4.4.3不同函数增长的差异 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 同步练以“知识梳理-基础应用-拔高拓展”分层，覆盖指数、对数及幂函数增长差异，通过基础题巩固概念，拔高题深化逻辑推理，适配新授课知识内化与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|三种函数模型的图像与性质（表格填空、判断正误）|概念辨析题夯实基础，培养抽象能力| |基础应用|函数增长率比较、图像识别、数据拟合（单选1-4、6-8，多选9、11，填空13-15，解答16）|结合图像与实际数据提升数学眼光，强化模型意识| |拔高拓展|多函数增长速度综合比较、存在性命题（单选5，多选10、12）|通过存在性问题培养数学思维与逻辑推理，发展理性精神|

4.4.3不同函数增长的差异同步练（河南专用） 教材知识梳理 1.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 性质 在上的增减性 ______ ______ ______ 增长速度 越来越快 越来越慢 随值的变化而不同 图像的变化 随的增大逐渐表现为与______平行 随的增大逐渐表现为与______平行 随值的变化而不同 值的比较 存在一个，当时，有 指数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 对数函数模型 （a，b，c为常数，，且） 幂函数模型 （a，b，为常数，） 【答案】 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 2．判断正误． （1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( ) （2）对任意的．( ) （3）对任意的．( ) （4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( ) 【答案】 正确 错误 错误 正确 【详解】（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型，故正确； （2）对任意的，当时，不恒成立，故错误； （3）对任意的，当时，不恒成立，故错误； （4）在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型，故正确. 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意可知，指数函数模型增长速度最快． 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 故选：D 2．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 3．若函数，则由图象可得，依次对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象为直线，指数函数和对数函数的增长凹凸规律判断即可. 【详解】由函数图象可得，为正比例函数，则对应函数为； 为对数型函数，则对应函数为； 为指数型函数，则对应函数为． 故选：B. 4．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C ★5．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 6．已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【答案】A 【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案. 【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以，，，有成立. 故选：A. 7．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 8．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和一次函数的图象与性质，画出草图，求出交点，即可解出. 【详解】作出与的图象如图所示， 则对数函数与一次函数交于点， 所以的图象位于的图象下方时的取值范围为． 故选：A. 二、多选题 9．甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，甲在最前面 C．当时，丙在最前面 D．当时，甲在最后面 【答案】BCD 【分析】作出三个函数的图象，求出交点坐标，观察图象，逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 当时，，即甲在最前面，丙在最后面，A错B对； 当时，，即甲在最后面，丙在最前面，CD都对. 故选：BCD. ★10．对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 11．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. ★12．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【答案】AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 三、填空题 13．不等式的解集是______. 【答案】 【分析】分析出函数的单调性，求出函数的交点，结合函数图象即可得到解集. 【详解】由题意知，原不等式的定义域为. 函数、函数、函数在上均单调递增， 函数、函数在上相交于点，. 函数简图如下： 结合函数图象可知，不等式成立的解集为. 故答案为：. 14．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为________． 【答案】 【分析】在同一直角坐标系中，作出两函数的图象，观察图象即可. 【详解】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 15．三个变量随变量变化的数据如下表： 其中关于呈指数增长的变量是_________. 【答案】 【解析】呈指数增长的变化快． 【详解】指数增长为快速增长，因此，中呈指数增长的变量是. 故答案为：． 【点睛】本题考查指数函数的性质，一般增长问题如果是呈指数增长，那么变化速度会很快． 四、解答题 16．