25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点总结 1.根与系数的关系（韦达定理） 定义1.1（韦达定理）.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△=b2-4ac≥0， 方程有两个实数根，，则两根之和：名+名=合丙根之积：名名后。 b 2.常用代数式变形（考试高频） ①x+x2=(x1+x22-2x1x2 ②(x1-x22=(x1+x22-4x1x2 +1=+2 ③ X1 X2 X1X2 ④(x1+1(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 3.重要前提条件使用韦达定理前，必须保证方程是一元二次方程(Q≠0)，并且 判别式△≥0，方程才有实数根，很多题目容易漏掉这个条件导致答案错误。 核心易错提示题目给出两根关系求参数，求出参数后，一定要带回检验△≥0。 基础题 知识点1运用根与系数的关系计算 1.(2026湖北中考改编)若方程x-6x+5=0两根为x1,2,下面结论正确的是() A.X1+X2=-6B.X1+X2=5 C.X1x2=6 D.X1X2=5 2.(教材变式)方程3x2+2=5x2-7x两根x1,x2的和是 3.2026广安+考政编已知方程-4x-21-0啊根是m,m水后+片的值为 4.(教材变式)已知x1,x2是方程x-4x+2=0两个实数根，求下列各式的值：(1) x(2+x,)+x:(2)(x1x尸；3)x+x + 知识点2运用根与系数的关系求参数的值 5.(武汉元调改编)方程x+kx-18=0有一根x=3,则另一根是， k的值为_ 6.若方程x+px+q=0两根为4和1，则p=口，q=口。 7.(2026绥化中考改编)方程x2+mx+2=0两根s,t,且(s+2)(t+2)=2026,求m的值 为 8.已知一元二次方程x-8x+3k-1=0有两个实数根x1,x2。 0求的取值我国；2若x-21x-21是3，求作值。 拔高题 9.小杨和小周解一元二次方程，小杨写错常数项，得到两根7和2；小周写错一次 项系数，得到两根-3和-6，原来方程是() A.x+9x+18=0 B.x2-9x+18=0 C.x2-5x+6=0 D.x2-9x-18=0 10.(2026泸州中考改编)方程3x2-8x-2=0两根α，β，则a2-3a-β的值为 11.方程x-(b2.4b-12)x+b=0两根互为相反数，则两根之积为 12.已知实数m,n满足m2-9m+1=0,n2-9n+1=0,且m≠n,求m2+n2=口。 13.已知方程x-(m-2)x+(m2+2m-8)=0两根互为倒数，求m的值。 14.定义：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一根是另一根的n 倍(n为正整数)，称为“n倍根方程”。 (1)判断方程3x2-7x+2=0是“倍根方程”： (2)若方程x+8x+p=0是“3倍根方程”，求p的值： (3)若方程x-tx+s=0是“n倍根方程”，求证： t2_(n+1)2 sn 参考答案与详细解析 1.D解析：1+X2=6,X1X2=5. 7 2.2解析：整理2x2-7x-2=0,x1+x2= 3.21解析：m+n=4,mn=-21,上+1-m+n=.4 4 mnmn21° 4.解：由1+x2=4,x1x2=2(1) X1(2+x2)+x2=2x1+x1X2+X2=2(x1+x2+X1X2=8+2=10;(2) (x1-x22=(x1+x2-4x1x2=16-8=8;(3) 飞+出_X+龙_x+x-2x_16=4=6。 X1 X2 X1X2 X1X2 2 5.-6,3解析：3·x2=-18→x2=-6;3+(-6)=-k→k=3。 6.p=3,9=-4解析：X1+X2=-3,X1X2=-4。 7.m=-2030解析：s+t=-m,st=2;(s+2)(t+2)=st+2(s+t)+4=2-2m+4=2026, 解得m=-2030。 8解：a4-8-413k-120,64-12k+40,k≤号：2 X1+x2=8,X1X2=3k-1(x1-2x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=3k-1-16+4=3k-13 3k-13=83,解得k=4(检验符合范国)。 9.B解析：一次项系数-(7+2)=-9，常数项(-3)×(-6)=18，方程x2-9x+18=0。 10.号解折：a+月-号3a=8a+2→-8a+2 82,代入化简c2-3a-B=号 11.~16解析：两根互为相反数，一次项系数等于0，b2-4b-12=0,解得b=6(舍 去)，b=-2,两根之积b=-2。 12.79解析：m,n是x2-9x+1=0两根，m+n=9,mn=1, m2+n2=(m+n)2-2mn=81-2=79。 13.解：两根互为倒数，则1x2=1,m2+2m-8=1,m2+2m-9=0,m=-1+10或 m=-1-V10,检验△≥0，两个均满足条件。 14.解：(1)解方程3x-7x+2=0,X1=2,x,=3,是6倍根方程； (2)设两根k,3k, k+3k=-8→k=-2,两根-2，-6，p=(-2)×(-6)=12:(3)证明：设两根k,nk, t-k+nk=k(n+1),s=k.nk=nk,2_k(n+1_(n+1 s nk2 n一，得证。