30.1.2 课时2 切线长定理 课件 2026-2027学年人教版 数学九年级上册

30.1.2 圆的切线 课时2 切线长定理 第一步：连接OA； l .O . A 第二步：过A点作OA的垂线l.即为圆的切线. 如何过圆外一点作圆的切线？ 1.如图，点A是⊙O上一点 过一点作圆的切线，这个点的位置在哪？ 2.如图，P是⊙O外一点 分析：因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切， 所以需在⊙O上确定一点A，满足 . 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆， 是这个圆的直径. 因此以 为直径作圆，该圆与⊙O的交点即所要确定的点. OA⊥AP，即∠OAP=90° OP OP 问题1：如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 作法：(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线 MN，与OP交于点C； (2)以点C为圆心，CO为半径作圆， 与⊙O相交于A，B两点； (3)作直线PA，PB，即所求作的切线. 问题1：如图，P是⊙O外一点，如何过点P作⊙O的切线？ 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切. 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长(如图中的线段PA，PB的长)，叫作这点到圆的切线长. 注意： ①切线是直线，不可度量； ②切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 问题2：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP.线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系? O P A B 发现：①PA=PB ②PO平分∠APB O P A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP. ∴Rt△POA≌Rt△POB. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 请证明你所发现的结论. PA，PB分别切⊙O于A，B PA = PB ∠APO=∠BPO 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法. O P A B 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 C 2.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 例1：如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB 的周长. · A B O P 分析：根据切线长定理可证明△PAB 是等边三角形，根据切线的性质，可连接切点和圆心得垂直，即PA⊥AO，根据直角三角形的性质求边长， 即可求解. 11 · A B O 解：如图 ，连接 OA. P ∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又 ∠APO=30°， ∴ ∠APB=60°. ∴ △PAB 是等边三角形. ∴ AB=PA=PB. 又 在 Rt△POA 中，∠APO=30°，OP=2， ∴ OA=1，PA==​． ∴ △PAB 的周长为 3​． 12 3.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA＝5 cm，则△PCD的周长为________cm. 10 切线长 切线长定理 尺规作图 切线长定理 过圆外一点作圆的切线. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 14 1.如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B.若 ∠AOB＝122°，则∠APO＝( ) A.68° B.58° C.29° D.22° C 随堂小练 B P O A 2.PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= . 5 6 解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA=PB，∠OAP=90°. ∴∠PAB=∠PBA. ∵∠BAC=25°， ∴∠PAB=∠OAP-∠BAC=65°， ∴∠P=180°-65°×2=50°. 3.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数. 4.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； （3）写出图中所有的全等三角形. （1）OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （2）∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC. O B A P E C D $