4.5.2 用二分法求方程的近似解 课时练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 《用二分法求方程的近似解》课时同步练，针对高一新授课，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|二分法步骤、精确度条件|选择题1-8直接考查区间中点计算、结束条件判断等单一知识点| |综合辨析|零点个数判断、操作结果分析|多选题9-11结合数据辨析零点个数，填空题12-14应用二分法确定区间| |应用深化|综合证明与近似求解|解答题15-16需证明零点唯一性并通过二分法求近似值，体现数学思维严谨性|

4.5.2 用二分法求方程的近似解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点时，第一次计算，得f(0)＜0，f(0.5)＞0，第二次应计算f(x1)，则x1＝ （      ）  A.1 B.－1 C.0.25 D.0.75 【答案】C 【解析】由题意得，函数f(x)在(0，0.5)内存在零点，根据二分法知第二次应该计算f(x1)，其中x1＝＝0.25.故选C. 2.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是 （      ）  A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001 C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001 【答案】B 【解析】根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算. 3.某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为 （      ）  A.0.1 B.0.01 C.0.001 D.0.0001 【答案】B 【解析】根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，区间的长度为1，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为＝，不能确定方程的近似解，当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为＝，确定了方程的近似解，则该近似解的精确度应该在(，)之间，选项B在区间(，)内．故选B. 4.若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间 （      ）  A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 【答案】C 【解析】构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1>0， 显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上， 所以方程ex＋x＝2的解在区间(0，1)上． 5.若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号相同的是 （      ）  A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f 【答案】C 【解析】由二分法的步骤可知，①零点在(0，4)内，则有f(0)f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2； ②零点在(0，2)内，则有f(0)f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1； ③零点在(1，2)内，则有f(1)f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点； ④零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0，取中点； ⑤零点在内，则有ff<0，则f>0，f<0，所以与f(0)符号相同的是f(1)． 故选C. 6.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，当精确度ε＝0.002时，结束计算的条件是 （      ）  A.|a－b|≤0.002 B.|a－b|＜0.002 C.|a－b|＞0.002 D.|a－b|＝0.002 【答案】B 【解析】二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，当精确度ε＝0.002时，结束计算．根据二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度时，便可结束计算．所以当|a－b|＜0.002时，便可结束计算． 7.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为（      ）  A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 【答案】B 【解析】函数f(x)＝log2x－在(0，＋∞)内单调递增， f(1)＝－1<0，f(2)＝1－＝>0， ∴f(1)·f(2)<0. 根据函数零点存在定理可得，函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(1，2). 8.方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　) A.(0，2) B.(1，2)　 C.(2，3) D.(3，4) 【答案】C 【解析】令f(x)＝log3x＋x－3， 则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0， f(2)＝log32＋2－3＝<0， f(3)＝log33＋3－3＝1>0， f(4)＝log34＋4－3＝log312>0， 则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)， 所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2，3). 二、多选题（共3小题） 9.关于函数f(x)＝lg x＋x－2的零点，下列说法正确的是 （      ）  (参考数据：lg 1.5≈0.176，lg 1.625≈0.211，lg 1.75≈0.243，lg 1.812 5≈0.258，lg 1.875≈0.273，lg 1.937 5≈0.287) A.函数f(x)的零点个数为1 B.函数f(x)的零点个数为2 C.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.812 5(精确度为0.1) D.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.875(精确度为0.1) 【答案】AC 【解析】易知函数f(x)＝lg x＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1.5)＝lg 1.5＋1.5－2≈0.176＋1.5－2＝－0.324<0，f(2)＝lg 2＋2－2＝lg 2>0，所以函数f(x)只有一个零点，且在区间(1.5，2)内，取区间中点x＝1.75，则f(1.75)＝lg 1.75＋1.75－2≈0.243＋1.75－2＝－0.007<0，所以函数f(x)的零点在区间(1.75，2)内，取区间中点x＝1.875，则f(1.875)＝lg 1.875＋1.875－2≈0.273＋1.875－2＝0.148>0，所以函数f(x)的零点在区间(1.75，1.875)内，取区间中点x＝1.812 5，则f(1.812 5)＝lg 1.812 5＋1.812 5－2≈0.258＋1.812 5－2＝0.070 5>0，所以函数f(x)的零点在区间(1.75，1.812 5)内，又|1.75－1.812 5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.812 5.故选AC. 10.设，某学生用二分法求方程的近似解(精确度为)，列出了它的对应值表如下： 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为(    ) A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44 【答案】BC 【解析】与都是上的单调递增函数， 是上的单调递增函数， 在上至多有一个零点， 由表格中的数据可知： ， 在上有唯一零点，零点所在的区间为， 即方程有且仅有一个解，且在区间内， ， 内的任意一个数都可以作为方程的近似解， ， 符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒ 故选：BC﹒ 11.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，不正确的是 （      ）  A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x) 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 【答案】CD 【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确； f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确； 用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确. 