4.5.2用二分法求方程的近似解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习聚焦“用二分法求方程的近似解”，通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，强化二分法操作逻辑与问题解决能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|二分法概念、区间确定、简单近似解|选择（含多选）、填空、解答题结合，如判断不可用二分法的零点类型、计算中点函数值，夯实操作步骤，培养抽象能力与运算能力| |综合应用练|函数性质结合、误差分析、实际问题应用|多选与解答题为主，如结合单调性论证零点唯一性、误差范围计算，体现从单一操作到综合推理的进阶，发展推理意识与应用意识|

　用二分法求方程的近似解 (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是 (　　) 2.(5分)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 (　　) A.0.6　 B.0.75　 C.0.7　 D.0.8 3.(5分)用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是 (　　) A.(0,1)　 B.(1,2)　 C.(2,3)　 D.(3,4) 4.(5分)(2026·静安高一检测)小丁同学用二分法求方程f(x)=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,由计算可得f(1)<0,f(1.5)<0,f(2)>0,则小丁同学在下次应计算的函数值为 (　　) A.f(0.5)　 B.f(1.125) C.f(1.25)　 D.f(1.75) 5.(5分)(多选)某同学利用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: f(2)≈-1.307 f(2.5)≈-0.084 f(2.562 5)≈0.066 f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099 则函数f(x)=ln x+2x-6的零点的近似值(精确度为0.1)可取为 (　　) A.2.49　 B.2.52　 C.2.55　 D.2.58 6.(5分)(多选)用二分法求函数零点近似值时,第一次取的区间是(-1,5),则第三次所取的区间可能是 (　　) A.(-1,)　 B.(-2,1) C.(-2,)　 D.(,5) 7.(5分)用二分法求方程x3+x-3=0在区间(0,2)内的实根,首先取区间中点x=1进行判断,那么下一个取的点是x=　　.  8.(5分)若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则实数a的值为　　.  9.(5分)已知函数f(x)=x++(a>0),若能用二分法求函数f(x)的零点,则a的取值范围是　　.  10.(10分)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(精确度为0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261) 【综合应用练】 11.(5分)(多选)教材中用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7来研究,通过计算列出了它的对应值表 x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5 f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33 分析表中数据,则下列说法正确的是 (　　) A.h>0 B.方程2x+3x-7=0有实数解 C.若精确度为0.1,则近似解可取为1.375 D.若精确度为0.01,则近似解可取为1.437 5 12.(5分)用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为 (　　) A.[0,)　 B.[0,)　 C.[0,ε)　 D.[0,2ε) 13.(5分)已知函数f(x)=ex+ln (x+1)-3在区间[0,5]上存在唯一零点,若采用二分法进行求解,要求近似解的绝对误差不超过0.02,则至少需要计算中点函数值的次数为 (　　) A.6　 B.7　 C.8　 D.9 14.(10分)已知方程2x+2x=5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间; (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1). 参考数值: x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828 15.(10分)已知函数f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)有且只有一个零点; (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. 　 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是 (　　) 【解析】选B.二分法求的是函数的变号零点,即零点两侧的函数值符号相反,由题中图象知只有B项中函数零点不是变号零点. 2.(5分)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 (　　) A.0.6　 B.0.75　 C.0.7　 D.0.8 【解析】选C.已知f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]. 又0.68=,且f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)上, 因为|0.68-0.72|=0.04<0.1,因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7. 3.(5分)用二分法求方程log4x-=0的近似解时,所取的第一个区间可以是 (　　) A.(0,1)　 B.(1,2)　 C.(2,3)　 D.(3,4) 【解析】选B.设函数f(x)=log4x-,因为函数y=log4x和y=-都是增函数, 所以函数f(x)=log4x-在(0,+∞)上单调递增; 又f(1)=log41-=-<0,f(2)=log42->0,因此,所取的第一个区间可以是(1,2). 4.(5分)(2026·静安高一检测)小丁同学用二分法求方程f(x)=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,由计算可得f(1)<0,f(1.5)<0,f(2)>0,则小丁同学在下次应计算的函数值为 (　　) A.f(0.5)　 B.f(1.125) C.f(1.25)　 D.f(1.75) 【解析】选D.因为f(1)<0,f(1.5)<0,f(2)>0,则方程的解应该落在区间(1.5,2)内, 根据二分法的计算方法,下次应计算的函数值为区间中点函数值,即f(1.75). 5.(5分)(多选)某同学利用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示: f(2)≈-1.307 f(2.5)≈-0.084 f(2.562 5)≈0.066 f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099 则函数f(x)=ln x+2x-6的零点的近似值(精确度为0.1)可取为 (　　) A.2.49　 B.2.52　 C.2.55　 D.2.58 【解析】选BC.因为函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域上单调递增,结合表格可知, 方程ln x+2x-6=0的唯一近似解在(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.562 5)内, 又精确度为0.1,所以方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为2.52,2.55. 6.(5分)(多选)用二分法求函数零点近似值时,第一次取的区间是(-1,5),则第三次所取的区间可能是 (　　) A.(-1,)　 B.(-2,1) C.(-2,)　 D.(,5) 【解析】选AD.