30.1.2圆的切线（第2课时 切线长定理 ）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，涵盖概念辨析、定理推导及双切线模型。通过过圆上点作切线过渡到圆外点作切线的问题链，结合尺规作图活动，衔接切线性质与判定，搭建学习支架。 其亮点是完整探究过程（观察-操作-猜想-证明-归纳），如定理推导中尺规作图确定切点并全等证明，培养推理能力。模型化总结双切线结论，结合测量铁环半径等实例发展模型意识。课堂小结系统梳理，助力学生掌握，为教师提供清晰教学路径。

30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 第二课时： 切线长定理 第三十章 直线与圆的位置关系 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 准确区分切线与切线长的概念，掌握切线长的定义.理解并熟练掌握切线长定理的内容，能准确写出定理文字语言、图形语言、符号语言.能利用切线长定理解决线段求值、角度计算、简单几何证明问题，掌握双切线基本几何模型的隐含结论. 经历“观察图形—动手操作—猜想结论—全等证明—归纳定理”的完整探究过程，提升几何猜想与逻辑推证能力.通过例题探究与模型归纳，学会挖掘图形隐含条件，掌握圆双切线问题的通用解题思路. 在定理探究与几何建模中，感受圆的轴对称几何美感，激发几何学习兴趣.在严谨的推理论证、规范解题过程中，养成实事求是、严谨细致的数学思维品质. 知识回顾 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质定理 l .O A (1)过圆心 (2)过切点 (3)垂直于切线 任意两条件能得第三个结论成立 一条直线如果满足 l 根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一 根据切线性质,我们经常做的辅助线 切线的判定方法 (1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是“作垂直,证半径”。 (2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线，也就是“连半径,证垂直”。 （1）利用定义(当直线和圆有唯一公共点时) （2）用圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆的半径 （3）切线的判定定理： 过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线 切线的判定方法常用辅助线 O A l r 知识回顾 导入新课 （1）如图，点P是⊙O上的一点，过点P 如何画圆的切线？可作几条切线？ O P l 数学活动： 过点P 作⊙O的切线 ∟ 方法： 连结OP,过P点作OP的垂线l， 直线l是切线 因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以过P点只能作一条直线与⊙O相切 一条切线 结论：过圆上一点可作1条切线 导入新课 （2）如图，点P是⊙O外任意一点，过点P 如何画圆的切线？可作几条切线？ O P 分析： 假设过P点的切线l切⊙O于A点， OA⊥AP, 即∠OAP=90° l 数学活动： 过点P 作⊙O的切线 ∟ 两条切线 结论：根据圆的轴对称性，过圆外一点可以作圆的2条切线 A 画法：如图所示，三角板的直角顶点在圆上，一条直角边经过圆心，另一条直角边过P点，沿过P点的边画直线为圆的切线 可以借助直角三角板画过P的切线 B 导入新课 过圆外一点P，作⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点） 分析：（1）如图，P 是⊙O 外一点，因为两点确定一条直线，过点 P 作⊙O 的切线关键是确定切点位置 O P （4）以OP 为直径作圆，该圆与⊙O 的交点即所要确定的切点. （2）所求作的直线过点 P 且与⊙O 相切，所以需在⊙O 上确定一点 A，满足 OA⊥AP，即∠OAP = 90°. 能用尺规画图法画吗？ 数学活动： 过点P 作⊙O的切线 （3）由此可知，点 O，P，A 可以确定一个圆，OP 是这个圆的直径. ∟ A 作法： 导入新课 (3）作直线PA，PB， ∴直线PA、PB所求作的切线. O P M N A B 导入新课 尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，过P点作⊙O切线PA、PB 数学活动： 过点P 作⊙O的切线 (1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； (2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； C 观察图形猜想：PA与PB、∠APO与∠BPO有何数量关系？ O P A B C 导入新课 本节课探究圆外一点双切线的数量与角度规律——切线长定理. 新知探究 探究点1 切线长概念辨析 议一议 切线长：从圆外一点引圆的切线，这点到切点之间的线段的长度，叫做圆的切线长. O P A B 线段PA，PB的长则为点P到⊙O的切线长. 1. 切线长定义 新知探究 探究点1 切线长概念辨析 议一议 切线与切线长的概念对比辨析： P A B 切线：是一条与圆相切的直线，无限延伸、不可度量长度； 切线长：是线段，两个端点分别为圆外定点与切点、可度量长度. O 说说切线与切线长有什么区别. O 新知探究 探究点2 切线长定理推导证明 几何猜想：如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，则PA=PB，∠APO=∠BPO。 