专题6：求解共点力平衡的十一种方法 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

必修一 第三章 相互作用 专题6：求解共点力平衡的十一种方法 共点力平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于高中整个物理学的力、电、磁等各部分内容的题目中，为了使学生能够根据具体的问题，采用合理的方法灵活、迅速地处理问题，现总结求解共点力平衡问题中常见的十一种方法。 名师点拨 题组训练 题组训练一：力的合成与分解法 多用于三个共点力作用下的平衡问题，一般将任意两个力合成，则该合力与第三个力等大反向，或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力，主要采用平行四边形定则或矢量三角形定则。 闭合矢量三角形定则：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形.把三个共点力转化为三角形的三条边，然后通过解这三角形求解平衡问题.如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。 【题组训练1】如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为，重力加速度为，AO的拉力和BO的拉力的大小分别是（　　） A． B． C． D． 【题组训练2】如图，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【题组训练3】生活中经常用刀来劈开物体。图中是刀刃的横截面，F是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为θ，θ越小，刀刃越锋利，对外界产生的推力FN就越大，已知刀的重力为G。则的表达式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【题组训练4】河南郑州突如其来的洪涝灾害造成路面塌陷、桥梁垮塌，一汽车行驶中不慎陷入泥潭，天无绝人之路，碰巧在车前方30 m处有一棵大树，如图甲所示，司机拿出后备箱里的绳索一端系在车上，一端系在树上，他在绳索中点垂直绳索施加F＝100 N的水平恒力，将绳索中点拉离原位置x＝30 cm，如图乙所示，结果就把车拉了出来。则车被拉出时绳索对车的拉力约为(θ角很小时，sin θ≈tan θ)(　　) A．500 N B．1000 N C．2500 N D．5000 N 题组训练二：正交分解法 多用于物体在三个以上共点力作用下的平衡问题。具体方法是将物体所受的各力分解到x轴上和y轴上，在两坐标轴上运用平衡条件Fx＝0、Fy＝0进行分析。需要注意的是：对x、y方向选择时，一般要尽可能使较多的力落在x轴、y轴上，被分解的力要尽可能是已知力，不宜分解待求力。 【题组训练5】如图，氢气球的质量，无风时在轻绳的牵引下静止在空中，此时轻绳的拉力为8N。当有水平风吹来时，气球受到大小为6N的水平风力作用，轻绳倾斜一定角度后气球仍静止在空中，，下列说法正确的是（　　） A．气球所受浮力大小为8N B．有风时，气球所受合力方向竖直向下 C．有风时，气球所受合力大小为 D．有风时，轻绳的拉力大小为10N 【题组训练6】如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是(　　) A．墙面受到的压力一定变小 B．斜面体受到的摩擦力一定变小 C．斜面体受到的摩擦力可能变大 D．斜面体可能沿墙面向上滑动 题组训练三：整体法和隔离法 1.理解：整体法就是把几个物体视为一个整体作为研究对象，受力分析时，只分析这一整体之外的物体对整体的作用力（外力），不考虑整体内部之间的相互作用力（内力）。 隔离法是指把要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析该研究对象以外的物体对该对象的作用力，不考虑研究对象对其他物体的作用力。 一般情况下 ,若所求问题是连接体内的作用力 ,应用“隔离法”。若不涉及连接体内的作用力 ,应优先“整体法”。 2.整体法与隔离法的应用技巧。 (1)不涉及物体间的内力时,优先考虑应用整体法即“能整体、不隔离”。 (2)应用“隔离法”时，优先隔高“简单”的物体：受力少、或处于边缘处的物体。 (3)分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。对一些较复杂的问题，通常交替使用整体法和隔离法。 【题组训练7】A、B两物体重力都等于10N，各接触面间的动摩擦因数都等于0.3，分别用水平外力F1＝2N和F2＝3N作用在A和B上，如图所示，A和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　） A．6N，3N B．1N，2N C．1N，3N D．6N，2N 【题组训练8】（多选）如图所示，A、B质量分别为mA和m，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则（　　）    A．A、B间无摩擦力作用 B．B受到的滑动摩擦力大小为（mA＋m）gsinθ C．B受到的静摩擦力大小为mAgsinθ D．取下A物体后，B物体仍能匀速下滑 【题组训练9】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为FN，杆对A环的摩擦力为Ff，则（　　） A．FN减小，Ff不变 B．FN减小，Ff增大 C．FN不变，Ff不变 D．FN不变，Ff增大 【题组训练10】如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大 B．当一定时，越大，轻杆受力越小 C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当一定时，越小，可施加的力越大 题组训练四：三力汇交原理 一个物体受到三个非平行力的作用而处于平衡状态，则这三个力的作用线或作用线延长线一定汇交于一点。说明如下： (1)物体处于平衡状态，物体不一定为质点. (2)物体受三力作用，这三个力不平行，但三个力的作用线或其延长线必然共点． (3)三个力的作用线所交的那一点可代替物体． 【题组训练11】如图所示，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球位置，记为C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为(　　) A．mg B.mg C.mg D.mg 【题组训练12】一根长2 m、重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒水平平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置，下列说法正确的是(　　) A．距离B端0.5 m处 B．距离B端0.75 m处 C．距离B端 m处 D．距离B端 m处 题组训练五：假设法 假设某条件或状态存在或者不存在，判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点。 这类问题主要反映在弹簧的弹力方向、摩擦力的方向具有不确定性时，需要假设法来讨论问题的结果。 【题组训练13】如图所示，轻质弹簧一端系在质量为的小物块上，另一端固定在墙上。物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角，斜面与小物块间的动摩擦因数，斜面固定不动。设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，（，，）下列说法正确是（　　） A．小物块可能受3个力 B．弹簧弹力可能为拉力 C．弹簧弹力大小可能等于5N D．斜面对地面的摩擦力可能为零 【题组训练14】(多选)如图所示，竖直平面内质量为m的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°，已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对此小球的作用力的大小可能为(　　) A．F B．F＋mg C．F－mg D．