30.3 课时1 正多边形和圆 课件 2026-2027学年人教版 数学九年级上册

30.3 正多边形与圆 课时1 正多边形与圆 仔细观察这四幅图中的正多边形，分别数一数它们的边数，每条边是否相等、每个角是否相等。你能发现这些正多边形有什么共同特征吗？ 各边相等，各角也相等 正多边形的定义：各边相等且各角也相等的多边形叫做正多边形 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？什么样的图形才是正多边形？ 只有各边相等 只有各角相等 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形. 缺一不可 我们知道，三角形有外接圆和内切圆，多边形是否有外接圆和内切圆呢？对于一般的多边形，容易知道，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切．对于特殊的正多边形和圆有什么关系呢？请动手试一试。 ①将圆四等分，依次连接四个分点，得到的四边形是正四边形吗？为什么？ ∵、、、四等分⊙，∴B = = = ∴弦==（同圆中，等弧对等弦），四边形四边相等。 又∵∠所对弧为，包含两段等分弧; 同理四个内角所对弧都相等。因此这个四边形是正四边形 活动1：动手操作--从圆中“长”出正多边形 活动1：动手操作--从圆中“长”出正多边形 ②将圆五等分、六等分，依次连接分点，得到的五边形、六边形是正多边形吗？ (以圆的内接正五边形为例进行证明) ①五等分圆周后，每段弧相等，那么对应的弦相等吗？为什么？ ②各边相等已经成立。如何证明各角相等？ ③顶点都在圆上，你能利用圆周角定理证明角相等吗？ 如图，把⊙分成相等的段弧，依次连接各分点 得到五边形. ∵ = = = = ∴====, =3=. ∴∠=∠. 同理∠=∠=∠=∠ 又∵五边形 的顶点都在⊙上 ∴五边形是⊙的内接正五边形， ⊙是正五边形 的外接圆. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的这个多边形就是这个圆内的正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 活动2：认识正多边形和它的外接圆的相关量 观察正多边形和它的外接圆，思考下列问题： ①圆心在正多边形中处于什么位置？ ②圆心到顶点的距离是什么？ ③相邻两个顶点与圆心形成的角是什么？它和正多边形的边有什么关系？ ④圆心到一条边的距离是什么？它和正多边形的边有什么关系？ 正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距. E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 思考：是否所有的正多边形都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且这两个圆是同心圆 各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形. 活动3：公式推导：正边形的内角、外角、中心角 正边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 多边形内角和为（－2）×180°，正边形所有内角相等，因此一个内角的度数为： 正边形的一个外角的度数任意多边形的外角和为°，正边形所有外角相等，因此一个外角的度数为： 正多边形的中心角是指以其外接圆圆心为顶点，相邻两个顶点与圆心连线的夹角，整个圆周为360°，因此中心角的度数为： . 正多边形的中心角与外角大小相等，二者都等于： 活动3：公式推导：正边形的内角、外角、中心角 正边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 判断对错： 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 各边相等的多边形是正多边形吗？ 各角相等的多边形是正多边形吗？ （ ） （ ） （ ） （ ） √ √ × × 完成下面的表格 正多边形边数 内角 中心角 外角 3 4 6 例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形．求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). ①已知正八边形的半径，求面积，需要先求什么？ ②在图中连接、，作⊥。你能找出一个包含半径、半边长、边心距的直角三角形吗？ ③这个直角三角形有什么特殊之处？中心角的一半是多少度？ ④等量关系是什么？如何求面积？ 解：如图，连接，，作，垂足为. ∵ 八边形是半径为6m的正八边形，360° ∴==6，∠= 45° 又 △为直角三角形，∴ ∠=∠. ∴ =. 在Rt△中，由勾股定理，得²+²=² ∴= =3 因此，宝塔地基的面积=8×××=8××6×3=72≈ 101.8(m²). 例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为6 m的正八边形．求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). 思考：在正多边形中，连接半径、作边心距，你能发现一个特殊的三角形吗？ 正多边形常见辅助线做法构造以半径边长的一半和边心距为三边的直角三角形。 回顾四个探究活动，梳理本节课收获 1.正多边形定义：_________________; 2.正多边形与圆： 等分圆周→依次连接分点→圆内接正多边形； 经过各分点作切线→圆外切正多边形; 3.核心概念：中心、半径、中心角、边心距; 4.公式：内角=____________，外角=_________， 中心角=_________；中心角=外角=_________。 各边相等且各角相等 正多边形 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 中心 半径 边心距 中心角 正多边形与圆 中心角 内角 外角 周长 面积 正多边形的定义 1.已知，正六边形的面积为， 则正六边 形的边长为( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 C 2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ . cm B. C. D. 3.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图①），组成了一个完美的六边形（正六边形），图②是其平面示意图，则∠1 的度数为( ) B 4.有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 B 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积： 在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝ 4m O A B C D E M r 解：过点O作OM⊥BC于M. F 22 $