25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 25.2.2公式法 【例】解：因式分解，得x(2x-5)=2(2x-5) 【知识点1】两个不相等两个相等1.B 移项，得x(2x-5)-2(2x-5)=0.因式分解，得(x 2.B 2)(2x-5)=0,x-2=0或2x-5=0,解得1=2， 【知识点2】x==b土V4@ -1.B2.A -2a x 2 【例1】解：方程化为3x2-x-2=0,a=3,b= 1.D2.A3.A4.x=-1,x2=35.15 -1,c=-2.4=b2-4ac=(-1)2-4x3×(-2)=25>0,方 6.解：(1)32-4x=0,x(3x-4)=0,x=0或(3x-4) 程有两个不相等的实数根，即x=b±V4c 0,0,5号 2a (2)x243-0,x(+3)=0,x0或+3-0，x-0,x-3. 爱岩即l.=号 (3)(2x-1)2-0,2x-1=0,x=xF2 1 【例2】解：方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两 (4)3x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(3x-1)=0,x-2=0 个不相等的实数根，.△=b2-4ac=(2h+1)2-4×1× 或3x-1=0,1=2,x2=3 (k2+1)=4h2+4h+1-4h2-4=4-3>0,.4h-3>0,解 (5)x(3x+1)-(3x+1)=0,(3x+1)(x-1)=0,3x+ 得>3 4 10或l0,=写l 1C2A3214A52空6②①③ (6)(2-1)2=(3-x)2,(2-12-(3-x)2=0,(2x1+3- x)(2x-1-3+x)=0,2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0,1=-2, 7.解：(1)a=1,b=-1,c=-4,△=b2-4ac=(-1)2- 4×1×(-4)=1+16=17>0,方程有两个不相等的实数根， y亚.y亚，1yD 7.解：(1)x2+2x=1,x2+2x+1=1+1,(x+1)2=2, 2a 2 2 x+1=±V2,x+1=V2或x+1=-V2,x=-1+V2, (2)原方程化为2x2-7x+3=0,a=2,b=-7,c=3 △=b2-4c=(-7)2-4x2×3=25>0,方程有两个不相等的实 x=-1-V2. (2)x2-3=0,x(-3)=0,x=0或x-3=0,x=0,x=3. 数根，即7X7要，3，分 (3)a=5,b=-6,c=1,△=b2-4ac=(-6)2-4×5×1= (3)原方程化为x2-5x+7=0,a=1,b=-5,c=7, 160,方程有两个不相等的实数根，即=±V6-64 2x510 △=b2-4ac=25-28=-3<0,方程无实数根. 1 (4)a=4,b=2,c=-1,4=b2-4ae=22-4×4×(-1)= x=1,g5 4+16=20>0,方程有两个不相等的实数根，即x= (4)2x2-4x=-8x-2,2x2+4x+2=0,x2+2x+1=0 t4ac-22V5,x=+y5,Y5 (x+1)2=0,x=2=-1. 2a 4 4 8.B9.C10.A (5)整理，得2+3x-3=0,4=32-4×1×(-3)=9+ 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 12=210,.方程有两个不相等的实数根，x= 4.3y2,=3y2,=3-) 〔知识点】合台1号42 2a 2 2 2 【例】解：(1).关于x的一元二次方程 (6)原方程化为2x2-2V6x+3-0,a=2,b=-2V6, x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，4=b2 c=3,△=b2-4ac=24-24=0,方程有两个相等的实数根， 4ae=(-2)2-4×1×(m-2)>0,12-4m>0,解得m< 即x=2Y6V0,==6 3,m的取值范围为m<3. 4 2 (2).关于x的一元二次方程x2-2.x+m-2=0有 8.D 9.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-m+3x+ 两个不相等的实数根1,2，x1+2=2.又= 2+m=0,a=1,b=-(m+3),c=2+m,△=b2-4ac=[-(m+ -1,-1+2=2,2=3,.另一个根2的值为3. 3)]2-4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，对于任意实数m,该方 1.-32.63.D4.C5.D6.C7.4 程总有实数根 8.-29.7 (2)解：设方程的两个实数根为x1,2,x= 10.解：(1)3；-2；-6. 2)3:2 1 -b±V-4ae=m+3±(m+l,=m+2,x=l.这个 2a (3)设方程x2+(2m+1)x+m2-2-0有两个实数根为 一元二次方程的一个根大于2，.∴m+2>2,解得m>0, m的取值范围为m>0. x,2,x+x2=-(2m+1),x2=m2-2.