方得，展开得： ，化简得，即.A正确. 由可得，所以两向量垂直.B正确. 令，则，因此.C错误. 由移项得：，所以.D正确. 4.（2026·广东·模拟预测）中，，且． (1)若且，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，进一步得，展开后可得关于的等式，解出即可； （2）根据余弦定理求出的值，再根据正弦定理求出的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）因为，且已知，， 所以，代入向量表达式得， 所以， 又，，， 所以，解得． （2）由，得， 又， 故，所以， 得，， 所以． 【题型四】数量积的坐标表示 1.（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据题意条件，建系，求出两向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】 如图建立平面直角坐标系,由图知，， 则,故. 2．（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】   如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，， 所以，故B正确. 3.（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用向量坐标的数量积运算，将不等式转化为关于t的不等式，解不等式即可． 【详解】因为，，故； ； 故等价于， 即，即，解得：； 故的取值范围是． 4.（多选）（2026·四川成都·三模）已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，则，所以，故A正确； 由，则， 所以，即，故B正确； 由，则， ， 因为，所以与不共线，故C错误； 由， 且，则，故D正确. 【题型五】坐标计算向量的模 1.（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为，所以，得. 2．（2026·宁夏银川·一模）已知平面向量，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】由平面向量，且，则，解得：, 所以,则 3.（2026·福建泉州·三模）已知平面向量，，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】已知平面向量，， 则，则. 当时，. 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知平面向量，，若且，则______. 【答案】或 【分析】根据向量数量积的坐标表示及向量的模求解即可. 【详解】设向量，则，即. ，，，， 因为，所以，即， 联立，解得或， 所以或. 【题型六】向量垂直的坐标表示 1.（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，， 由 . 2.（2026·广西南宁·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，，可得， 若，则，即，解得或， 无法推出一定是，故充分性不成立； 当时，，则，即成立，故必要性成立。 因此“”是“”的必要不充分条件. 3.（2026·广东揭阳·二模）已知，，若，则______. 【答案】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得. 4.（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，由的面积为，得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 【题型七】投影向量 1.（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 2．（2026·广西·模拟预测）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】利用向量在方向上的投影向量的表达式，结合题设条件列方程求解. 【详解】 向量在方向上的投影向量公式为， 已知，，则，且， 又投影向量为，所以，即， 整理得，即，解得. 3.（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 4.（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 【题型八】平面向量的应用举例 1.（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 2.（2026·山西忻州·模拟预测）某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和．图中以同一比例尺给出空速向量和地速向量，其中每格代表．已知风速大小与风力等级对应如下，则此时风速对应的名称为（    ） 风速大小（） 名称 1.6~3.3 轻风 3.4~5.4 微风 5.5~7.9 和风 8.0~10.7 劲风    A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】利用速度的合成求出风速向量对应坐标，再求其模，结合表格确定对应风速名称. 【详解】由题设，， 此时风速向量为， 所以风速大小为， 故此时风速对应的名称为轻风. 3.（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 / 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 4.（2025·广西河池·三模）已知的内角的对边分别为且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再根据余弦定理进行计算即可； （2）先得，再两边平方求值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理知， 又，所以. （2）因为，， 则, 所以 , 所以 一、单选题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 3．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 6．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为，    若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 7．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 8．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $