第二十六章《二次函数》单元测试A卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 新人教版九年级上册《二次函数》单元复习卷，知识覆盖全面，梯度设计合理，融合数学眼光、思维与语言，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|图象性质、解析式确定等|如第4题结合图象分析代数式符号，体现几何直观| |填空题|4/12|含参最值、交点问题等|如13题动态最值求解，考查运算能力| |解答题|7/56|实际应用、综合探究等|如20题拱桥模型、22题喷泉问题，培养模型意识与应用能力|

新人教版九年级上册第二十六章《二次函数》单元测试A卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是(    ) A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最大值 2.已知一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 3.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 4.已知二次函数的图象如图所示，则下列个代数式中：，，，，，中其值为正的式子有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是(    ) A. B. C. D. 6.如果某型号飞机降落后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为(    ) A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 7.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为，则右轮廓所在抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 8.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 9.函数，当时，此函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，两条抛物线，与分别经过点，且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 11.如图，在中，，为上一点，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为在点由点运动到点的过程中，是关于的二次函数，其图象如图所示，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 12.将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是(    ) A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为          ． 14.已知二次函数的图象经过两个不同的点，，则          ． 15.关于的二次函数与轴有公共点，则的取值范围是          ． 16.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现把这个方案中的抛物线形拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． 函数有最小值 函数，当时，随着的增大而增大 与的函数图象形状相同． 18.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点 求该抛物线的表达式 当时，直接写出的取值范围． 19.本小题分 阅读材料： 可以用如下方法求方程的实数根的范围：利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和之间． 参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间 若方程有一个根在和之间，求的取值范围． 20.本小题分 如图所示是抛物线型拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米． 请在图中画出合适的坐标系，并求出抛物线的解析式 当水面下降米时，水面宽度增加了多少米 21.本小题分 问题提出：当时，二次函数的最大值为          ． 问题探究已知二次函数是常数，的图象经过，两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值． 问题解决 某养殖户利用一段围墙围墙足够长为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值最大值是多少 22.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 素材 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉图中的阴影部分 素材 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，图是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米 问题解决 任务 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材求抛物线的函数解析式 任务 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值 任务 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议 23.本小题分 已知抛物线为常数的图象经过点和 求抛物线的表达式及对称轴 过点与轴平行的直线交抛物线于，两点点在点的左侧，且，求的值 将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值的最大值与最小值的和为，求的值 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版九年级上册第二十六章《二次函数》单元测试A卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是(    ) A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最大值 【答案】C  【解析】略 2.已知一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D  【解析】略 4.已知二次函数的图象如图所示，则下列个代数式中：，，，，，中其值为正的式子有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【解析】解：由图知：，，，， ， ，． 又，， 式子值为正的有：，，故选A． 5.若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 6.如果某型号飞机降落后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为(    ) A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A  【解析】， ， 当时，有最大值，此时飞机停下来， 该飞机着陆后滑行最长时间为秒故选A． 7.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为，则右轮廓所在抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 9.函数，当时，此函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 10.如图，两条抛物线，与分别经过点，且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】抛物线可以看作由抛物线向下平移个单位长度得到的， 如图，过抛物线的顶点作平行于轴的直线 与抛物线围成封闭图形， 过点作平行于轴的直线与抛物线围成封闭图形， 则这两个封闭图形的面积相等， 故所求阴影部分的面积为． 故选B． 11.