第3章 圆（重难点单元自测）数学新教材苏科版九年级上册

第3章 圆 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①圆的定义为同一平面内到定点距离等于定长的所有点的集合，故本选项符合题意； ②弦的垂直平分线必过圆心，符合垂径定理的推论，故本选项符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； ④三角形的外心是各边垂直平分线的交点，到顶点的距离相等，但到边的距离不一定相等，而到三角形三条边的距离相等的点是三角形的内心，故本选项不符合题意； ⑤等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，则其所对的弦长度相等，故本选项符合题意； 综上，正确的有①、②、⑤，共3个，故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的半径为，则直径， ∵的长与直径的比为，即，解得．∴所对圆周角为．故选：A． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：设正方形的中心为点O， ∵正方形边长为2，∴由勾股定理得，对角线的长度为， ∵正方形的中心O是对角线的中点，∴， ∵要使四个等圆完全覆盖正方形，圆的半径必须大于或等于正方形内任意一点到其最近顶点距离的最大值， ∴正方形内任意一点到四个顶点的距离最大值为中心点O到顶点的距离为， ∴当等圆半径为时，四个等圆可完全覆盖正方形，且此为最小半径，故选：B． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，， ，∴． 5．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，，∴，在中，， ∵ 的半径为3，∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误； ∵，且，∴ 圆心A到直线的距离等于半径， ∴ 直线与相切，故C正确，D错误．故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【详解】解：连接， ∵，∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴，∴．∴点E在量角器上对应的读数是：．故选：C． 7．（25-26九年级上·河南三门峡·月考）如图，B为的半径上一点（不与点O，C重合），点E在圆上．以，为边作矩形，延长到点A，使，连接，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】A 【详解】解：∵矩形，∴，， ∴，∴，， ∵，，∴，故选：A． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 则有，且，∴为等边三角形，∴， ∵的直径为12，即，在中，， ∴的面积是 ． 9.（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴， 当时，则，即，∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵，∴，则， ∵，∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，，∵，∴， ∴，即，∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．故选：D． 10．（2026·安徽淮南·一模）已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵为直径，∴∴∴ ∴∴设 ∴∴；∴ ∴；∴；整理得， 解得；∴y的最大值为，即的最大值为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 【答案】/65度 【详解】解：连接，如下图所示：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：． 12.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 【答案】 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，则，解得， ∴，故答案为：． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦，∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为，故答案为：6． 14．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ，，，． ，，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点． ，，，． ，，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或．故答案为：或． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：∵四边形内接于，∴， ，∴， ，∴．是的直径，∴， ∵，∴，． 16．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接， 则有， 连接，可知当、、、四点共线时，有最小值； 如图，对于直线，当时，；当时，； ∴，，设，则有，， ∴，解得，∴， ∴，∴的最小值为． 17．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，直径为的上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点恰好落在直径上． （1）若，则______；（2）若与相交于点，且，则______． 【答案】 【详解】解：（1）如图所示，连接，∵是的直径，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：； （2）由旋转的性质可得劣弧和劣弧是等弧， ∴劣弧所对的圆周角度数等于劣弧所对的圆周角度数， ∵，∴的度数等于劣弧所对的圆周角度数的一半，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 【答案】或 【详解】解：如图，以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，， 此时，即为翻折后的线段， ①当时，作的角平分线，交上一点为，连接，， ∵，，∴，∴，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，则， 过点B作交于点N，∵，在中，， 由勾股定理得，，∴， 在中，由勾股定理得，， ∴弦的长度为； ②当时，作的角平分线，交上一点为，连接，， 同理可得为等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴， 过点作交的延长线于点M，∵，∴，则， 在中，，由勾股定理得，， ∴，在中，， ∴弦的长度为，综上所述，这条弦长为或．故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小；(2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由垂线段最短可知：所有过点A，与l相切的圆中，是最短的直径， 所以，半径最小； （2）解：如图，过点A作直线l于点D，以为边作等边三角形， 所以，，延长交直线l于点P，则, 以为边在的右侧构造等边三角形，以O为圆心，为半径作， 所以，,所以，，即， 所以直线是的切线，此时的度数为． 20．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：．(2)若圆O的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：∵，∴， ∴，∴，∴． （2）解：如图：连接，则，∵，．∴， ∵，∴，∴． 21．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线；(2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， ∵为的半径，∴是的切线； （2）解：∵的半径为10，∴，∴， 设，则，由勾股定理可得， ∴，解得：，∴． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0(2) (3)存在，， 或， 【详解】（1）解：若的半径为2， 则的“关联值”为，故答案为：0； （2）解：设圆的半径为，由题意得， ；；解得或舍去，∴的半径为； （3）解：存在，理由：根据的“关联值”的定义得， ，； ；即， ，而、都是正整数，且， 或，解得或． 23．（2026·云南昭通·一模）已知是的外接圆，过点B作． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线； (3)探索，发现与计算：如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)存在， 【详解】（1）解：，，． ，，是等边三角形，． （2）证明：如图，连接，． 由（1）得是等边三角形，，． ，． ，，． 是半径，∴直线是的切线． （3）解：存在，．