第3章 第20讲 第1课时 利用导数研究不等式的恒(能)成立问题(高考超重点)(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

课时分层测评25　利用导数研究不等式的恒(能)成立问题

(时间：60分钟　满分：55分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

1.(10分)(2025·海南海口二模)已知函数f＝ex，a∈R，

(1)判断函数f的单调性；

(2)若f≤1，求实数a的取值范围.

解：(1)因为f＝ex，所以f'＝ex，

①若a＝0，则f'＝ex＞0，f是R上的增函数；

②若a＞0，则在上，f'＜0，f单调递减；在上，f'＞0，f单调递增；

③若a＜0，则在上，f'＞0，f单调递增；在上，f'＜0，f单调递减；

综上，当a＝0时，f的单调递增区间为R，无单调递减区间；

当a＞0时，f，单调递增区间是；

当a＜0时，f，单调递减区间是.

(2)若a≥0，则当x→＋∞时，f→＋∞，不符合题意；

若a＜0，则由(1)知，f＝f.

又由f≤1，则f(－)≤1，即－a≤1，令g(x)＝－x，x＜0，则g'(x)＝－－x·＝－(1＋，

令g'(x)＜0，得x＜－1，令g'(x)＞0，得－1＜x＜0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，所以g(x)≥g(－1)＝1，即g(a)≥1，又g(a)≤1，所以g(a)＝1，即a＝－1.

2.(13分)(多题同解)(1)(2025·山东济南模拟节选)已知函数f＝xln x－ax，若对任意x∈，f≤x2＋2恒成立，求实数a的取值范围.

(2)(2025·河北石家庄5月检测)若关于x的不等式x2x＞axln x在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)由任意x∈，f≤x2＋2知xln x≤x2＋ax＋2恒成立.

因为x＞0，故a≥ln x－x－在x∈上恒成立.

令h＝ln x－x－，则h'＝－1＋＝－.

令h'＝0，得x1＝2，x2＝－1(舍去)，

当x∈时，h'＞0，h单调递增，当x∈时，h'＜0，h单调递减，

故当x＝2时，h取得极大值，也是最大值，

且h＝h＝ln 2－3，

所以若a≥h在x∈上恒成立，

则a≥h＝ln 2－3，

故实数a的取值范围是.

(2)由x2x＞axln x，得e2xln x＞axln x在x∈(0，＋∞)上恒成立.

令t＝f(x)＝xln x，x＞0，则f'(x)＝ln x＋1，当0＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)在(0，)上单调递减；当x＞时，f'(x)＞0，f(x)在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝－，则t∈，所以e2t＞at在t∈上恒成立.当t＝0时，e2t＞at恒成立，则a∈R.

当t＞0时，由e2t＞at，得a＜；当－≤t＜0时，由e2t＞at，得a＞.