这两个实数根的 平方和是21，x+x=21=(x+x2)2-2xw,∴[-(2m+1)]P 10B11A12.m心g1B2 2(m2-2)=21,解得m=-4,m2=2.4=b2-4ac=(2m+1)2 25.2.3因式分解法 4m-2)=4m9≥0，m≥-？，m=-4不符合题意】 【知识点】1.=1，=22.B 则m=2. 46 参考答案 山.22D13.C14号 8+2Y7s或8-2Y7s时，可使得∠DPC为直角。 3 15.(1)证明：原方程为x2-(2k+1)x+k2+k-2=0 9.A10.C .△=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+k-2)=4k2+4+1-42-4+8=9> 253 实际问题与一元二次方程（第二课时) 0,方程有两个不相等的实数根」 (2)解：由条件，可知+2=2k+1,2=k2+k-2, 【例】解：(1)x,x(1+x),1+x+x(1+)= x1=2,2+=2k+1,=2+,1=2(2+l 64,解得=7,2=-9（不符合题意，舍去）· 3 3 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. 代入=2+h-2,得2(2+1=k2+h-2,整理，得2+ (2)根据题意，得64+64×7=512（人）.答： 9 三轮传染后患病的共有512人 k-20=0,解得k=4或k=-5, 1.A2.C3.D 25.3实际问题与一元二次方程（第一课时) 4.x+1+x(x+1)=1695.1+x+x2-43 【例】解：(1)(20-x),x(20-x).x(20-x)月 6.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电 75,x2-20x+75=0,∴x1=5,=15,当x=5时， 脑，列方程，得1+x+x(1+x)=121,解得x1=-12(不合 20-x=20-5=15(cm),当x=15时，20-x=20-15= 题意，舍去)，2=10.答：每轮感染中平均一台电脑会 5(cm).答：矩形的长为l5cm,宽为5cm. 感染10台电脑. (2)(10-x);(10+x)(10-x)=75. 7.解：(1)(2+2x). (3)不能围成一个面积为101cm2的矩形， (2)设每轮传染中平均一人传染了x人，则第一轮 会传染给2x人，第二轮会传染给x(2+2x)人，依题意， 理由如下：设矩形的长为ncm,则宽为(20-)cm, 得2+2x+x(2+2x)=288,解得x=11,x2=-13(不合题意， ∴n(20-n)=101,n2-20n+101=0,:4=b2-4ac 舍去).答：在每轮传染中，平均一人传染了11个人 (-20)2-4×1×101=-4<0,∴.m2-20n+101=0没有实 8.C 数根，.不能围成一个面积为101cm的矩形. 253实际问题与一元二次方程（第三课时) 1.A2.B3.A4.2255.D 【例】解：(1)设2023年到2025年该校购 6.解：设垂钓通道的宽度为xm,根据题意，可 得(130-3x)(60-2x)=5750,整理，得3x2-220x+1025= 买羽毛球拍费用的年平均增长率为x,则2000(1+ 0,第得=5,295当29时，60-2-60-0 x)2=2880,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍 3 去).答：2023年到2025年该校购买羽毛球拍费 0,不合题意，舍去.答：垂钓通道的宽度为5m. 用的年平均增长率为20%. 7.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m,依 (2)2880×(1+20%)=3456(元).答：预计 题意，得x(33-3x)=90,解得1=6,2=5.当x=6时， 2026年需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍. 33-3x=15,符合题意；当x=5时，33-3x=18,18>15, 1.A2.A3.A 不合题意，舍去.答：鸡场的长(AB)为15m,宽 4.150(1+x)2=216 (BC)为6m. 5.解：(1)400(1+x):400(1+x)2. (2)不能.设BC=ym,则AB=(33-3y)m,依题 (2)根据题意，得400(1+x)2=576,解得x,=0.2= 意，得y(33-3y)=100,整理，得3y2-33y+100=0.4=b2 20%,2=-2.2(不合题意，舍去).答：9月、10月的 4ac=(-33)2-4×3×100=-111<0,该方程无实数根，即该 销售量月平均增长率为20% 扶贫单位不能建成一个100m的矩形养鸡场. 6.50%7.C8.B 8.解：当运动时间为ts时，PB=(16-3t)cm, 253实际问题与一元二次方程（第四课时） CO=2t cm 【例】解：(1)小诚的说法有道理.理由如 （)依题意，得分×16-3+2)×6=33，解得15. 下；设有x人报名参赛，由题意，得(1) 2 答：P,Q两点从出发开始到5s时，四边形PBCQ的 面积为33cm2. 32,解得=1257，=1Y27.x与 (2)过点Q作QM⊥AB于 2 2 点M,如图所示.，PM=PB-CQ=16- 都不是整数，·方程的解不符合实际，故小诚的 5tl cm,QM=6 cm,..POP=PM+OM, 说法有道理。 