三、填空题（共3小题） 12.用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为                   ． 【答案】(，1) 【解析】令f(x)＝x3－6x2＋4， 则f(0)＝4>0，f(1)＝－1<0，f()＝>0， 由f()·f(1)<0知根所在区间为(，1). 13.用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下： 根据此数据，可得方程的一个近似解(精确到0.01)为                  . 【答案】 【解析】由表格中的数据，可得，， 根据零点的存在定理，可得函数的零点所在区间为， 故函数的零点的近似值为(精确到0.01)， 故答案为：. 14.用二分法求方程2x－x－4＝0的近似解时，已知一个解在区间(2，3)内，则下一步可断定该解所在的区间为                   . 【答案】(，3) 【解析】令f(x)＝2x－x－4，则f(2)＝4－2－4＝－2＜0，f(3)＝8－3－4＝1＞0，f()＝－－4＜0，由f()f(3)＜0知该解所在的区间为(，3). 四、解答题（共2小题） 15.已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由. (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807) 【答案】解　(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增.证明如下： 设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝<0， 所以f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增. (2)有零点. 由题意得g(x)＝＋log2x－2，易知g(x)是增函数. 因为g(1)＝＋log21－2＝－1<0，g(2)＝＋log22－2＝－1>0， 所以连续函数g(x)在区间(1，2)上有且仅有一个零点，设为x0. 因为g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，所以x0∈(1.5，2). 因为g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0，所以x0∈(1.5，1.75). 又|1.75－1.5|＝0.25<0.3，所以g(x)零点的近似值可取为1.75. 16.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)求证：f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 【答案】(1)证明　令x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝ln ＋2(x1－x2)，且>1，x1－x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，即f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点． ∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (2)解　∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝， 则f ＝ln －1<0， ∴f(3)f <0，即f(x)的零点x0∈. 取x2＝＝，则f ＝ln －>0. ∴f f <0. ∴x0∈，又∵＝≤， ∴满足题意的区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2 用二分法求方程的近似解【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点时，第一次计算，得f(0)＜0，f(0.5)＞0，第二次应计算f(x1)，则x1＝ （      ）  A.1 B.－1 C.0.25 D.0.75 2.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是 （      ）  A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001 C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001 3.某同学用二分法求方程ln x＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程ln x＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为 （      ）  A.0.1 B.0.01 C.0.001 D.0.0001 4.若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间 （      ）  A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 5.若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号相同的是 （      ）  A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f 6.用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，当精确度ε＝0.002时，结束计算的条件是 （      ）  A.|a－b|≤0.002 B.|a－b|＜0.002 C.|a－b|＞0.002 D.|a－b|＝0.002 7.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为（      ）  A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 8.方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　) A.(0，2) B.(1，2)　 C.(2，3) D.(3，4) 二、多选题（共3小题） 9.关于函数f(x)＝lg x＋x－2的零点，下列说法正确的是 （      ）  (参考数据：lg 1.5≈0.176，lg 1.625≈0.211，lg 1.75≈0.243，lg 1.812 5≈0.258，lg 1.875≈0.273，lg 1.937 5≈0.287) A.函数f(x)的零点个数为1 B.函数f(x)的零点个数为2 C.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.812 5(精确度为0.1) D.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取为1.875(精确度为0.1) 10.设，某学生用二分法求方程的近似解(精确度为)，列出了它的对应值表如下： 若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为(    ) A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44 11.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，不正确的是 （      ）  A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x) 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 三、填空题（共3小题） 12.用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为                   ． 13.用二分法求函数的一个零点，算得的部分数据如下： 根据此数据，可得方程的一个近似解(精确到0.01)为                  . 14.用二分法求方程2x－x－4＝0的近似解时，已知一个解在区间(2，3)内，则下一步可断定该解所在的区间为                   . 四、解答题（共2小题） 15.已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明； (2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由. (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807) 16.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)求证：f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 学科网（北京）股份有限公司 $