P A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵ PA、PB是⊙O的切线 ∴ OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质定理） ∴∠OAP=∠OBP=90° 又OA=OB，OP=OP ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL) ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO 思考 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。 几何语言: 新知探究 探究点2 切线长定理推导证明 归一归 ∵PA，PB分别切⊙O于A，B ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法. 2. 切线长定理 O P A B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. 结论： *OP垂直平分AB， *图形关于直线OP轴对称 新知探究 探究点2 切线长定理推导证明 O P A B E C D 思考 证明一： ∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ， ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB 证明二： ∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∴P在线段AB的垂直平分线上 ∵ OA=OB ∴O在线段AB的垂直平分线上 ∴OP垂直平分AB（两点确定一条直线） 新知探究 探究点2 切线长定理推导证明 议一议 O P A B PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （4）写出图中所有的全等三角形； （3）写出图中所有的等腰三角形； （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE，PA=PB，AC=BC. E C D △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP △ABP ， △AOB 切线长定理运用的基本模型： （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点 典例分析 例1 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，∠APB=60°，OA=3，求△PAB周长. A B P O 解：∵PA是⊙O的切线，A为切点， ∴OA⊥PA，即∠OAP=90°（切线的性质定理） ∵PA、PB是⊙O切线 ∠APO=∠APB= ×60°=30°（切线长定理） ∴OP=2OA=2×3=6 由勾股定理得： PA===3 ∵∠APB=60°，PA=PB ∴△PAB为等边三角形， ∴△PAB周长为3× 3=9 . 答：△PAB周长为9. 解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 典例分析 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，求铁环的半径． ∟ 新知巩固 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数. A O B C P 【教材P145 】 解：由切线长定理可知PA=PB. ∵PA是⊙O的切线. ∴∠OAP=90°. ∵∠BAC=25°, ∴∠BAP=65°. 又∵PA＝PB, ∴∠BAP=∠ABP=65°. ∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°. 新知巩固 【教材P145 】 O P A B E C D 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系; (2)如果PA=4，PD=2，求⊙O的半径长. 解：（1）图中的垂直关系有： OA⊥PA、OB⊥PB、OP⊥AB（即OE⊥AB）‌。 ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点 ∴OA⊥PA、OB⊥PB、 ∵ PA=PB ，OA=OB ∴OP⊥AB （到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）‌。 新知巩固 【教材P145 】 O P A B E C D 2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E. (1)写出图中所有垂直关系; (2)如果PA=4，PD=2，求⊙O的半径长. 解：（2）设 ⊙O 半径为 r， ∴ OA=OD=r，OP=OD+PD=r+2。 在 Rt△OAP 中，由勾股定理： r² + 4² = (r+2)² r² + 16 = r² + 4r + 4 4r = 12 ‌r = 3‌ ∴ ⊙O 的半径为 ‌3‌。‌‌ 拓展提升 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 解：(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于，∴． ∵，∴． （角平分线上的点到角两边距离相等） ∵是的半径，∴也等于的半径， ∴是的切线． ∟ 拓展提升 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． 拓展提升 1．如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． ②连接， ∵在中，， ，， ∴ ， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∟ ∴扇形的面积： ． ∵的面积： ： ∴． 真题感知 1．（25-26陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（  ） A． B． C． D． 