4.4.3 不同函数增长的差异同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第15节 不同函数增长的差异 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中，随 x 的增大而增长速度最快的是（ ） A. y = 50x B. y = C. y = D. y = 2. 下列函数中，在 (0, +∞) 上增长速度越来越慢的是（ ） A. y = B. y = C. y = x D. y = 3x + 1 3. 当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ） A. y = 100x B. y = C. y = D. y = x 4. 三个变量 、、 随变量 x 变化的数据如下表： | x | 10 | 20 | 30 | 40 | |---|---|---|---|---| | | 100 | 200 | 300 | 400 | | | 10 | 100 | 1000 | 10000 | | | 5 | 6 | 7 | 8 | 其中关于 x 呈指数型函数变化的变量是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 函数 f(x) = 和 g(x) = 的图象有两个交点 (2, 4) 和 (4, 16)，则下列说法正确的是（ ） A. 当 x > 4 时， > B. 当 x > 4 时， < C. 当 x > 0 时， > D. 始终大于 6. 下列关于函数 y = 、y = 、y = x 的增长趋势，说法正确的是（ ） A. 的增长速度始终最快 B. 的增长速度始终最快 C. lox 的增长速度越来越慢 D. 三者增长速度相同 7. 某种细胞分裂时，1 个细胞分裂成 2 个，1 次分裂后变成 2 个，2 次分裂后变成 4 个，……。细胞数 y 与分裂次数 x 的函数关系是（ ） A. y = 2x B. y = C. y = D. y = 8. 以下关于三种增长型函数的说法，错误的是（ ） A. 直线上升：一次函数 y = kx + b（k > 0），增长速度恒定 B. 指数爆炸：指数函数 y = （a > 1），增长速度急剧加快 C. 对数增长：对数函数 y = x（a > 1），增长速度越来越快 D. 幂函数增长：介于指数增长和对数增长之间 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列函数中，在 (0, +∞) 上随 x 增大而增长的是（ ） A. y = B. y = C. y = x D. y = 10. 当 x 足够大时，下列函数中增长速度快于 y = 的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = x 11. 某企业的产值连续三年增长，年增长率均为 10%。下列说法正确的是（ ） A. 三年后总产值增长了 30% B. 三年后总产值增长了约 33.1% C. 该企业产值呈指数增长趋势 D. 该企业产值呈线性增长趋势 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 当 x 越来越大时，下列函数：① y = ；② y = ；③ y = x；④ y = 10x。其中增长速度最快的是________（填序号）。 13. 函数 y = 与 y = 的图象有两个交点，除了点 (2, 4) 外，另一个交点的坐标是________。 14. 某种商品的销售额 y（万元）与时间 x（月）的关系为 y = ，则第 3 个月的销售额为________万元。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 f(x) = 和 g(x) = 。 （1）列出 x = 1, 2, 3, 4, 5 时两个函数的值； （2）根据数据回答：当 x 取何值时， = ？ （3）当 x > 4 时，比较 与 的大小。 16. 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（万元）随销售利润 x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型： ① y = 0.25x；② y = x + 1；③ y = 。 其中哪个模型能符合公司的要求？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第15节 不同函数增长的差异（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列函数中，随 x 的增大而增长速度最快的是（ ） A. y = 50x B. y = C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 在区间 (0, +∞) 上，指数函数 y = （a > 1）呈“指数爆炸”式增长，最终会远远快于一次函数、二次函数和幂函数。 2. 下列函数中，在 (0, +∞) 上增长速度越来越慢的是（ ） A. y = B. y = C. y = x D. y = 3x + 1 【答案】 C 【解析】 对数函数 y = x（a > 1）在 (0,+∞) 上增长越来越慢，呈“对数增长”。 3. 当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ） A. y = 100x B. y = C. y = D. y = x 【答案】 C 【解析】 指数函数 y = （a > 1）的增长速度最终会超过任何幂函数 y = （n > 0）。 4. 