mg－F 【题组训练15】（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中(　　) A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 题组训练六：三角形图解法 (1)三角形图解法：利用矢量三角形法则，解决三力平衡问题，该方法适用于物体所受的三个力中，一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。图解法也常用于求极值问题。 (2)三角形图解法解题流程： 【题组训练16】如图所示，光滑小球夹于竖直墙和装有铰链的薄板OA之间，当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中，则（　　）    A．板对小球的支持力增大 B．墙对小球的弹力增大 C．墙对小球作用于力一定小于球的重力 D．板对小球的支持力一定不小于球的重力 【题组训练17】如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一个竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有（　　）    A．小球对斜劈的压力逐渐增大 B．轻绳对小球的拉力逐渐增大 C．竖直杆对小滑块的弹力逐渐减小 D．对小滑块施加的竖直向上的拉力不变 题组训练七 相似三角形法 相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且两个变力得夹角也发生变化，同时三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形，然后运用三角形相似列式分析。 【题组训练17】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往右放，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐增大，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力的大小变化情况是（　　） A．减小，F增大 B．，F都不变 C．F增大，不变 D．F，都减小 【题组训练18】如图所示，竖直放置的光滑圆环顶端D点固定一定滑轮（大小忽略），圆环两侧套着质量分别为、的两小球，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，、连线过圆心O点，且与右侧绳的夹角为。则、两小球的质量之比为（　　） A． B． C． D．1 【题组训练19】（多选）光滑半圆弧形轻杆固定在地面上，轻绳一端跨过定滑轮，另一端连接一穿在轻杆上的小球，拉动轻绳，使小球从A点缓慢运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻杆对小球的支持力变小 B．轻杆对小球的支持力不变 C．轻绳对小球的拉力变小 D．轻绳对小球的拉力先变小再变大 题组训练八：正弦定理法（拉密定理） 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 【题组训练20】如图所示，两小球A、B固定在一轻质细杆的两端，其质量分别为和，将其放入光滑的半圆形碗中，当细杆保持静止时，圆的半径OA、OB与竖直方向夹角分别为30°和45°，则和的比值为(　　) A．∶1 B．∶1 C．2∶1 D．∶1 【题组训练21】《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在的高压线上带电作业的过程，如图所示，绝缘轻绳一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮D上，另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制，身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处，绳一直处于伸直状态。兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g。从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．绳的拉力一直变小 B．绳的拉力一直变大 C．绳、拉力的合力大于 D．绳与竖直方向的夹角为时，绳的拉力为 题组训练九：辅助圆法 1.辅助圆法适用的情况：（1）物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力间的夹角不变。 （2）物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，若开始时另两个力的夹角为90°，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，这种类型的问题也可以用辅助圆法。 2.方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作圆，在辅助圆中可画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况.第二种情况以大小不变、方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助圆中可画出一个大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。 【题组训练22】（多选）如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b。若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小。则(　　) A．斜面对a的弹力变大 B．斜面对a的弹力先变大后变小 C．b对a的弹力逐渐变小 D．b对a的弹力不变 【题组训练23】如图所示，质量为M的物体用轻绳悬挂于O点，开始时轻绳水平，两绳之间的夹角，现将两绳同时顺时针缓慢转过，且保持O点及夹角不变，物体始终保持静止状态。在旋转过程中，设绳的拉力为，绳的拉力为，则下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大，最终等于 B．先减小后增大 C．逐渐减小，最终等于零 D．先增大后减小 题组训练十：解析法 （1）解析法：:列平衡方程根据函数关系，适合三个力及以上建立坐标系，将各力分解为分量，列写平衡方程（Fx=0、Fy=0），结合几何关系（如角度变化）分析力随变量的变化规律。 （2）方法：正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，找到所设角度的三角函数关系. 当受力动态变化时，控制好不变量，结合三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。 【题组训练24】如图甲所示为一直角斜槽，斜槽的棱MN与水平面的夹角为θ，两槽面关于竖直面对称。图乙是斜槽的截面图，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑。若两槽面的材料相同，则物块和槽面之间的动摩擦因数为(　　) A.tan θ B.tan θ C.tan θ D.tan θ 【题组训练25】质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 题组训练十一：结论法---解决挂衣服类模型 （1）如图所示，绳上套的是光滑轻环（滑轮），在绳上形成“活结”，绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变。 （2）当绳总长度l不变时，sin θ3＝，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化; 若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ3不变，若两杆距离d减小，则θ3减小，2FTcos θ3＝mg，FT＝也减小． （3）规律：上下移力不变，左右移绳长变（夹角变）竖小平大. 【题组训练26】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　) A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大 C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移 【题组训练27】（多选）抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵．如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A．左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B．左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C．在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D．在同一水平面内，两手之间距离越小，绳子拉力越小 精选精练 自我检测 一、单选题 1.如图，一固定斜面上两个小物块A和B紧挨着匀速下滑，A与B的接触面光滑。B的质量是A的质量的2倍，B与斜面之间的动摩擦因数是A与斜面之间动摩擦因数的，斜面倾角为。A与斜面之间的动摩擦因数是（　　） A． B． C． D． 2.如图所示，重力均为G的两个小球A、B通过长度为L的轻绳拴接后，小球A再通过另一根长度也为L的轻绳拴接在天花板的O点，给小球B施加一个水平向右的拉力F，系统静止稳定后，小球A与天花板O点之间的轻绳与竖直方向的夹角为，小球A、B之间的轻绳与竖直方向的夹角为，则下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3.如图所示，竖直墙上连有细绳AB，轻弹簧的一端与B相连，另一端固定在墙上的C点.细绳BD与弹簧拴接在B点，现给BD一水平向左的拉力F，使弹簧处于伸长状态，且AB、CB与墙的夹角均为45°.若保持B点不动，将BD绳绕B点沿顺时针方向缓慢转动，则在转动过程中BD绳的拉力F的变化情况是(　　) A.变小 B.变大 C.先变小后变大 D.先变大后变小 4.如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　) A.F1逐渐增大 B.F1先增大后减小 C.F2先增大后减小 D.F2先减小后增大 5.如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为半圆环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的最低点H点，拉小圆环使其缓慢地运动到N点。滑轮大小可以忽略，则下列说法正确的是(　　) A.轻绳的拉力逐渐增大 B.半圆环受到的压力逐渐减小 C.轻绳的拉力逐渐减小 D.半圆环受到的压力逐渐增大 6.用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图4所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　) 图4 A.F1＝mg，F2＝mg 　 B.F1＝mg，F2＝mg C.F1＝mg，F2＝mg 　 D.F1＝mg，F2＝mg 7.一台空调外机用两个三脚架固定在外墙上，如图所示，空调外机的重心在支架水平横梁AO和斜梁BO连接点O的上方，横梁对O点的拉力沿OA方向、大小为F1，斜梁对O点的支持力沿BO方向、大小为F2。如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，则(　　) A．F1增大 B．F1减小 C．F2不变 D．F2增大 8.如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为(　 ) A.Mg B.Mg C.Mg D．Mg 9.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是（　　） A．F减小，N不变 B．F减小，N减小 C．F不变，N增大 D．F不变，N减小 10.如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中(　　) A．轻绳AB上的拉力先减小后增大 B．轻绳BC上的拉力先增大后减小 C．斜杆对A的支持力一直在减小 D．斜杆对A的摩擦力一直在减小 11.如图所示，轻质不可伸长细绳一端固定在竖直杆M上的a点，悬挂小球的挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果一个小孩拉住绳的另一端b移动，当小球再次静止时，下列说法正确的是（　　） A．将b点稍微向上移动，绳子拉力大小不变 B．将b点稍微向下移动，绳子拉力大小变小 C．将b点稍微向右移动，绳子拉力大小不变 D．将b点稍微向左移动，绳子拉力大小变大 12.如图，一粗糙斜面固定在地面上，一细绳一端悬挂小球P，另一端跨过斜面顶端的光滑定滑轮与物体Q相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力F缓慢拉动P至细绳与竖直方向成角，Q始终静止。设Q所受的摩擦力大小为f，在这一过程中（　　） A．F一定增大、f一定增大 B．F可能不变、f可能减小 C．F一定增大、f可能先减小后增大 D．F、f均不变化 二、多选题 13.重力为和的物体、叠放在水平地面上，如图所示。、间接触面光滑，水平推力作用在上，沿斜面匀速上升，始终静止。若的斜面倾角为，则（　　）    A． B． C．地面对的支持力大于 D．地面对的摩擦力大小为 14.如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F1、CB绳的拉力F2的大小变化情况是(　　) A.F1先变小后变大 B.F1先变大后变小 C.F2一直变小 D.F2最终变为零 15.明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　) A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大 C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 16.两物体A、B按如图所示连接且处于静止状态，现在给B施加一个水平力F，使B缓慢移动，物体A始终静止在地面上，则此过程中有（　　） A．物体A对地面的压力逐渐变大 B．物体A受到的摩擦力变大 C．绳的拉力逐渐变大 D．地面对A的作用力保持不变 17.如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　) A.绳OO′的张力也在一定范围内变化 B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化 C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化 D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 三、计算题 18.如图所示，质量为的滑块静置于一粗糙的斜面上，现用一平行于斜面的力推滑块，使滑块沿斜面向上匀速运动，已知斜面体质量为，且始终静止，取，求： （1）斜面对滑块的摩擦力； （2）地面对斜面体的摩擦力和支持力。    19.小明学习了共点力及共点力作用下物体平衡的条件后，对生活中的一些平衡现象产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究并获取相关数据，请你协助小明完成以下两个任务： （1）竖直墙上用一根细绳（轻质）悬挂了一幅相框（如图），经测量：两挂钉之间的细绳长度为70cm，两个挂钉间距离为42cm，相框的重10N，计算出细绳上的张力大小为多少； （2）长度为2R的筷子AB放入半径为R的半球形空汤碗中恰处于静止状态，测得筷子在碗内的长度为1.6R，计算出这根筷子的重心到A端的距离（筷子与汤碗之间的摩擦不计）。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修一 第三章 相互作用 专题6：求解共点力平衡的十一种方法 共点力平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于高中整个物理学的力、电、磁等各部分内容的题目中，为了使学生能够根据具体的问题，采用合理的方法灵活、迅速地处理问题，现总结求解共点力平衡问题中常见的十一种方法。 名师点拨 题组训练 题组训练一：力的合成与分解法 多用于三个共点力作用下的平衡问题，一般将任意两个力合成，则该合力与第三个力等大反向，或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力，主要采用平行四边形定则或矢量三角形定则。 闭合矢量三角形定则：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形.把三个共点力转化为三角形的三条边，然后通过解这三角形求解平衡问题.如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。 【题组训练1】如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为，重力加速度为，AO的拉力和BO的拉力的大小分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以结点为研究对象，分析受力情况：三根细线的拉力，重物对O点的拉力等于。根据平衡条件得知，与的合力与大小相等、方向相反，作出力的合成图如图： 则有， 故选B。 【题组训练2】如图，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】B 【解析】设绳子中点处的拉力大小为T，绳子两端点处的拉力大小均为T′，对绳子中点受力分析，由平衡条件可知2T cos α＝Mg，对绳子和物体整体受力分析，由平衡条件可知2T′cos β＝mg＋Mg，用微元法，对绳子任意一端到中点间的每一点受力分析，由平衡条件及牛顿第三定律可得，水平方向上有T′sin β＝T sin α，三式联立解得＝，故B正确。 【题组训练3】生活中经常用刀来劈开物体。图中是刀刃的横截面，F是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为θ，θ越小，刀刃越锋利，对外界产生的推力FN就越大，已知刀的重力为G。则的表达式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】受力分析如图所示    根据几何关系可得 ，解得 故选B。 【题组训练4】河南郑州突如其来的洪涝灾害造成路面塌陷、桥梁垮塌，一汽车行驶中不慎陷入泥潭，天无绝人之路，碰巧在车前方30 m处有一棵大树，如图甲所示，司机拿出后备箱里的绳索一端系在车上，一端系在树上，他在绳索中点垂直绳索施加F＝100 N的水平恒力，将绳索中点拉离原位置x＝30 cm，如图乙所示，结果就把车拉了出来。则车被拉出时绳索对车的拉力约为(θ角很小时，sin θ≈tan θ)(　　) A．500 N B．1000 N C．2500 N D．5000 N 【答案】C 【解析】如图所示，将作用在绳索中点垂直绳索的水平恒力F分解为沿AO方向的拉力F1和沿BO方向的拉力F2，由几何关系，可知F1＝F2，则有＝F2sin θ， 由于x≪d，θ角很小，则sin θ≈tan θ，因此F2＝，又tan θ＝＝， 代入数据解得F2＝2500 N，故选C。 题组训练二：正交分解法 多用于物体在三个以上共点力作用下的平衡问题。具体方法是将物体所受的各力分解到x轴上和y轴上，在两坐标轴上运用平衡条件Fx＝0、Fy＝0进行分析。需要注意的是：对x、y方向选择时，一般要尽可能使较多的力落在x轴、y轴上，被分解的力要尽可能是已知力，不宜分解待求力。 【题组训练5】如图，氢气球的质量，无风时在轻绳的牵引下静止在空中，此时轻绳的拉力为8N。当有水平风吹来时，气球受到大小为6N的水平风力作用，轻绳倾斜一定角度后气球仍静止在空中，，下列说法正确的是（　　） A．气球所受浮力大小为8N B．有风时，气球所受合力方向竖直向下 C．有风时，气球所受合力大小为 D．有风时，轻绳的拉力大小为10N 【答案】D 【解析】A．无风时，对气球受力分析得 故A错误；BC．有风时，气球保持静止，故合力为零，故BC错误；D．有风时，对气球受力分析得 ， 联立解得 故D正确。故选D。 【题组训练6】如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是(　　) A．墙面受到的压力一定变小 B．斜面体受到的摩擦力一定变小 C．斜面体受到的摩擦力可能变大 D．斜面体可能沿墙面向上滑动 【答案】B 【解析】以斜面体为研究对象，受力分析如图所示，图甲中N1＝F cos θ，f1＝mg＋F sin θ≤fm， 图乙中N2＝F cos θ，即墙面受到的压力不变，所以fm不变。 若F sin θ＝mg，则f2＝0，斜面体静止； 若F sin θ＞mg，则f2方向向下且f2＝F sin θ－mg，斜面体静止； 若F sin θ＜mg，则f2方向向上且f2＝mg－F sin θ，斜面体静止； 所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B正确，A、C、D错误。 题组训练三：整体法和隔离法 1.理解：整体法就是把几个物体视为一个整体作为研究对象，受力分析时，只分析这一整体之外的物体对整体的作用力（外力），不考虑整体内部之间的相互作用力（内力）。 隔离法是指把要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析该研究对象以外的物体对该对象的作用力，不考虑研究对象对其他物体的作用力。 一般情况下 ,若所求问题是连接体内的作用力 ,应用“隔离法”。若不涉及连接体内的作用力 ,应优先“整体法”。 2.整体法与隔离法的应用技巧。 (1)不涉及物体间的内力时,优先考虑应用整体法即“能整体、不隔离”。 (2)应用“隔离法”时，优先隔高“简单”的物体：受力少、或处于边缘处的物体。 (3)分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。对一些较复杂的问题，通常交替使用整体法和隔离法。 【题组训练7】A、B两物体重力都等于10N，各接触面间的动摩擦因数都等于0.3，分别用水平外力F1＝2N和F2＝3N作用在A和B上，如图所示，A和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　） A．6N，3N B．1N，2N C．1N，3N D．6N，2N 【答案】B 【解析】设地面对B的摩擦力为，B对A的摩擦力为，A、B均静止，应用整体法，即A、B整体水平方向所受合外力为零，根据平衡条件有，可求得 故地面对B摩擦力大小1N，方向与F2相反。以A为研究对象，水平方向所受合外力为零，有 即B对A的摩擦力大小为3N，方向与F1相反。 故选B。 【题组训练8】（多选）如图所示，A、B质量分别为mA和m，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则（　　）    A．A、B间无摩擦力作用 B．B受到的滑动摩擦力大小为（mA＋m）gsinθ C．B受到的静摩擦力大小为mAgsinθ D．取下A物体后，B物体仍能匀速下滑 【答案】BCD 【解析】A．对A分析有，因此A、B间有静摩擦力的作用。A错误； B．对AB整体分析有，，B正确； C．A给B的摩擦力为静摩擦力，大小为mAgsinθ，C正确； D．取走物体A后，物体B有，物体B仍能做匀速直线运动，D正确。 故选BCD。 【题组训练9】如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为FN，杆对A环的摩擦力为Ff，则（　　） A．FN减小，Ff不变 B．FN减小，Ff增大 C．FN不变，Ff不变 D．FN不变，Ff增大 【答案】D 【解析】对A、B和书本整体分析，根据平衡条件以及对称性可知， 设两细绳的夹角为2θ，对A单独分析，根据平衡条件可得， 将两环距离变大后，FN不变，θ增大，Ff增大。 故选D。 【题组训练10】如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大 B．当一定时，越大，轻杆受力越小 C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当一定时，越小，可施加的力越大 【答案】B 【解析】A．以A、B两滑块和两轻杆为整体，根据受力平衡可得，解得 当一定时，地面对滑块的支持力保持不变，可知滑块对地面的压力保持不变，A错误；B．以杆与杆间连接点为对象，根据受力平衡可得，解得 可知当一定时，越大，越大，轻杆受力越小，B正确；C．对A分析，受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有 可知滑块与地面间的摩擦力与无关， C错误；D．根据整体法可得 可知越小，地面对滑块的支持力越小，地面对滑块的最大静摩擦力越小，根据 可知当一定时，可施加的力越小，D错误；故选B。 题组训练四：三力汇交原理 一个物体受到三个非平行力的作用而处于平衡状态，则这三个力的作用线或作用线延长线一定汇交于一点。