第1章《一元二次方程》单元自测卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1章《一元二次方程》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则：的值是（   ） A．－2 B．1 C．7 D．10 4．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 6．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 7．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将边长为8的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16时，移动的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 9．已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 10．若方程的两根满足，则在下列关于、的等量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，是方程的两个根，则_______． 12．已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 13．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 14．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 15．若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 16．如图，四边形是边长为的菱形，对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，于点，则的长度是________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）解方程： (1)． (2)． 18．（4分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19．（6分）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 20．（8分）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，，且，求的值． 22．（10分）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 23．（10分）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 24．（10分）已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 25．（12分）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 参考答案 一、选择题 1．A 解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 2．C 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 3．D 解∶∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴，． ∴， 故选∶D． 4．A 设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 5．A 解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 6．A 7．C 当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 8．A 解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为16， ∴， 解得，符合题意， 即， 故选：A． 9．B 解：∵a、b是一元二次方程的根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 10．D 解：∵方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系可得：，， 又 ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 将 代入： ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．12 解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 12． 解：设方程的两根分别为，则， ， 点在正比例函数的图象上， 将点代入，得 ． 13． 解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 14． 解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 15． 解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 16． 解：四边形是边长为的菱形， ，，，， ， ， 对角线和的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ， ， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， ， ，即， ． 三、解答题 17．（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 18．（1）证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19．（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 20．（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 21．（1）证明：对于一元二次方程，其判别式为， 在一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，方程必有两个不相等的实数根． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴m和都满足方程， 对于一元二次方程， 有， ∵m和是方程的两个根，且， ∴， ∴．8分 22．（1）证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 23．（1）解：∵b=1，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 24．（1）证明：， ∵， ∴， 故无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个实数根为、， 则，， ∵， ∴， 即， 又∵， 代入，得， 即， 两边乘以4，得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：设方程的两个整数根为、， 则，． 由，得， 代入，得， 即， 两边加1，得， ∴． ∵、为整数， ∴、为整数，且乘积为， 可能情况如下：①，，得，，； ②，，得，，； ③，，得，，； ④，，得，，； ⑤，，得，，； ⑥，，得，，； 综上，的值为、、． 25．（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于. 学科网（北京）股份有限公司 $