理由如下： 如图，过点B作，交于点M，连接， 则，设，则， ，①， 是的直径，， ，②， 与相切，，∵，， 又，是线段的垂直平分线，③， 由①②③得，，， 为等腰直角三角形，， ，．，． 24．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）有一个边长为6的等边． 【概念理解】如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，，在中，，， 则，即，解得；故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （2）等圆，覆盖等边，的直径为，和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为；故答案为：； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心； 25．（25-26九年级上·陕西西安·期末）问题提出：（1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究（2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决（3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 【答案】（1）；（2）9；（3）修建这条小路最多要花费元． 【详解】解：（1）连接，，并延长交于D， ∵，∴是等腰三角形， 由三线合一得且，∴， ∴， ∵点是的外接圆的圆心，∴，设，则， ∴，即，化简得，解得； （2）解：连接并延长交半圆于点P，取半圆上一点，连接， ∵矩形为的中点，∴，， ∵以为直径作半圆，∴为的中点， ∴，， ∵，∴的最大值为； （3）如图，作射线交于点． 是劣弧，所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为， 连接，则（米）． 在中，，解得（米），（米）． 过点作，垂足为．，． 在中，（米）． 在中，（米），，点在内部． 连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接． ，即，为入口到上一点的最大距离． 过点作，垂足为，则（米），（米）， （米）， （米），修建这条小路最多要花费元． 26．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】（1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】（2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】（3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 【答案】（1）①扇形的面积为；②不能，理由见详解（2）点O与点E的距离为，扇形的面积为（3）扇形的面积S的取值范围 【详解】解：（1）①如图所示，连接， ∵，∴线段是过圆心的直径，则，， ∵是扇形，∴，即是等腰直角三角形， ∴，则，解得，（负值舍去）， ∴扇形的面积； ②不能，理由如下，已知扇形的面积，∴剪下后剩余的面积为， ∵扇形的半径为，∴扇形的弧长， ∴底面圆的周长，∴底面圆的半径， 在被剪掉的最大的一块余料中剪出一个最大的圆，设这个圆的半径为 由题意得： ∵∴ ∴不能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面； （2）如图所示，过点作，连接， ∴，即点是的中点， ∵是等腰直角三角形，∴，即点共线， ∴，， ∴扇形的面积，在中，， ∴，∴； （3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形， ∴， ∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为， 由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，， ∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接， ∴，∴，且， ∴是等边三角形，∴，∴扇形的面积； 当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点， ∴，，，∴， 在中，，即， 解得，，∴，∴扇形的面积； 综上所述，扇形的面积S的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②弦的垂直平分线经过圆心；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤等弧所对的弦相等．正确的说法有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在中，的长与的直径的比为，则所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 7．（25-26九年级上·河南三门峡·月考）如图，B为的半径上一点（不与点O，C重合），点E在圆上．以，为边作矩形，延长到点A，使，连接，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·安徽淮南·一模）已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 12.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长，圆锥高为，则该圆锥的母线长为____． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 14．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为_______． 16．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________． 17．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，直径为的上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到，点恰好落在直径上． （1）若，则______；（2）若与相交于点，且，则______． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的． (1)过点A，与l相切且半径最小；(2)过点A，与l相切于点P，的度数为． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 20．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在圆O中，，于E． (1)求证：．(2)若圆O的半径为5，，求的长． 21．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线；(2)已知的半径为10，，求的长． 22．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）定义：一个圆的面积与周长的数值之差，称为该圆的“关联值”． 例如：若的半径为，则的“关联值”为． (1)若的半径为，则 的“关联值”为 ； (2)若的“关联值”为，求的半径； (3)是否存在两个半径分别为、的圆（、都是正整数，且，两圆的“关联值”相差？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 23．（2026·云南昭通·一模）已知是的外接圆，过点B作． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线； (3)探索，发现与计算：如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）有一个边长为6的等边． 【概念理解】如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 25．（25-26九年级上·陕西西安·期末）问题提出：（1）如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为_____． 问题探究（2）如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为_____． 问题解决（3）某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？ 26．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）． 【初步探究】（1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形． ①请求出扇形的面积． ②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由． 【深入探究】（2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积． 【拓展探究】（3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围． 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