第二次所取的区间可能为(-1,2),(2,5),第三次所取的区间可能为(-1,0.5), (0.5,2),(2,3.5),(3.5,5). 7.(5分)用二分法求方程x3+x-3=0在区间(0,2)内的实根,首先取区间中点x=1进行判断,那么下一个取的点是x=　1.5　.  【解析】设函数f(x)=x3+x-3,易得函数为增函数, 因为f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以下一个有根区间是(1,2),那么下一个取的点是x=1.5. 8.(5分)若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则实数a的值为　2或-1　.  【解析】由题意得,函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,可知函数f(x)图象在x轴上方或下方(包括x轴),且与x轴有交点,当a+2=0,即a=-2时,f(x)=-4x+1,能用二分法求零点,不符合题意; 当a+2≠0,即a≠-2时,此时f(x)=(a+2)x2+2ax+1为二次函数, 而f(x)有零点,但不能用二分法求其零点, 可知函数f(x)的图象与x轴有1个交点, 即(a+2)x2+2ax+1=0有两个相等实根, 所以Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1. 9.(5分)已知函数f(x)=x++(a>0),若能用二分法求函数f(x)的零点,则a的取值范围是　(0,)　.  【解析】由题意得f(x)的定义域为, 因为a>0,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x++≥2+=2+>0, 当且仅当x=时等号成立,故x∈(0,+∞)时不能用二分法求函数零点; 因为f(-1)=-1-a+=--a<0, 又当x∈(-∞,0)时,f(x)=-(-x+)+≤-2+=-2+, 当且仅当x=-时等号成立, 若要用二分法求f(x)的零点,需满足-2+>0,所以0<a<. 10.(10分)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(精确度为0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261) 【解析】利用二分法,f(1)=-1<0,f(1.5)=--1=>0,f(1.25)=--1<2--1=-<0, 故零点在(1.25,1.5)内,此时0.25>0.1. 又f(1.375)>0,所以零点在区间(1.25,1.375)内,此时0.125>0.1. 又f(1.312 5)<0,所以零点在区间(1.312 5,1.375)内,此时0.062 5<0.1, 故f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值可取为1.312 5. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)教材中用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2x+3x-7来研究,通过计算列出了它的对应值表 x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5 f(x) -0.87 -0.28 h -0.05 0.02 0.33 分析表中数据,则下列说法正确的是 (　　) A.h>0 B.方程2x+3x-7=0有实数解 C.若精确度为0.1,则近似解可取为1.375 D.若精确度为0.01,则近似解可取为1.437 5 【解析】选BC.因为y=2x与y=3x-7都是R上的增函数, 所以f(x)=2x+3x-7是R上的增函数, 所以f(x)在R上至多有一个零点,由表格中的数据可知:f(1.422)<0,f(1.437 5)>0, 所以f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.437 5),所以h<0,A错误; 方程2x+3x-7=0有实数解,B正确; f(1.375)=-0.28<0,f(1.437 5)=0.02>0,1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,即精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确; f(1.422)=-0.05<0,f(1.4375)=0.02>0,1.437 5-1.422=0.015 5>0.01,即精确度为0.01,则近似解不可取为1.437 5,D错误. 12.(5分)用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为 (　　) A.[0,)　 B.[0,)　 C.[0,ε)　 D.[0,2ε) 【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b--a=, 所以误差的取值范围为[0,). 13.(5分)已知函数f(x)=ex+ln (x+1)-3在区间[0,5]上存在唯一零点,若采用二分法进行求解,要求近似解的绝对误差不超过0.02,则至少需要计算中点函数值的次数为 (　　) A.6　 B.7　 C.8　 D.9 【解析】选C.设至少需要计算中点函数值的次数为n,区间[0,5]长度为5-0=5,经过n次二分法以后区间长度为,要求近似解的绝对误差不超过0.02,所以≤0.02,化简得到2n+1≥500, 因为29=512,28=256,所以n+1≥9,所以n≥8. 14.(10分)已知方程2x+2x=5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间; (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1). 参考数值: x 1.25 1.281 25 1.312 5 1.375 1.5 2x 2.378 2.430 2.484 2.594 2.828 【解析】(1)令f(x)=2x+2x-5. 因为函数f(x)=2x+2x-5是R上的增函数, 所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点. 因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0, 所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内. (2)用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点值 中点函数值符号 (1,2) 1.5 f(1.5)>0 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 f(1.281 25)<0 因为|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1, 所以函数的零点近似值为区间[1.25,1.312 5]内任意一个值, 即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5. 15.(10分)已知函数f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)有且只有一个零点; 【解析】(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=ln +2(x1-x2). 易得>1,x1-x2>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)=ln x+2x-6是(0,+∞)上的增函数. 所以f(x)至多有一个零点. 易知函数f(x)在(0,+∞)上的图象是不间断的,且f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,f(2)·f(3)<0, 所以f(x)在(2,3)内有一个零点,所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点, 所以f(x)有且只有一个零点. (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. 【解析】(2)由(1)知f(x)的零点在区间(2,3)内,取x1=,f()=ln -1<0, 因为f(3)f()<0,所以f(x)的零点在(,3)内. 取x2=,f()=ln ->0,因为f()f()<0,所以f(x)的零点在(,)内. 因为|-|=≤,所以满足题意的区间为(,). 学科网（北京）股份有限公司 $