说明如下： (1)物体处于平衡状态，物体不一定为质点. (2)物体受三力作用，这三个力不平行，但三个力的作用线或其延长线必然共点． (3)三个力的作用线所交的那一点可代替物体． 【题组训练11】如图所示，轻质细杆AB上穿有一个质量为m的小球位置，记为C，将杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面成30°角，则左侧斜面对杆AB支持力的大小为(　　) A．mg B.mg C.mg D.mg 【答案】D 【解析】对轻杆和小球组成的系统进行受力分析，如图，设左侧斜面对杆AB支持力的大小为NA，由平衡条件有NA＝mgcos 30°＝mg，故选B。 【题组训练12】一根长2 m、重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒水平平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置，下列说法正确的是(　　) A．距离B端0.5 m处 B．距离B端0.75 m处 C．距离B端 m处 D．距离B端 m处 【答案】A 【解析】当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点。把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示。由几何知识可知：BO＝AB＝1 m，BC＝BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处。A正确。 题组训练五：假设法 假设某条件或状态存在或者不存在，判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点。 这类问题主要反映在弹簧的弹力方向、摩擦力的方向具有不确定性时，需要假设法来讨论问题的结果。 【题组训练13】如图所示，轻质弹簧一端系在质量为的小物块上，另一端固定在墙上。物块在斜面上静止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角，斜面与小物块间的动摩擦因数，斜面固定不动。设物块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，（，，）下列说法正确是（　　） A．小物块可能受3个力 B．弹簧弹力可能为拉力 C．弹簧弹力大小可能等于5N D．斜面对地面的摩擦力可能为零 【答案】C 【解析】AB．根据题意可知，故 若不受弹簧的压力，则木块不可能静止，故物块一定受弹簧的压力，还受重力、斜面支持力和静摩擦力，四个力的作用而平衡，AB错误； BC．若要物块静止，沿斜面方向有解得弹簧弹力大小可能等于5N，C正确； D．斜面在物块的压力作用下有向右运动的趋势，受到地面水平向左的静摩擦力作用，即斜面对地面的摩擦力不可能为零，D错误。故选C。 【题组训练14】(多选)如图所示，竖直平面内质量为m的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°，已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对此小球的作用力的大小可能为(　　) A．F B．F＋mg C．F－mg D．mg－F 【答案】ABCD 【解析】假设三个弹簧中有a、b两弹簧伸长而c弹簧缩短，则此时小球的受力情况是：a和b两弹簧的拉力F、c弹簧的支持力Fc、小球自身的重力mg，如图甲所示。由共点力的平衡条件可得：2F cos 60°＋Fc－mg＝0，则Fc＝mg－F，故D正确。因为题中并未给定mg与F的大小关系，故可能有mg＝2F，则Fc＝mg－F＝2F－F＝F，故A正确。 假设a、b、c三个弹簧均是压缩的，此时小球的受力情况如图乙所示。小球的受力情况是：自身重力mg、a和b两弹簧斜向下方的弹力F、c弹簧竖直向上的弹力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得：2F cos 60°＋mg－Fc＝0，则Fc＝F＋mg，故B正确。 假设a、b、c三个弹簧均是伸长的，此时小球的受力情况如图丙所示。小球的受力情况是：自身的重力mg、a和b两弹簧斜向上方的拉力F、c弹簧向下的拉力Fc，对小球由共点力的平衡条件可得：2F cos 60°－mg－Fc＝0，所以Fc＝F－mg，故C正确。 【题组训练15】（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中(　　) A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【解析】选N为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F缓慢拉动N的过程中，水平拉力F逐渐增大，细绳的拉力FT逐渐增大，选项A错误，B正确； 对M受力分析，如图乙所示，受重力GM、支持力FN、绳的拉力FT以及斜面对它的摩擦力Ff。 若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向上，则FT＋Ff＝GMsin θ，FT逐渐增大，Ff逐渐减小，当Ff减小到零后，再反向增大。 若开始时斜面对M的摩擦力Ff沿斜面向下，此时，FT＝GMsin θ＋Ff，当FT逐渐增大时，Ff逐渐增大，C错误，D正确。 用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 题组训练六：三角形图解法 (1)三角形图解法：利用矢量三角形法则，解决三力平衡问题，该方法适用于物体所受的三个力中，一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。图解法也常用于求极值问题。 (2)三角形图解法解题流程： 【题组训练16】如图所示，光滑小球夹于竖直墙和装有铰链的薄板OA之间，当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中，则（　　）    A．板对小球的支持力增大 B．墙对小球的弹力增大 C．墙对小球作用于力一定小于球的重力 D．板对小球的支持力一定不小于球的重力 【答案】D 【解析】AB．以小球为研究对象，受重力、墙壁支持力和挡板支持力，球处于平衡状态，合力为零，如图    由图可知，墙壁对球的弹力F2逐渐减小，挡板对球的支持力F1逐渐减小，故AB错误； CD．由上图可以看出当薄板和墙之间的夹角α逐渐增大到90°的过程中，所以板对小球的支持力一定不小于球的重力；F2可能比重力大，可能比重力小。故C错误，D正确。 故选D。 【题组训练17】如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一个竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有（　　）    A．小球对斜劈的压力逐渐增大 B．轻绳对小球的拉力逐渐增大 C．竖直杆对小滑块的弹力逐渐减小 D．对小滑块施加的竖直向上的拉力不变 【答案】BC 【解析】AB．小球分析，小球受重力、斜面支持力与轻绳弹力，作出其动态受力分析图，如图所示    可知，小滑块沿杆缓慢上升过程，轻绳对小球的拉力逐渐增大，斜面对小球的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，小球对斜劈的压力逐渐减小，A错误，B正确； CD．令斜面倾角为θ，斜面对小球弹力为N1，杆对滑块弹力为N2，对小球与滑块整体分析有 ， 根据上述，N1减小，可知竖直杆对小滑块的弹力N2逐渐减小，对小滑块施加的竖直向上的拉力F增大，C正确，D错误。 故选BC。 题组训练七 相似三角形法 相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且两个变力得夹角也发生变化，同时三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形，然后运用三角形相似列式分析。 【题组训练17】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往右放，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐增大，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力的大小变化情况是（　　） A．减小，F增大 B．，F都不变 C．F增大，不变 D．