30.2 三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.2 三角形的内切圆 22051 1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2.理解三角形内心的性质，并能解决相关问题. 学习目标 22051 【问题】三角形的外接圆的定义是什么？ 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，那么这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作 这个三角形的外心 是否存在与三角形的三条边都相切的圆呢？ 复习导入 22051 【思考】图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 【分析】假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的 圆心到三角形三边的距离都等于半径．如何确定这个圆的圆心和半径呢？ 半径为r的圆与△ABC的三边都相切，那么圆心l到三角形三边的距离相等，都等于r 新知讲解 22051 4 【分析】在△的内部，如何找到满足条件的圆心呢？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等所以只需作出三角形两个内角的平分线。它们的交点即这个圆的圆心，圆心到任意一边的距离即这个圆的半径 这样，用直尺和圆规就可以作出与三角形三条边都相切的圆. 新知讲解 22051 作与△三边都相切的圆： 作法： 1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 新知讲解 22051 三角形的内切圆: 我们把与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 归纳 22051 【思考】如图，☉O是△ABC的内切圆，那么AO、BO、CO有什么特点？、、呢？ AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA. OE=OF=OG. 新知讲解 22051 名称 外心 内心 图形 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部 角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+∠A 三角形外心、内心的区别： 归纳 22051 1.与三角形各边都______的圆叫作三角形的内切圆． 2.三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的______，它到三边的距离______．这个三角形叫作圆的外切三角形． 相切 三条角平分线 内心 相等 三角形内切圆的性质: 归纳 22051 【例】如图，△ 的内切圆⊙与 ，， 分别相切于点，，，且 =9，=14，=13.求，， 的长. AF = AE BF = BD CD = CE ⊙O 为三角形内切圆 设未知数求解 分析： 典例精析 22051 【例】如图，△ 的内切圆⊙与 ，， 分别相切于点，，，且 =9，=14，=13.求，， 的长. 解： 设 AF = x ，则 AE = x . 则 CE = CD = AC - AE = 9 - x， BF = BD = AB - AF = 13 - x. 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， 因此∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 . 解得 x = 4. 典例精析 22051 (3)若∠BIC=100 °，则∠A = °； (2)若∠A=80 °，则∠BIC = °； 130 20 如图，在△ABC中，点I是内心. (1)若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，则∠BIC=_____°； A B C I 120 巩固练习 22051 内切圆 定义 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆 性质 ①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. ②三角形的内心到三角形三边的距离相等. 课堂小结 22051 1.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 (　　) A．130° B．120° C．100° D．90° A 2.如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F. 若△ABC的周长为20，则AE＝____． 10 当堂检测 基础 22051 3.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，BC为⊙O的直径． (1)求证：AC∥OP； (2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长． A B O C P 当堂检测 提升 22051 解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，PO平分∠APB. ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO， ∴∠POA＝∠POB. ∵OA＝OC， ∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA， ∴∠BOA＝2∠OCA. ∵∠BOA＝∠POA＋∠POB＝2∠POB， ∴∠POB＝∠OCA. ∴AC∥OP. ∴∠OAC＝∠OCA. (1)求证：AC∥OP； A B O C P 当堂检测 提升 22051 (2)若∠APB＝60°，BC＝8 cm，求AC的长； (2)连接AB.易证△PAB为等边三角形， ∴∠PBA＝60°. 由(1)，得∠PBO＝90°， ∴∠ABO＝30°. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∵BC＝8 cm， ∴AC＝4 cm. A B O C P 当堂检测 提升 22051 $