某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】(1)选择模型②更合适，解析式为； (2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【详解】（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； （2）中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $4.4.3不同函数增长的差异同步练（河南专用） 教材知识梳理 1.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与性质 函数 y=aa>1 y=log。xa>1 y=x"(n>0] 性质 在0，+∞上的增 减性 随n值的变化而不 增长速度 越来越快 越来越慢 同 随x的增大逐渐表现 随X的增大逐渐表现 随n值的变化而不 图像的变化 为与平行 为与平行 同 值的比较 存在一个x,当x>x,时，有1ogx<X<a 指数函数模型 fx=ba+c(a,b,c为常数，a>0且g≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x=blogax+c(a,b,c为常数，a>0,且a≠1，b≠0) 幂函数模型 fx)=ax+b(ab:a为常数，a≠0，a≠1) 2.判断正误。 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.() (2)对任意的x>0,kx>logx.() (3)对任意的x>0,a>1og。x（） (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.( 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 试卷第1页（共3页） 一、单选题 1.下列函数中当x足够大时，增长率最大的是() A.y=1000x B y=x2 C.y=Inx D. =(1.01) 2.四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a,b,c,d所表示的函数可能是() A.a:y=2*,b:y=x2,c:y=x,d:y=2* B.a:y=x2,b:y=2*,c:y=2*,d:y=Wx C.a:y=x,b:y=2*,c:y=Vx,d:y=2-* D.a:y=2*,b:y=x,c:y=2-*,d:y=Vx 3.若函数y=a1og2X,y,=b~2x,y,=c2,则由图象可得fX,gx'hx依次对应的函数为（） y个fx) h(x g(x) A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 4.有一组实验数据如表： 2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是() y=x7 A. B.y=log2x 2 c.y= D.y 试卷第2页（共3页） ★5.已知函数y1=3,y2=l0g3X,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中，正确的是() A.当x∈0，+∞时，函数y1,y2,y3均为增函数 B.当x∈0，+o时，y2的增长速度一直快于y3 C.当x∈0，+∞时，y1的增长速度一直快于y2 D.当X∈(0，+∞时，y3的增长速度一直快于y1 6.已知a>1,则下列命题中正确的是() A.3x)'Yx>Xg有a>x>1og.x成立 B.x)'Yx>x有a>log,x>x成立 C.x,'Vx>x有x>a>1ogx成立 D.xg'Vx>x有x>1ogX>a成立 7.某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为Po,经过t年后算力为P,则P与t的函数关系式 为() A.P=P。·2 B.P=P。(V2 C.P=P。4 D.P=Po't 对数函数fx=Og,X,一次函数9x=子X-,则当fx的图象位于9x的胸象下方时x 3 范围为() A.0,1U4,+0o B.(0,1U3,+∞ C.0,2U4,+∞ D.0,2U3,+oo 二、多选题 9.甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fxi=12,3关于时间xx之0 的函数关系式分别为f,x=2-1'f,(x=xf,x=10g,x+1小则下列结论正确的是（） A.当X>1时，乙在最前面 B.当x>1时，甲在最前面 C.当0<x<1时，丙在最前面 D.当0<x<1时，甲在最后面 试卷第3页（共3页） ★10.对于函数y1=,y2=2,y3=lnX,下列说法正确的是() A.对任意的X>0,y1>y3 B.对任意的x>0,y2>y3 C.一定存在X,’当x>x,时，总有y>y>y3D.y,=x与y,=2的图象有两个交点 1.设fX=+2x+1'g1X=3-3”hX=1og,(x+1当x∈(3，+∞)时.对这三个函数的增长速 度进行比较，下列结论中，错误的是（) A.fx的增长速度最快，hx的增长速度最慢 B.gx的增长速度最快，h(x的增长速度最慢 C.gx的增长速度最快，fx的增长速度最慢 D.fx的增长速度最快，gx的增长速度最慢 ★12.下列说法正确的是() A.函数y=og1X减小的速度越来越慢 N B.在指数函数y=aa>1中，当x0时，底数。越大，其增长速度越快 C.不存在一个实数m,使得当x>m时，1.1*>X0 D.当a>1'k>0时，在区间0，十∞l内，对任意的x总有1og。X<kx<a成立 三、填空题 13.不等式10g2X<X<2的解集是 14.若已知16<x<20:利用图象可判断出，和1og2x的大小关系为 15.三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 91 5 130 505 1130 2005 3130 4505 y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 3 5 30 55 80 105 130 155 其中关于x呈指数增长的变量是 四、解答题 试卷第4页（共3页） 16.某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内），经观 测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人，排队人数y与下课时间x(单位： 分钟)的关系有两种函数模型可供选择： ①y=m·2*+b,②y=mlog2x+b,其中m,b均为常数， (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式： (②)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 试卷第5页（共3页）