F，都减小 【答案】C 【解析】受力分析如图所示： 将细绳缓慢往右放的过程中三个力的合力始终为零，将与合成，其合力与等值反向。 将三个力矢量构成封闭的三角形（如图中画阴影部分），力的三角形与几何三角形相似，设高为，长为，绳长为l，利用相似三角形对应边成比例可得，式中均不变，逐渐增大，所以可知不变，逐渐增大。 故选C。 【题组训练18】如图所示，竖直放置的光滑圆环顶端D点固定一定滑轮（大小忽略），圆环两侧套着质量分别为、的两小球，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，、连线过圆心O点，且与右侧绳的夹角为。则、两小球的质量之比为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】设和所在部分的绳长分别为和，绳子拉力为F，受力分析图如下 则根据三力平衡知识和相似性得， 联立可求得 故选B。 【题组训练19】（多选）光滑半圆弧形轻杆固定在地面上，轻绳一端跨过定滑轮，另一端连接一穿在轻杆上的小球，拉动轻绳，使小球从A点缓慢运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．轻杆对小球的支持力变小 B．轻杆对小球的支持力不变 C．轻绳对小球的拉力变小 D．轻绳对小球的拉力先变小再变大 【答案】BC 【解析】小球受力如图所示 小球缓慢运动，则小球所受的合力为0，由力的矢量三角形与△DCM相似可得 解得轻杆对小球的支持力为轻绳对小球的拉力为小球从A点缓慢运动到B点的过程中，MC和DC不变，DM逐渐减小，故轻杆对小球的支持力N不变，轻绳对小球的拉力F变小，故选BC 题组训练八：正弦定理法（拉密定理） 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 【题组训练20】如图所示，两小球A、B固定在一轻质细杆的两端，其质量分别为和，将其放入光滑的半圆形碗中，当细杆保持静止时，圆的半径OA、OB与竖直方向夹角分别为30°和45°，则和的比值为(　　) A．∶1 B．∶1 C．2∶1 D．∶1 【答案】A 【解析】由于轻杆受两个球的弹力而平衡，故根据牛顿第三定律，杆对两球的弹力等大、反向，设大小为F，对两个球分别受力分析，如图所示： 根据平衡条件并结合正弦定理，有：，，联立解得：，故A正确，BCD错误． 【题组训练21】《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在的高压线上带电作业的过程，如图所示，绝缘轻绳一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮D上，另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制，身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处，绳一直处于伸直状态。兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小为g。从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．绳的拉力一直变小 B．绳的拉力一直变大 C．绳、拉力的合力大于 D．绳与竖直方向的夹角为时，绳的拉力为 【答案】D 【解析】AB．对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示      绳OD的拉力为F1，与竖直方向的夹角为，绳CD的拉力为F2，与竖直方向的夹角为，根据几何关系知 由正弦定理可得，增大，减小，则拉力F1增大，拉力F2减小，故AB错误； C．王进处于平衡状态，两绳拉力的合力等于mg，故C错误； D．当时，，则，解得：，故D正确。 故选D 题组训练九：辅助圆法 1.辅助圆法适用的情况：（1）物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力间的夹角不变。 （2）物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，若开始时另两个力的夹角为90°，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，这种类型的问题也可以用辅助圆法。 2.方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作圆，在辅助圆中可画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况.第二种情况以大小不变、方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助圆中可画出一个大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。 【题组训练22】（多选）如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b。若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小。则(　　) A．斜面对a的弹力变大 B．斜面对a的弹力先变大后变小 C．b对a的弹力逐渐变小 D．b对a的弹力不变 【答案】AC 【解析】对a进行受力分析，如图甲所示 　 根据平衡条件，斜面对a的弹力F1、b对a弹力F2的合力与a的重力等大反向，则在倾角逐渐减小过程中，斜面对a的弹力F1和b对a弹力F2的变化过程如图乙所示，根据三角形法分析可得，斜面对a的弹力F1变大，b对a的弹力F2逐渐变小，选项A、C正确。 【题组训练23】如图所示，质量为M的物体用轻绳悬挂于O点，开始时轻绳水平，两绳之间的夹角，现将两绳同时顺时针缓慢转过，且保持O点及夹角不变，物体始终保持静止状态。在旋转过程中，设绳的拉力为，绳的拉力为，则下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大，最终等于 B．先减小后增大 C．逐渐减小，最终等于零 D．先增大后减小 【答案】C 【解析】AB．结点O受三个力作用处于平衡状态，和夹角始终不变。作该矢量三角形的外接圆，如图所示，矢量箭头将始终落在圆周上，由图可知，顺时针转过，先增大后减小，最终等于，AB错误； CD．初始时刻，恰好为其外接圆的直径，故逐渐减小，当绳转过处于竖直位置时，C正确，D错误。 故选C。 题组训练十：解析法 （1）解析法：:列平衡方程根据函数关系，适合三个力及以上建立坐标系，将各力分解为分量，列写平衡方程（Fx=0、Fy=0），结合几何关系（如角度变化）分析力随变量的变化规律。 （2）方法：正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，找到所设角度的三角函数关系. 当受力动态变化时，控制好不变量，结合三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。 【题组训练24】如图甲所示为一直角斜槽，斜槽的棱MN与水平面的夹角为θ，两槽面关于竖直面对称。图乙是斜槽的截面图，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑。若两槽面的材料相同，则物块和槽面之间的动摩擦因数为(　　) A.tan θ B.tan θ C.tan θ D.tan θ 【答案】B 【解析】对物块受力分析，如图所示，在垂直于斜槽的平面内，有2FNcos 45°＝mgcos θ， 在物块下滑方向，有2Ff＝mgsin θ， 其中Ff＝μFN，联立解得μ＝tan θ，B正确。 　　 【题组训练25】质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是(　　) A．推力F先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【解析】对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力FN始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mgcos α、FN＝mgsin α，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力FN一直减小，A、B错误； 对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得， 墙面对凹槽的压力大小FN1＝Fsin α＝mgsin 2α，水平地面对凹槽的支持力FN2＝Mg＋mg－Fcos α， 在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由逐渐减小到零， 根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。 　 