解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有 ，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． D 真题感知 2．（2026.珠海校考）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 解：∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴ ， ∴的周长为12， ∴， ∴. B 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点．  (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 真题感知 （1）证明：如图中，连接．  是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． ∟ 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点．  (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 真题感知 (2)证明：如图中，设．  ，， ， ， ， 垂直平分， ， ，平分． 3．（2026·内江·模拟）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点．  (1)求证：是的切线；(2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 真题感知 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心， 设的内切圆交于， 的直径为，， 垂直平分， ， ， ，， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． （1）核心概念： 切线（直线，不可度量）、 切线长（线段，可度量）； （2）切线长定理： 圆外一点引圆两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分切线夹角； （3）核心模型：双切线模型三大结论 PA=PB、∠APO=∠BPO、OP⊥AB. （4）必会应用： 线段求值、角度计算、简单几何证明. 课堂小结 知识与技能 O P A B 课堂小结 （1）数形结合思想： 依托几何图形挖掘边角关系，实现图形与数量条件互通； （2）转化思想： 将圆的切线问题转化为直角三角形、全等三角形问题求解； （3）模型化思想： 归纳双切线固定几何模型，实现题型归类、方法迁移. 思想与方法 课堂小结 ＊（1）概念混淆： 切勿将“切线”和“切线长”混用，分清直线与线段的区别； ＊（2）定理漏条件： 切线长定理只适用于圆外一点引两条切线的情况； ＊（3）审题疏漏： 解题易忘记“切线垂直于过切点半径”的隐含直角条件； ＊（4）推理漏洞： 直接套用结论不写依据，几何证明、计算步骤不规范. 易错点提醒 课后练习 5.如图，AB为的直径，PD，PE分别与相切于点A，C， ∠BCE=35 º.求∠P的度数. 解：连接 AC‌， ∵ AB 是直径， ∴ ∠ACB = 90°（直径所对圆周角为直角）。 ∵∠BCE=35 º. ∴ ∠ACP = 180° − ∠ACB− ∠BC E = 180° − 90° − 35° = ‌55°‌。 ∵ PD、PE 是切线， ∴ PA = PC， ∴ △PAC 是等腰三角形， ∠CAP = ∠ACP = ‌55°‌。 ∴ ∠P = 180° − 55° − 55° = ‌70°‌。‌‌ 习题 30.1 课本p155页 课后练习 9. 如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB. 证明：连接OC， ∵ CD为切线， ∴ OC⊥CD； 又AD⊥CD， ∴ AD∥OC， ∴ ∠ACO= ∠DAC ； ∵ OA=OC， ∴ ∠ACO= ∠OAC ，∴∠DAC=∠ OAC ， ∴ AC平分∠DAB。‌‌ 习题 30.1 课本p155页 课后练习 10.如图， 的直径AB与弦CD相交， ∠BAC=38°.过D作的切线，与AB的延长线交于点P，DP//AC.求∠ACD的度数. 解：连接OD， ∵ DP是⊙O的切线， ∴ ‌OD⊥DP‌， ∴ ∠ODP = 90°， 又∵ DP∥AC， ∴ ‌∠P = ∠BAC = 38°‌（同位角相等）。 ∵∠AOD = ∠ODP + ∠P = 90° + 38°= 128°。 ∴ ∠ACD = × ∠AOD = × 128° = ‌64°‌。 （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半：） 习题 30.1 课本p155页 课后练习 11.如图，在Rt△ABC中， ∠CAB=90°，D为AC的中点，以AB为直径的交BC于点E.求证:DE是的切线. 证明：连接OE、AE， ∵ AB是的直径， ∴ ‌∠AEB＝90°‌（直径所对圆周角为直角）。 ∵在Rt△AEC中，D是斜边AC的中点， ∴ ‌DE是斜边上的中线‌， ∴ DE＝AD，∠DEA＝∠DAE。 又∵ OE＝OA（半径相等）， ∴ ∠OEA＝∠OAE。 ∴ ∠DEO＝∠DEA＋∠OEA ＝∠DAE＋∠OAE＝∠CAB＝90°， ∴ ‌OE⊥DE‌。 ∴‌DE是的切线‌。‌‌（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线） 习题 30.1 课本p156页 课后练习 12. 如图，等圆 O1 和 O2 相交于A，B两点， O1经过O2的圆心O2. 求∠O1AB的度数. 解：连结O₂A、O₁O₂ ∵两圆是等圆，且 ⊙O₁ 经过 O₂， ∴半径 O₁A、O₂A、O₁O₂ 都相等， ∴△AO₁O₂ 是等边三角形，∠O₁AO₂ = 60°。 ∵两圆相交时，连心线 O₁O₂ 垂直平分公共弦 AB， ∴ AB 平分 ∠O₁AO₂， ∴ ‌∠O₁AB = 30°‌。‌‌ 习题 30.1 课本p156页 谢谢聆听 $