即10=(16-5月46，解得=号， (2)设原来有x人参加比赛，则x==2) 2 4(不合题意，舍去).答：P,Q +432,解得x=9,2=-6(不符合题意，舍去). 原来有9人参赛比赛。 两点从出发开始到氵s时，点P和 第8题答图 1D2A3.7-1=45410 点Q的距离第一次是10cm. 5.1+x+x2=916.13,157.A8.19 (3)PD2+PC=DC,即62+(3x)2+(16-3x)2+62=162, 9.x2=10(x-3)+x10.B 解得=8+2Y7,=8-2Y7,答：点P出发 3 3数学 九年级上册（人教版） 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理@形成联系 小卡多 【知识点】一元二次方程aa2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系 O一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,物与其系数a,b,c的关系：x1+x2= X1比2= 1.一元二次方程2x2-3x-8=0的两个根为m,n,则m+n= mn= 2.已知关于x的方程2x2+kx-10=0的一个根为x=5,则另一个根为 例题点拨Q素养导向 【例】已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求m的取值范围 (2)当x=-1时，求另一个根的值 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实数根时△>0.一元 二次方程的根与系数的关系：两根之和等于-b,两根之积等于 a a 一元二次方程 第二十五章 夯实四基达标闯关 1.已知方程x243x-4=0的两根为x1,2,那么x1+x2= 2.已知x1=-2是关于x的一元二次方程x2-4x+C=0的一个根，则方程的另一个根物是 3.已知a,b是一元二次方程x2+x-3=0的两根，则a+b-2ab等于（) A.7 B.-5 C.-7 D.5 4.方程x2+x=5x+6的两个实数根的和与积分别是() A.-5,6 B.-4,6 C.4,-6 D.-1,6 5.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为3和-4，则()】 A.b=-1,c=12 B.b=-1,c=-12 C.b=1,c=12 D.b=1,c=-12 6.下列一元二次方程两根之和为2的是() A.x2+2x+3=0 B.2x2+4x-1=0 C.3x2-6x+2=0 D.x2-3x+2=0 7.若方程x2+mx+2=0的两个根是x1,x2,若x1+x2=-4,则m的值是 8.若m,n为方程x2-6x-3=0的两个实数根，则1+1= m n 9.设01,2是方程x2+x-3=0的两个实数根，则x+x的值为 能力提升螂综合拓展 10.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根为x1,x2,那么 。,后，灵活运用一元二次方程的根与系数的关系有时可以使解题更为简单，根 a 据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题： (1)材料理解：已知一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的 值.小明给出了一部分解题思路： 解：.·一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m,n, .∴.m+n= ,,∴.mn= _,∴m27+mn2= 请填空并将过程补充完整 (2)类比应用：一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为x=2,则m=一，另一个根 为x= 17 数学 九年级上册（人教版） (3)思维拓展：关于x的一元二次方程x+(2m+1)x+m2-2=0有两个实数根，且这两个实 数根的平方和是21，求m的值. 中考链接©真题演练 11.(2026·山东)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个根是10，则另一个根 是 12.(2025·湖北)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为1,2，下列结论正确的是 () A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x12=4 D.X比2=3 13.(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.(2025:攀枝花)已知a,b是方程x+2-3=0的两根，则1+1的值为 a b 15.（2026·南充)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k-2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)已知方程的两个实数根分别为1,2，且1=22，求k的值. ⑧