甲　　 乙 题组训练十一：结论法---解决挂衣服类模型 （1）如图所示，绳上套的是光滑轻环（滑轮），在绳上形成“活结”，绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变。 （2）当绳总长度l不变时，sin θ3＝，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化; 若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ3不变，若两杆距离d减小，则θ3减小，2FTcos θ3＝mg，FT＝也减小． （3）规律：上下移力不变，左右移绳长变（夹角变）竖小平大. 【题组训练26】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　) A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大 C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移 【答案】AB 【解析】设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α＝mg，所以F＝， 设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝， 绳子右端上移，L、s都不变，α不变，绳子张力F也不变，A正确； 杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确； 绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误； 衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。 【题组训练27】（多选）抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵．如图所示是表演抖空竹时的动作，假设空竹是光滑的，不考虑空竹的转动，某时刻表演者两手水平，则表演者在缓慢完成以下动作时，下列说法正确的是（　　） A．左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，绳子拉力大小不变 B．左手不动，右手水平向左移动一小段距离，绳子拉力大小变大 C．在同一水平面内，两手之间距离越大，绳子拉力越小 D．在同一水平面内，两手之间距离越小，绳子拉力越小 【答案】AD 【解析】两手水平时，对空竹受力分析如图所示，根据对称性，两绳与竖直方向夹角相等，设两只手在水平方向距离L，绳长为x，则有 ，此时根据平衡条件 。 A若左手不动，右手竖直向上移动一小段距离，两只手之间的距离L保持不变，则θ不变，F不变，A正确； B．若左手不动，右手水平向左移动一小段距离，两只手之间的距离减小，则θ变小，F变小，B错误；CD．在同一水平面内，两手之间的距离越大，θ越大，F越大，两手之间的距离越小，θ越小，F越小，C错误，D正确。故选AD。 精选精练 自我检测 一、单选题 1.如图，一固定斜面上两个小物块A和B紧挨着匀速下滑，A与B的接触面光滑。B的质量是A的质量的2倍，B与斜面之间的动摩擦因数是A与斜面之间动摩擦因数的，斜面倾角为。A与斜面之间的动摩擦因数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A、B整体由平衡条件有，所以，故选A。 2.如图所示，重力均为G的两个小球A、B通过长度为L的轻绳拴接后，小球A再通过另一根长度也为L的轻绳拴接在天花板的O点，给小球B施加一个水平向右的拉力F，系统静止稳定后，小球A与天花板O点之间的轻绳与竖直方向的夹角为，小球A、B之间的轻绳与竖直方向的夹角为，则下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对小球B受力分析可得， 对A、B整体受力分析有， 联立解得，ABC错误，D正确。故选D。 3.如图所示，竖直墙上连有细绳AB，轻弹簧的一端与B相连，另一端固定在墙上的C点.细绳BD与弹簧拴接在B点，现给BD一水平向左的拉力F，使弹簧处于伸长状态，且AB、CB与墙的夹角均为45°.若保持B点不动，将BD绳绕B点沿顺时针方向缓慢转动，则在转动过程中BD绳的拉力F的变化情况是(　　) A.变小 B.变大 C.先变小后变大 D.先变大后变小 【答案】A 【解析】要保持B点的位置不变，BD绳顺时针转动的角度最大为45°，由于B点的位置不变，因此弹簧的弹力不变，由图解可知，AB绳的拉力减小，BD绳的拉力也减小，故A正确，B、C、D错误. 4.如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是(　　) A.F1逐渐增大 B.F1先增大后减小 C.F2先增大后减小 D.F2先减小后增大 【答案】A 【解析】对结点O受力分析，并合成三角形如图所示，根据图示可知顺时针转动前(实线)到转动后(虚线)过程中，F1一直增大，F2一直减小，A正确，B、C、D错误。 5.如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为半圆环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮。开始小圆环处在半圆环的最低点H点，拉小圆环使其缓慢地运动到N点。滑轮大小可以忽略，则下列说法正确的是(　　) A.轻绳的拉力逐渐增大 B.半圆环受到的压力逐渐减小 C.轻绳的拉力逐渐减小 D.半圆环受到的压力逐渐增大 【答案】C 【解析】小圆环沿半圆环缓慢上移过程中，受重力G、拉力FT、弹力FN三个力处于平衡状态，受力分析如图所示。由图可知△OMN与△NBA相似，则有＝＝(式中R为半圆环的半径)，在小圆环缓慢上移的过程中，半径R不变，MN的长度逐渐减小，故轻绳的拉力FT逐渐减小，小圆环所受的支持力的大小不变，由牛顿第三定律得半圆环所受的压力的大小不变，A、B、D错误. 6.用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图4所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　) 图4 A.F1＝mg，F2＝mg 　 B.F1＝mg，F2＝mg C.F1＝mg，F2＝mg 　 D.F1＝mg，F2＝mg 【答案】D 【解析】卡车匀速行驶，圆筒受力平衡，对圆筒受力分析，如图所示。由题意知， 力F1′与F2′相互垂直。 由牛顿第三定律知F1＝F1′，F2＝F2′， 则F1＝mgsin 60°＝mg，F2＝mgsin 30°＝mg，选项D正确。 7.一台空调外机用两个三脚架固定在外墙上，如图所示，空调外机的重心在支架水平横梁AO和斜梁BO连接点O的上方，横梁对O点的拉力沿OA方向、大小为F1，斜梁对O点的支持力沿BO方向、大小为F2。如果把斜梁加长一点，仍保持连接点O的位置不变，则(　　) A．F1增大 B．F1减小 C．F2不变 D．F2增大 【答案】B 【解析】对O点受力分析如图， 由平衡条件得F1＝，F2＝， 保持连接点O的位置不变，斜梁长度增加，则θ变大，所以F1、F2均减小，故选项B正确。 8.如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为(　 ) A.Mg B.Mg C.Mg D．Mg 【答案】B 【解析】以衣服为研究对象，受力分析如图所示， 由几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由共点力的平衡条件可得，2Fcos 30°＝Mg，解得F＝Mg，故选项B正确 9.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是（　　） A．F减小，N不变 B．F减小，N减小 C．F不变，N增大 D．F不变，N减小 【答案】A 【解析】小球沿圆环缓慢上移可看做匀速运动，对小球受力分析，小球受重力、、三个力，如图所示 由图可知即当A点上移时，半径不变，不变，长度减小，可知减小，不变，故A正确，BCD错误。