第3章 圆单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏州市初三数学圆单元测试卷，全面覆盖圆的性质、位置关系、切线等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|点与圆位置关系、外心性质等|基础概念辨析，如第2题考查外心位置与三角形形状关系| |填空题|8|正多边形中心角、圆锥侧面积等|结合实际情境，如第14题测量铁环半径，体现应用意识| |解答题|11|切线证明、动态问题等|综合题融合正方形、直角三角形，如第25题切线与勾股定理结合；新定义“关联点”题（27题）培养创新思维与模型意识|

苏州市2026-2027第一学期初三数学圆单元测试卷 一、单选题 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 3．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 10．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 11．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 12．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 13．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 14．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 15．图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．根据割圆八线图绘制出图2，在扇形中，，和都是的切线，切点分别为点A，B，交于点E，交于点D．若， ，则的长为___________． 16．如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为___________． 三、解答题 17．如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是______；外接圆半径为______； (3)该圆圆心到弦的距离为______． 18．如图1，为的内接三角形，点为延长线上一点，点在上（与点位于弦的两侧）． (1)若，，求的度数； (2)作图：在图2中，请用无刻度的直尺和圆规在上找出点，使得． 19．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．直线切半圆于点，于点，交半圆于点． (1)求证：平分； (2)若，，求． 21．如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 22．如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 23．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 24．如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求长． 25．如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接． (1)直接写出与的位置关系； (2)求证：； (3)若，，求的半径长． 26．如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 27．在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． (1)如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； (2)已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C A D B B 1．A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2．C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 3．B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 4．C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5．A 【分析】根据圆的相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 6．D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 7．B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 8．B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 9．十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 10． 【分析】利用周长公式先求出底面周长，再用这个圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为， ∴这个圆锥的侧面积． 11． 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 12． 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 13． 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 14． 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 15． 【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∴， 是的切线，点是切点， ， 即， ， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键． 16． 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为1， ， ， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 17．(1) 如图，点O即为所求； (2)， (3) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据外接圆是垂直平分线的交点，故作出，的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，即可作答． （2）观察（1）中的图，得出点O的坐标为，结合网格与勾股定理的性质，得出外接圆的半径 （3）取的中点H，连接结合垂径定理，得，得该圆圆心到弦的距离为即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：观察（1）中的图，得出点O的坐标为，外接圆的半径 故答案为：，； （3）解：取的中点H，连接， ，， ， 该圆圆心到弦的距离为， 故答案为：． 18．(1) (2) 如图，作的角平分线交圆于点，点即为所求；   【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论（同弧所对圆周角相等）和角平分线的作法， （1）根据同弧所对圆周角相等可得，，结合已知即可求出， （2）由（1）可知，进而可得，即是的角平分线，由此即可作图， 【详解】（1）解：∵，， ， 又， ， ∵ ∴. （2）略 19．(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，结合可得，则，由可得，因此，命题得证； （2）作于点，连接，先证明四边形是矩形，则，．设，则，在中，利用勾股定理构造方程，解得即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵直线切半圆于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，作于点，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 21．(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 22．(1) (2) 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【详解】（1）解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． （2），， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确做出辅助线是解题关键． 23．(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 24．(1)证明：如图，连接，则， ， 是的切线， ∴， 又∵， ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接，得到，再由切线得到，结合得到，然后得到，最后得到，然后得证结果； （2）过点作于点，先通过，，求得， ，然后设半径为，进而表示出、的长，再利用勾股定理列出关于的方程求解的值，最后得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ， ， 设，则 ， 在中，， ， 解得：， ． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（）利用圆周角定理，垂直定义即可求解； （）易证，再结合条件就可证得，易证，从而证得； （）连接，通过圆周角定理可得，所以，由角平分线性质可得，因为，，，所以，通过勾股定理得，设的半径为，则，，，由即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）证明：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径长为． 26．(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 27．(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的定义结合图象即可判断； ②根据题意作出对应的图形，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质得出点P的运动轨迹为圆环，并求出圆环的半径范围，最后根据点P在直线上求出点P横坐标取值范围； （2）结合题意，先分析出的“”关联点，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质及勾股定理求出点P的运动轨迹为圆环，并得到圆环半径的取值范围，再分情况分析出圆环与线段的交点情况，得到其临界值，最终可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意知，对于的“关联点”，则是等边三角形， 如图，，能与上不同两点A，B生成等边三角形， ∵与切线与y轴夹角小于，无法构成等边三角形， ∴的“关联点”是，； ②由题意知，若点P是的“关联点”，即，， ∴， 如图，在上任取两点A、B，作，使得，取，作，使，， ∴， 在中，， ∴， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 以点C为圆心，长为半径画圆，当点B固定，点A绕运动时，点P在优弧上， 当弦在上运动时，点P所在的轨迹为阴影部分的圆环，内环半径为2，外环半径为，即， 若点P在直线上，结合圆环半径，可得或． （2）解：对于的“关联点”， 如图，任作，取弦，作使得，，作交延长线于点C， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 作，使得，， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径的圆上运动，则， 即点P的运动轨迹是一个圆环， ∵，，，的半径为， 设点T沿从上向下运动， 此时分情况讨论临界点的情况： ①当点N在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：； ②当线段与T为圆心，为半径的相切时，则， 解得：； ③当点M在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $