30.1.2 第2课时 切线长定理（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第30章 直线与圆的位置关系 30.1.2 第2课时 切线长定理 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 30.1.2 第2课时 切线长定理 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 切线长定义 从圆外一点引圆的切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)**这点到切点之间的线段长**\(OA\perp PA，OB\perp PB\)叫做这点到圆的切线长。 > 注意：切线是直线；切线长是**线段长度**。 ### 2. 切线长定理 从**圆外一点**引圆的两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)它们的**切线长相等**； 这一点和圆心的连线**平分两条切线的夹角**。 已知：$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$切$\odot O$于$A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B$两点 结论： ① $\boldsymbol{\(\boldsymbol{PA=PB}\)}$ ② $\boldsymbol{\angle APO=\angle BPO}$ ### 常用推论 连接$OA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)OB$：$OA\perp PA\(OA\perp PA，OB\perp PB\)OB\perp PB$； $O\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)P\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B$四点中\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$。 > 易错提醒 1. 前提：**同一点向同一个圆引两条切线**； 2. 切线长是线段\(OA\perp PA，OB\perp PB\)不是切线； 3. 圆心和圆外点连线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)不仅平分夹角\(OA\perp PA，OB\perp PB\)还垂直平分两切点连线$AB$。 ## 一\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)选择题（每题4分\(OA\perp PA，OB\perp PB\)共20分） 1. 从圆外一点向圆引两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)两条切线长（） A.不相等 B.相等 C.互相垂直 D.互相平行 2. $PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$是$\odot O$切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B为切点\(OA\perp PA，OB\perp PB\)则$\angle APO$与$\angle BPO$关系（） A.互补 B.互余 C.相等 D.和为90° 3. $PA$切$\odot O$于A\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$OA$是半径\(OA\perp PA，OB\perp PB\)则（） A.$OA\parallel PA$ B.$OA\perp PA$ C.$OA$与$PA$夹角60° D.$OA$与$PA$夹角4\(\boldsymbol{5}\)° 4. 从P点引$\odot O$两条切线$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(PA=6\)$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)则$\(PB=\)$（） A.3 B.6 C.12 D.无法确定 \(\boldsymbol{5}\). 下列说法正确的是（） A.切线就是切线长 B.圆上一点可以作两条切线 C.圆外一点引两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长相等 D.圆内一点可作两条切线 ## 二\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)填空题（每题4分\(OA\perp PA，OB\perp PB\)共20分） 6. 从圆外一点引圆的两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)它们的________相等。 7. 圆外一点与圆心的连线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)________两条切线的夹角。 8. $PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$切$\odot O$于A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(PA=\(\boldsymbol{5}\)\)$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)则$\(PB=\)$________。 9. 切线是直线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长是________。 10. $PA$是切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)A是切点\(OA\perp PA，OB\perp PB\)则$OA$与$PA$的位置关系是________。 ## 三\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)解答题（共60分） 11.（12分）判断对错\(OA\perp PA，OB\perp PB\)错误写出理由。 (1) 从圆外一点引圆两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长相等； (2) 切线长就是切线； (3) 圆上一点可以作两条切线。 12.（16分）已知$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$是$\odot O$的两条切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B是切点\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(PA=8\)$。 (1) 求$PB$长度； (2) 若$\angle A\(PB=\)60^\circ$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)求$\angle APO$； (3) 连接OA\(OA\perp PA，OB\perp PB\)OA和PA的位置关系？ 13.（16分）已知$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$切$\odot O$于A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B两点\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(OA=3\)$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$∠A\(PB=\)80^\circ$。 (1) $PA$与$PB$相等吗？ (2) 求$\(\angle APO\)$； (3)$OA$与$PA$垂直吗？为什么？ 14.（16分）$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$切$\odot O$于A\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)B\(OA\perp PA，OB\perp PB\)连接OP交AB于M。 (1)$PA\(PA\(A\(OA\(PA、PB\)OB\)B\)PB\)PB$数量关系； (2)$OP$与$\(∠APB\)$关系； (3)$OP$与线段AB有什么位置关系？ --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 2.C 3.B 4.B \(\boldsymbol{5}\).C ### 填空题 6. **切线长** 7. **平分** 8. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$ 9. **线段的长度** 10. **互相垂直** ### 解答题 11. (1) √\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长定理。 (2) ×；切线是直线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长是线段的长度\(OA\perp PA，OB\perp PB\)概念不同。 (3) ×；过圆上一点**只能作1条**圆的切线。 12. (1)由切线长定理\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(PB=\)PA=\boldsymbol{8}$ (2)$OP$平分$\(∠APB\)$\(OA\perp PA，OB\perp PB\)$\(\angle APO\)=\dfrac12\times60^\circ=\boldsymbol{30^\circ}$ (3)$\boldsymbol{OA\perp PA}$（切线性质） 13. (1)相等\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长定理 (2)$\(\angle APO\)=\dfrac12\angle A\(PB=\)\boldsymbol{40^\circ}$ (3)垂直；因为PA是切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)A是切点\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线垂直过切点半径。 14. (1)$\boldsymbol{\(\boldsymbol{PA=PB}\)}$ (2)$OP$平分$\(∠APB\)$ (3)$OP$垂直平分$AB$ > 本节小结 切线长定理：**一点两切线\(OA\perp PA，OB\perp PB\)切线长相等；圆心连线平分夹角\(OA\perp PA，OB\perp PB\)垂直平分切点连线**。 经常结合“切线垂直半径”一起做题。 下一课：**30.1.3 三角形的内切圆**\(OA\perp PA，OB\perp PB\)继续写配套练习吗？也可以只导出纯题目不带答案。 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A 探究新知 切线长定理及应用 知识点 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 探究新知 O. P A B M N C P 1.切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 探究新知 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 探究新知 B P O A 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA，PB分别切☉O于点A，B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 探究新知 O. P 已知，如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点, ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 探究新知 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点, ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB. 又∵PC=PC， ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）. ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 探究新知 1. 返回 已知：⊙O和⊙O外一点P. 尺规作图：在图中，过P点作⊙O的两条切线PE，PF，E，F为切点． 解：①连接PO，作PO的垂直平分线AB交PO于点C； ②以点C为圆心，CO长为半径作圆交⊙O于点E，F， ③作直线PE，PF，则直线PE，PF即为所求． 举一反三 10 返回 2. 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　) C 举一反三 返回 3. [邢台校级期中]如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 举一反三 例1 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB 的周长. · A B O P 切线长定理的应用 素养考点 1 探究新知 分析 根据切线长定理可证明△PAB 是等边三角形，根据切线的性质，可连接切点和圆心得垂直，即PA⊥AO，根据直角三角形的性质求边长，即可求解. 13 · A B O 解：如图 ，连接 OA. P 探究新知 ∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又 ∠APO=30°， ∴ ∠APB=60°. ∴ △PAB 是等边三角形. ∴ AB=PA=PB. 又 在 Rt△POA 中，∠APO=30°，OP=2， ∴ OA=1，PA==​． ∴ △PAB 的周长为 3​． 14 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 切线长定理在生活中的应用 素养考点 2 探究新知 B C 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP，OA. ∵AP，AQ为⊙O的切线， ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 探究新知 B C 返回 4. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则线段PO的长度为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 B 举一反三 【情境题 生活应用】如图是一个不倒翁的示意图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，连接OA，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为________． 5. 返回 50° 举一反三 [北京期末]如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA＝5 cm，则△PCD的周长为________cm. 返回 6. 10 举一反三 返回 7. 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求证：OB⊥OC； 证明：如图，连接OF.根据切线长定理得， BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴OB⊥OC. 举一反三 返回 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (2)求CG的长． 解：由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝ ∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC. 举一反三 返回 ∵CF，CG分别与⊙O相切于点F，G， ∴CG＝CF＝6.4 cm. 举一反三 返回 8. 【易错题】[自贡中考]PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．50° B．100° C．130° D．50°或130° D 举一反三 返回 9. [泸州中考]如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° C 举一反三 24 返回 10. 如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论： ①点A是PO的中点； ②直线PQ，PR都是⊙O的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④S△PQA＝ S四边形PROQ. 对上述结论描述正确的是(　　) A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②③正确 D．①②③④都正确 C 举一反三 25 11. [保定期末]如图，正方形ABCD的边长为6，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则梯形ABCE的面积为________． 返回 举一反三 26 返回 12. [北京期末]如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．若PA＝10 cm，则△PCD的周长为________；若∠P＝40°，则∠COD＝________°. 20 cm 70 举一反三 27 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．4 B．4 C．8 D．8 ＝10 cm. ∴S△BOC＝OB·OC＝BC·OF， 即×6×8＝×10×OF. ∴OF＝4.8 cm. ∴CF＝＝6.4 cm. $