故选A。 10.如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中(　　) A．轻绳AB上的拉力先减小后增大 B．轻绳BC上的拉力先增大后减小 C．斜杆对A的支持力一直在减小 D．斜杆对A的摩擦力一直在减小 【答案】C 【解析】由题意知，小球B处于平衡，对小球受力分析如图甲所示，BC由水平方向变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以看出，轻绳BC上的拉力先减小后增大，轻绳AB上的拉力一直在减小，故A、B错误；滑环A处于静止，对A受力分析如图乙所示。 　 　　　　　甲　　　　　　　 乙 由于AB绳对A的拉力FT一直在减小，故斜杆对A的支持力也一直在减小，斜杆对A的摩擦力一直等于mAgsin θ，保持不变，故C正确，D错误。 11.如图所示，轻质不可伸长细绳一端固定在竖直杆M上的a点，悬挂小球的挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果一个小孩拉住绳的另一端b移动，当小球再次静止时，下列说法正确的是（　　） A．将b点稍微向上移动，绳子拉力大小不变 B．将b点稍微向下移动，绳子拉力大小变小 C．将b点稍微向右移动，绳子拉力大小不变 D．将b点稍微向左移动，绳子拉力大小变大 【答案】A 【解析】AB．设杆与人手间距离为，绳长为，、段长度分别为和，则，两部分绳子与竖直方向夹角分别为和，受力分析如图所示。绳子中各部分张力相等，，则，对点受力分析可得，，即，。当绳右端上移或两㟨高度差减小时，和均不变，则为定值，为定值，为定值，绳子的拉力保持不变，A正确，B错误；将点稍微向右移一些，增大，则增大，减小，绳子的拉力增大，C错误；将点稍微向左移动，绳子拉力变小，D错误。故选A。 12.如图，一粗糙斜面固定在地面上，一细绳一端悬挂小球P，另一端跨过斜面顶端的光滑定滑轮与物体Q相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力F缓慢拉动P至细绳与竖直方向成角，Q始终静止。设Q所受的摩擦力大小为f，在这一过程中（　　） A．F一定增大、f一定增大 B．F可能不变、f可能减小 C．F一定增大、f可能先减小后增大 D．F、f均不变化 【答案】C 【解析】根据题意，对小球P受力分析，设P的质量为，受绳子的拉力T、拉力F和本身重力，由于缓慢拉动物体P，则物体P处于动态平衡，所受的三个力可构成闭合三角形，如图所示。随着的增大，水平拉力F、细绳拉力T均逐渐增大。设物体Q的质量为，斜面的倾角为，对物体Q受力分析，若刚开始，物块Q有上滑趋势，受到的静摩擦力沿斜面向下，由平衡条件可得 则随着T增大，f增大； 若刚开始，物块Q有下滑趋势，受到的静摩擦力沿斜面向上，由平衡条件可得 ，则随着T增大，f可能一直减小，也可能先减小到零后反向增大。 故选C。 二、多选题 13.重力为和的物体、叠放在水平地面上，如图所示。、间接触面光滑，水平推力作用在上，沿斜面匀速上升，始终静止。若的斜面倾角为，则（　　）    A． B． C．地面对的支持力大于 D．地面对的摩擦力大小为 【答案】BD 【解析】AB．对物体进行受力分析，根据平衡条件可得，A错误，B正确； CD．把与看作整体，由平衡条件可得，，C错误，D正确。 故选BD。 14.如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F1、CB绳的拉力F2的大小变化情况是(　　) A.F1先变小后变大 B.F1先变大后变小 C.F2一直变小 D.F2最终变为零 【答案】BCD 【解析】如图所示，画出小球的受力分析图，构建力的矢量三角形， 由于这个三角形中重力不变，另两个力间的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，作初始三角形的外接圆(任意两边的中垂线交点即外接圆圆心)，然后让另两个力的交点在圆周上按F1、F2的方向变化规律滑动，力的矢量三角形的外接圆正好是以初态时的F2为直径的圆周，知F1先变大后变小，F2一直变小，最终CA沿竖直方向，此时F1＝mg，F2变为零，故选B、C、D. 15.明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之，曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　) A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大 C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 【答案】BC 【解析】选木楔为研究对象，力F的分解如图所示， 由于木楔是等腰三角形，所以FN＝FN1＝FN2，F＝2FNcos ＝2FNsin ， 故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大， 故A、D错误，B、C正确。 16.两物体A、B按如图所示连接且处于静止状态，现在给B施加一个水平力F，使B缓慢移动，物体A始终静止在地面上，则此过程中有（　　） A．物体A对地面的压力逐渐变大 B．物体A受到的摩擦力变大 C．绳的拉力逐渐变大 D．地面对A的作用力保持不变 【答案】BC 【解析】C．先以B为研究对象，当B缓慢移动时，B受力的变化情况如图所示 所以当B缓慢向右移动时绳的拉力FT逐渐变大，故C正确； AB．再以A为研究对象进行受力分析，如图所示 由于Mg不变，由图乙可知，当FT增大时，FN减小，Ff增大，故A错误，B正确； D．地面对A的作用力为FN与Ff的合力，由于物体A始终静止，由平衡条件知Mg与FT的合力和FN与Ff的合力始终等大、反向，Mg不变，FT大小增大，方向不变，故二者合力逐渐增大，FN与Ff的合力逐渐增大，故D错误。故选BC。 17.如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　) A.绳OO′的张力也在一定范围内变化 B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化 C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化 D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 【答案】BD 【解析】由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变.滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示.由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确. 三、计算题 18.如图所示，质量为的滑块静置于一粗糙的斜面上，现用一平行于斜面的力推滑块，使滑块沿斜面向上匀速运动，已知斜面体质量为，且始终静止，取，求： （1）斜面对滑块的摩擦力； （2）地面对斜面体的摩擦力和支持力。    【答案】（1）5N；（2）；135N 【解析】（1）以滑块为研究对象，分析受力情况如图，滑块向上匀速运动时，则有 则得斜面对滑块的摩擦力 （2）以整体为研究对象，整体的合力为零，分析受力情况，根据平衡条件得 ， 解得， 19.小明学习了共点力及共点力作用下物体平衡的条件后，对生活中的一些平衡现象产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究并获取相关数据，请你协助小明完成以下两个任务： （1）竖直墙上用一根细绳（轻质）悬挂了一幅相框（如图），经测量：两挂钉之间的细绳长度为70cm，两个挂钉间距离为42cm，相框的重10N，计算出细绳上的张力大小为多少； （2）长度为2R的筷子AB放入半径为R的半球形空汤碗中恰处于静止状态，测得筷子在碗内的长度为1.6R，计算出这根筷子的重心到A端的距离（筷子与汤碗之间的摩擦不计）。 【答案】（1）6.25N；（2）0.7R 【解析】（1）设细绳上的张力大小为F，方向与竖直方向成角，如图所示 由几何关系可知 解得 （2）对筷子进行受力分析如图所示 根据共点力平衡，汤碗对筷子在A、C两点的弹力延长线交点一定在过筷子重心的竖直线上，设筷子的重心为N点，则 则重心到A点的距离为 即这根筷子的重心到A端的距离为0.7R。 / 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