三个变量 、、 随变量 x 变化的数据如下表： | x | 10 | 20 | 30 | 40 | |---|---|---|---|---| | | 100 | 200 | 300 | 400 | | | 10 | 100 | 1000 | 10000 | | | 5 | 6 | 7 | 8 | 其中关于 x 呈指数型函数变化的变量是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】 B 【解析】 随 x 均匀增加，是一次函数； 每次乘 10，呈指数增长； 每次加 1，是一次函数。 5. 函数 f(x) = 和 g(x) = 的图象有两个交点 (2, 4) 和 (4, 16)，则下列说法正确的是（ ） A. 当 x > 4 时， > B. 当 x > 4 时， < C. 当 x > 0 时， > D. 始终大于 【答案】 A 【解析】 在 (2, 4) 之间 > （如 x = 3 时，9 > 8）；当 x > 4 时，指数函数增长更快， > 。 6. 下列关于函数 y = 、y = 、y = x 的增长趋势，说法正确的是（ ） A. 的增长速度始终最快 B. 的增长速度始终最快 C. lox 的增长速度越来越慢 D. 三者增长速度相同 【答案】 C 【解析】 在 x 较小时， 可能大于 ；但 x 足够大时， 会超过 。lox 的增长速度越来越慢。 7. 某种细胞分裂时，1 个细胞分裂成 2 个，1 次分裂后变成 2 个，2 次分裂后变成 4 个，……。细胞数 y 与分裂次数 x 的函数关系是（ ） A. y = 2x B. y = C. y = D. y = 【答案】 C 【解析】 每次分裂后细胞数翻倍，y = ，是指数增长模型。 8. 以下关于三种增长型函数的说法，错误的是（ ） A. 直线上升：一次函数 y = kx + b（k > 0），增长速度恒定 B. 指数爆炸：指数函数 y = （a > 1），增长速度急剧加快 C. 对数增长：对数函数 y = x（a > 1），增长速度越来越快 D. 幂函数增长：介于指数增长和对数增长之间 【答案】 C 【解析】 对数函数的增长速度越来越慢，不是越来越快。 二、多项选择题 9. 下列函数中，在 (0, +∞) 上随 x 增大而增长的是（ ） A. y = B. y = C. y = x D. y = 【答案】 ABC 【解析】 A 指数函数底数 > 1，递增；B 幂函数指数 > 0，递增；C 对数函数底数 > 1，递增；D 指数函数底数 ∈ (0,1)，递减。 10. 当 x 足够大时，下列函数中增长速度快于 y = 的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = x 【答案】 BC 【解析】 x 足够大时，指数函数 增长最快；幂函数中指数越大增长越快， 比 快；对数函数增长最慢。 11. 某企业的产值连续三年增长，年增长率均为 10%。下列说法正确的是（ ） A. 三年后总产值增长了 30% B. 三年后总产值增长了约 33.1% C. 该企业产值呈指数增长趋势 D. 该企业产值呈线性增长趋势 【答案】 BC 【解析】 设初始产值为 a，三年后为 a × = 1.331a，增长了约 33.1%，A 错 B 对。每年按固定比例增长，符合指数增长模型，C 对 D 错。 三、填空题 12. 当 x 越来越大时，下列函数：① y = ；② y = ；③ y = x；④ y = 10x。其中增长速度最快的是________（填序号）。 【答案】 ① 【解析】 指数函数 的增长速度最终会超过任何幂函数和一次函数。 13. 函数 y = 与 y = 的图象有两个交点，除了点 (2, 4) 外，另一个交点的坐标是________。 【答案】 (4, 16) 【解析】 当 x = 4 时， = 16， = 16，故另一个交点为 (4, 16)。 14. 某种商品的销售额 y（万元）与时间 x（月）的关系为 y = ，则第 3 个月的销售额为________万元。 【答案】 8 【解析】 x = 3 时，y = = 8 万元。 四、解答题 15. 已知函数 f(x) = 和 g(x) = 。 （1）列出 x = 1, 2, 3, 4, 5 时两个函数的值； （2）根据数据回答：当 x 取何值时， = ？ （3）当 x > 4 时，比较 与 的大小。 【答案】 （1）见解析；（2）x = 2 或 x = 4；（3） > 【解析】 （1）x = 1：f(1)=2, g(1)=1；x = 2：f(2)=4, g(2)=4；x = 3：f(3)=8, g(3)=9；x = 4：f(4)=16, g(4)=16；x = 5：f(5)=32, g(5)=25。 （2）由表可知，x = 2 和 x = 4 时， = 。 （3）当 x > 4 时，如 x = 5 时 32 > 25，且指数函数增长更快，故 > 。 16. 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（万元）随销售利润 x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型： ① y = 0.25x；② y = x + 1；③ y = 。 其中哪个模型能符合公司的要求？ 【答案】 模型② y = x + 1 【解析】 公司要求：奖金 y ≤ 5 且 y ≤ 0.25x，且在 x ∈ [10, 1000] 上递增。 模型① y = 0.25x：当 x = 20 时 y = 5，x > 20 时奖金超过 5 万元，不符合。 模型③ y = ：指数增长，当 x 很大时会迅速超过 5 万元，不符合。 模型② y = x + 1：在 [10,1000] 上递增，最大值为 1000 + 1 ≈ 3.5 + 1 = 4.5 < 5；且 x + 1 ≤ 0.25x 在 [10,1000] 上恒成立。故模型②符合要求。 学科网（北京）股份有限公司 $