如图，在中，，为上一点，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为在点由点运动到点的过程中，是关于的二次函数，其图象如图所示，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 12.将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是(    ) A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C  【解析】略 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 14.已知二次函数的图象经过两个不同的点，，则          ． 【答案】  【解析】略 15.关于的二次函数与轴有公共点，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】略 16.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现把这个方案中的抛物线形拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为          ． 【答案】  【解析】由题意得，抛物线的顶点， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入得， ， ． 令， 或， ， 矩形框架的周长． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． 函数有最小值 函数，当时，随着的增大而增大 与的函数图象形状相同． 【答案】(1)解:由题意,得2m-1>. ​​​​​​​m>;   (2)由题意,得m-2<. ​​​​​​​m<2;   (3)由题意,得|m+1|=2, ​​​​​​​m=1或-.   【解析】 略  略  略 18.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点 求该抛物线的表达式 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)解:抛物线经过点A(),B(), 解得 抛物线的表达式为y=-4x+.  (2)-1y<.  【解析】 略   由题意可知，抛物线开口向上，且对称轴是直线． 将代入函数表达式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大，令，，． 19.本小题分 阅读材料： 可以用如下方法求方程的实数根的范围：利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和之间． 参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间 若方程有一个根在和之间，求的取值范围． 【答案】(1)利用函数y=-2x-2的图象可知, 当x=2时,y<0,当x=3时,y>0, 所以方程的另一个根在2和3之间.   (2)函数y=2+8x+c的图象开口向上,对称轴为x=-2, 当x=-2时,y=c-8;当x=-1时,y=c-. 由题意,得解得6< c<.   【解析】 略  略 20.本小题分 如图所示是抛物线型拱桥，当拱顶离水面米时，水面宽米． 请在图中画出合适的坐标系，并求出抛物线的解析式 当水面下降米时，水面宽度增加了多少米 【答案】(1)图略;抛物线的解析式为y=-.  (2)(2-4)米.  【解析】 略  略 21.本小题分 问题提出：当时，二次函数的最大值为          ． 问题探究已知二次函数是常数，的图象经过，两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值． 问题解决 某养殖户利用一段围墙围墙足够长为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值最大值是多少 【答案】(1)3  (2)将点A(),C(4,-1)代入y=a+bx-1, 得解得 ​​​​​​​y=-+2x-1=-(x-2)+1. 顶点坐标为(2,1),且顶点始终在直线y=x-1上. 设平移后的抛物线为y=-+1-m. 令x=0,则y=-+1-m=--. ​​​​​​​当m=1时,y取最大值,最大值为-. 平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标的最大值为-.   (3)三块矩形区域的面积相等, =. AE=2BE. 设BE=FC=am, 则AE=HG=DF=2am. 根据题意,得8a+2x=80,则a=-x+10. -x+10>0,x<40.0< x<40. y=(-x+30)x=-+30x=-+300, 当x=20时,y有最大值,最大值是300.   【解析】 略  略  略 22.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 素材 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉图中的阴影部分 素材 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，图是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米 问题解决 任务 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材求抛物线的函数解析式 任务 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值 任务 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议 【答案】解：任务由题意，得，顶点为， 设抛物线的函数解析式为． 抛物线过，，解得． 抛物线的函数解析式为． 任务喷泉池的半径为米，令， 则． 喷水口升高的最小值为米． 任务将向上平移个单位长度， 得到． 令，即， 解得，舍去米 建议花卉的种植宽度为米   【解析】略 23.本小题分 已知抛物线为常数的图象经过点和 求抛物线的表达式及对称轴 过点与轴平行的直线交抛物线于，两点点在点的左侧，且，求的值 将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值的最大值与最小值的和为，求的值 【答案】(1)由题意可得： ， 解得：， 所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3， 对称轴为直线  (2)令y=0，则 x2+2x-3=0， 解得 x1=-3，x2=1， 所以抛物线与x轴的交点为（1，0）和（-3，0）． 因为过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， 所以B，C两点的纵坐标为t,即x2+2x-3=t, 解得， 所以， 因为AB=2AC，所以， 解得t=5或  (3)将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位长度，得到 y=（x+m）2+2（x+m）-3=x2+（2m+2）x+m2+2m-3． 新抛物线的对称轴为：x=-m-1＜-1，则当-1≤x≤1时，y随x的增大而增大， 当-1≤x≤1时，y的最大值为 ， y的最小值为 ， 因为y的最大值与最小值的和为12， 所以 m2+4m+m2-4=12， 解得m=2或m=-4（舍去）  【解析】解：由题意可得： ， 解得：， 所以抛物线的表达式为， 对称轴为直线； 令，则 ， 解得 ，， 所以抛物线与轴的交点为和． 因为过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， 所以，两点的纵坐标为，即， 解得， 所以， 因为，所以， 解得或． 将抛物线沿轴向左平移个单位长度，得到 ． 新抛物线的对称轴为：，则当时，随的增大而增大， 当时，的最大值为 ，  的最小值为 ， 因为的最大值与最小值的和为， 所以 ， 解得或舍去． 利用待定系数法求二次函数的解析式即可； 求出抛物线与轴的交点坐标，然后求出，的坐标，然后根据为列方程求出的值解答即可； 根据题已得到平移后的解析式，然后在得到最大值与最小值，根据题意列方程求出值即可． 本题主要考查二次函数的最值，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换，利用一般式求二次函数解析式；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $