28.2相似三角形的判定（2）讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定定理2（两边对应成比例且夹角相等）、定理3（三边对应成比例）及直角三角形判定定理（斜边和直角边对应成比例），结合常考题型归纳，构建从定理理解到应用的学习支架，衔接前期相似三角形概念及判定基础。 资料通过“关键点”提示强化定理辨析（如非夹角不能判定、直角三角形前提），题型分层设计（例题+变式+综合题），培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过分层训练查漏补缺，提升应用意识。

沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2 相似三角形的判定(2) 学习目标 知识详解 【知识点01】 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 ⚠️：关键点：相等的角必须是两组对应边的夹角，非夹角不能判定相似。 【知识点02】相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 【知识点03】直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在和中，如果，，那么∽．A B C A1 B1 C1 ⚠️：关键点：只适用于直角三角形，普通三角形不可套用。 【知识点04】常考题型归纳 1. 定理辨析选择题 辨析SAS、SSS、HL的使用条件，重点判断“角是不是夹角”、是否满足直角三角形前提，排除错误说法。 2. 利用判定定理2(SAS)证明/计算题 题干给出线段长度、线段比例，找到两边的公共夹角或者推导得到夹角相等，证出相似后列比例式求解线段。 3. 利用判定定理3(SSS)网格题型 网格中算出三角形各边长度，计算三边比值，依靠三边成比例证明三角形相似。 4. 直角三角形HL相似专项题 题目给出直角条件，计算斜边、直角边的比例，直接使用HL判定相似，再进行后续计算。 5. 多定理综合证明题 结合已知条件灵活选用SAS/SSS/HL，完成相似证明，再结合相似性质求边长。 题型精讲 【题型01】 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例1-1】如图，四边形的对角线与相交于点，，，， ．A B C D O 求证：与是相似三角形． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：，，，， ， ． ，与是相似三角形． 【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等． 【例1-2】．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时，ADE与ACB相似． 【答案】(1)见解析 (2)或4 【分析】（1）将恒等式变形，进而根据夹角相等，两边对应成比例即可证明三角形相似； （2）分和两种情况分析，根据相似三角形的性质列出比例式代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：∵AD⋅AB＝AE⋅AC， ∴ 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB （2）ADE与ACB中，是公共的，则存在两种情形， ①当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 ②当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【例1-3】．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的定义作图即可． （2）借助勾股定理求出AB的长度，根据相似三角形的判定定理证明． 【详解】（1）如图，点D是所求作的点， （2）证明：，BC＝5，BD＝1， ，， ， ∵∠DBA＝∠ABC， ∴△ABD∽△CBA． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理． 【变式1-1】如图，在与中，，． 求证：． 【难度】★ 【答案】略．A B C D E 【解析】证明：， ， 即． ，． 【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似． 【变式1-2】如图，四边形是平行四边形，在边的延长线上截取，点在的延长线上，和交于点，和交于点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：. A B C D E F M N 参考答案： 证明：（1） ∵四边形是平行四边形， ∴∥， ∵，∴； 又∥， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，∴， 又，∴∽，∴； ∵∥，∴； ∵四边形是平行四边形，∴∥，∴； ∵四边形是平行四边形，∴∥，∴； ∴； 又，∴∽，∴， ∵，∴， ∴． 【变式1-3】如图，是内一点，是外一点，，， 求证：． A B C D E 【解析】证明：，， ，． ， 即， ，． 【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化． 【变式1-4】已知，在中，、是的两条高，、交于点．A B C E F G 求证：（1）；（2）． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1），， ，，即． （2），，． ，即，又， ，． 【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形． 【变式1-5】如图，在中，，是边上的高，点在线段上，， ，垂足分别为、． 求证：（1）；（2）．A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明： （1），是边上的高， ． ， ， ． （2），，， 四边形是矩形， ． ， ． ，是边上的高， 即有， ， ， ， ， 即， ． 【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换． 【题型02】 相似三角形判定定理3 【例2】根据下列条件判定与是否相似，如果是，那么用符号表示出来． （1），，，，， （2），，，，，． 【难度】★ 【答案】（1）相似，．（2）相似，． 【解析】略． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置． 【变式2-1】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：∽． A B C D E F 【解析】由图知：，，， ，，． ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3． 【变式2-2】：如图，在和中，，，求证：∽ 证明：设，则 在和中, ∴ ∴ ∴∽ 【变式2-3】的边长分别为a、b、c，的边长分别为、、，则与 （选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似． 【难度】★★ 【答案】不一定． 【解析】若时，相似；若a、b、c中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想． 【变式2-4】如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【答案】C 【分析】中，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【详解】解：由题意可得，中，，， ． A、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； B、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； C、中，，，， ∵， ∴， 即与相似，故本选项符合题意； D、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似． 【变式2-5】如图，．（1）求证：；（2）当°时，求证：． 参考答案：A B C E D 证明：（1） ∵ ∴△ABC∽△DEF ∴ （2） ∵△ABC∽△DEF ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴△ABD∽△ACE ∴ ∵ ∴ ∴ 即 【变式2-6】如图，在中，，，，，． 求证：∽．A B C D 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】，，． ，在中，． ，， ，∽． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识． 【变式2-7】已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上， 且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． 【难度】★★A B C D E F 【答案】略． 【解析】（1），， ． ． 在中，． （2）点分别是AD、AB的中点， ． 在、中，，． ， ∽． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识． 【题型03】 判定两个直角三角形相似 【例3】如图，在和中，，，垂足为D和，且 ．A B C D A1 B1 D C1 求证：∽． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：，， ． 又， ，． 同理可得：， ∽． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法． 【变式3-1】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为点E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）求线段AE的长．（ 参考答案：此题考查相似三角形判定及应用； （1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2. ∵AD∥BC，∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3. ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠C=90°. ∴△ABE∽△DBC. （2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE. ∴BD=2BE. 由△ABE∽△DBC，得. 1 2 3 ∵AB=AD=25，BC=32，∴. ∴BE=20． 【变式3-2】如图，四边形ABCD中，，，，． 求证：． A B C D 【解析】证明：，，， ． ． 又， ． ． 又， ． ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 【变式3-3】已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是 ． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】解：如右图，在中，， 于点，．设，，． 易证，得，得，所以 解得，，而，所以． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识． 【变式3-4】如图，在中，于D，于F，于G．求证：． A B C D F G 【解析】证明：，， ． 又， ． ，即． 同理可得：， ． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识． 【变式3-5】如图，在中，于D，于E，于F， 求证：∽． 【难度】★★A B C D E F 【答案】略． 【解析】证明：，， ． 又， ． ，即． 同理，可得：． ， 即 ． 又， ． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识． 【题型04】相似三角形的综合 【例4】已知的两直角边，的长分别为和，动点从点开始沿边向点运动，速度为；动点从点开始沿边向点运动，速度为．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时与相似？ 【答案】2.4秒或秒． 【分析】分和两种情形求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则由题意得：，， 当时， ， ∴， 解得，． 当时， ， ∴， 解得，． ∴经过2.4秒或秒，与相似． 【点睛】本题考查了有公共角的三角形相似问题，熟练掌握分第三边平行和不平行两种情形求解是解题的关键． 【变式4-1】如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点. (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到； （2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论； （3）根据第一问结论可得，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）(2)如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，四边形ABDC、CDFE、EFGH是三个正方形，则的值为 多少？A B C D E F G H 1 2 3 【解析】解：设正方形、、 的边长为1． 则，，，，． ， ． ． 四边形是正方形， ． ． 又， ． ． 【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键． 【变式4-3】如图，，．求证：． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：过点作于点，得． ，，． ，． ． 又， ． ， 即． ，即． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识． 【变式4-4】四边形对角线与相交于点，，． （1）求证：∽；（2）点在线段上，若∥，求证：． 证明：（1）∵，，D A B C O E ∴. 又， ∴∽. （2）由（1）得：∽. ∴. ∵∥， ∴. ∴. ∵， ∴∽. ∴. ∴. 【变式4-5】如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点． （1）证明：△∽△； （2）设，，求与的函数关系式，并写出它的定义域； C A D B E P 解：（1）∵矩形，， ∴ 题意 ∴ ∴ ∴△∽△ （2）点在边上，据题意： 又∵△∽△ ∴ ∴ ∴ 【变式4-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．    B．    C．    D．    【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C、∵ = ，对应边 = =， ≠ ， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、∵ = = ， = ， ≠， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误. 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 【变式4-4】在中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 一.选择题强化训练 1.下列命题中，说法正确的个数是（ ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； （2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似； （3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 【难度】★ 【答案】B 【解析】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，是等边三角形，于 点，是顶角为的等腰三角形，交的延长线于点， ，但与不相似；（4）错误． 【总结】本题考查了相似三角形的判定知识． 2.如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与 相似的是（ ） （A） （B） A B C D E F G H K （C） （D） 【难度】★ 【答案】A 【解析】三边对应成比例，两三角形相似． 【总结】本题考查了相似三角形的判定知识． 3．如图，将▲ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】根据等边对等角证明、相似三角形的判定综合、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE 【答案】D 【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D． 【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵∠EBF=∠DBC ∴△BFE∽△BCD，故选项A正确； ∴∠BFE=∠C， ∵∠AFD=∠BFE=∠C， 又∵∠ADF=∠BDC=90°， ∴△ADF∽△BDC，故选项B正确； ∵∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BDC∽△AEC， ∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确； ∵， ∴， ∵△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∵∠BDC=∠AEB=90°， 若△ABE∽△BCD， 满足条件， 即， ∴满足即， 连结FC， 应有△CEF∽△BDC， ∵∠FEC=∠CDB， ∴只要满足∠FCE=∠DBC， 应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点， 已知中没有点E为BD中点条件， ∴△BAE不一定与△BCD相似， 故选项D不正确． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键 二.填空题 5.如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是_________．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 6．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 三.解答题 7．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】(1)①，③ (2)证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定可以知道②、④的剪法不能得到相似三角形． （2）根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形即可证明． 【详解】（1）解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确； ②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误． ③由题，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 故③正确 ④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误． 故选：①，③ （2）解：①∵， ∴ 根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形 ∴． 解：③∵，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 根据相似三角形的判定：两别对应成比例，夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定定理 8.如图，A是等边的边RQ的延长线上的点，B是QR延长线上的点． （1）若，求证：； （2）若，当RB与QR满足什么条件时，∽？ （3）有可能与相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．A B P Q R 1 2 【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ，， ． ，而， ， ． ，即， ； （2）当时，∽； （3）与不可能相似，因为，所以，所以不可能相似． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质，此图也是相似常考图形． 9．已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点， (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】等腰梯形的性质定理、相似三角形的判定综合 【分析】（1）先由得到，然后由得证； （2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （2）∵梯形中，， ∴   又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证． 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2相似三角形的判定(2) 学习目标 判定定理2（两边对应成比例且夹角相等-SAS) 判定定理3（三边对应成比例-SSS)】 要点知识归纳 直角三角形相似判定(HL) 课堂要求 定理辩析选择题 利用判定定理2(SAS)证明/计算题 利用判定定理3(SSS)网格题型 常考题型归纳 直角三角形HL相似专项题 多定理综合证明题 知识详解 【知识点01】相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个 三角形相似. 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 AB AC 如图，在△MBC与△4BC中，∠A=∠A,4B4C,那么△MBC∽A4BC. A △：关键点：相等的角必须是两组对应边的夹角，非夹角不能判 定相似。 【知识点02】相似三角形判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三 角形相似. 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似 AB BC CA 如图，在△ABC与△4BG中，如果AB B,CC4,那么△ABC∽△4B,C. C1 【知识点03】直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直 角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似， 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似. AB BC 如图，在RIAABC和RA4BC中，如果∠C=∠G=90°，ABBC,那么 △ABC∽△4BC. A：关键点：只适用于直角三角形，普通三角形不可套用。 【知识点04】常考题型归纳 1.定理辨析选择题 辨析SAS、SSS、HL的使用条件，重点判断“角是不是夹角”、是否满足直角三角 形前提，排除错误说法。 2.利用判定定理2(SAS)证明/计算题 题干给出线段长度、线段比例，找到两边的公共夹角或者推导得到夹角相等，证出 相似后列比例式求解线段。 3.利用判定定理3(SSS)网格题型 网格中算出三角形各边长度，计算三边比值，依靠三边成比例证明三角形相似。 4.直角三角形HL相似专项题 题目给出直角条件，计算斜边、直角边的比例，直接使用HL判定相似，再进行后 续计算。 5.多定理综合证明题 结合己知条件灵活选用SAS/SSS/HL,完成相似证明，再结合相似性质求边长。 题型精讲 【题型01】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【例1-1】如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA=2,OB=3, 0C=6,0D=4. D 求证：△OAD与△OBC是相似三角形. y o 【例1-2】，如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，连接DE A E B (1)若ADAB=AEAC.求证：△ADE一△ACB: (2)若AB=8,AC=6,AD=3,直接写出：当AE=_时，△ADE与△ACB相似. 【例1-3】·如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上. (1)请在BC上标出点D,连接AD,使得△ABD~△CBA: (2)试证明上述结论：△ABD一△CBA. AB AC 【变式1-1】如图，在△MBC与△4ED中，AEAD,∠BAD=∠CAE A 求证：△MBC∽△AED, D 【变式1-2】如图，四边形1（骨，o)是平行四边形，在边M的延长线上截取一 点L在M的延长线上，△APQ和Q:i交于点4CD,4CAB和品器交于点 (1)求证：四边形DM=4X是平行四边形： (2)如果AM=4,求证：—号 【变式1-3】如图，D是△4BC内一点，E是△MBC外一点，∠EBC=∠DBA, ∠ECB=∠DAB,求证：LBDE=∠BAC. A B E 【变式1-4】已知，在△MBC中，BE、CF是△ABC的两条高，BE、CF交于点G A 求证：(1)ACCE=CF.GC:(2)∠AFE=∠ACB E ⊙ C 【变式15】如图，在△MBC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的高，点E在线段DC上， EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G. EG CG 求证：(1)ADCD;(2)FD⊥DG. A G B 0 C 【题型02】相似三角形判定定理3 【例2】根据下列条件判定△ABC与△DEF是否相似，如果是，那么用符号表示出来. (1)AB=2cm,BC=3cm,CA=4cm,DE=10cm,EF=15cm,FD=20cm (2)AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF =4cm,FD=8cm. 【变式2-1】如图，在边长为1个单位的方格纸上，有△MBC与△DEF.求证：△MBC∽ B △FDE. AB AC 【变式2-2】：如图，在R1△1BC和RA4BC中，∠C=∠C=90,ABAG,求 证：△ABC∽△4B,C A1 B C 【变式2-3】△4BC的边长分别为a、b、c,△4B,C的边长分别为Va、V万、c,则 △ABC与△4B,C (选填“一定”、“不一定”或“一定不”)相似. 【变式2-4】如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上， 那么与△EFG相似的是() C D B A A.以点E、F、A为顶点的三角形 B.以点E、F、B为顶点的三角形 C.以点E、F、C为顶点的三角形 D.以点E、F、D为顶点的三角形 AB AC BC 【变式2：5】如图，AD AE DE.(1)求证：∠B=∠ADE:(2)当∠BAC=90 时，求证：EC⊥BC, 【变式2-6】如图，在△4BC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=2,CD=23, AD=4. 求证：△ABC∽△ACD D 【变式2-7】已知：如图，在RtA4BC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4,点D在BC边 上，且∠CAD=∠B, (1)求AD的长； (2)取AD、AB的中点E、F,联结CE、CF、EF.求证：△CEF∽△ADB. D E B 【题型03】判定两个直角三角形相似 【例3】如图，在△ABC和△4BC中，AD1BC,AD1BC,垂足为D和D,且 AC AB AD AC AB AD 求证：△4BC∽△AB,C, 【变式3-1】在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AB=AD=25,BC=32,连接BD, AE⊥BD,垂足为点E. (1)求证：△ABE∽△DBC;(2)求线段AE的长. D E C C 【变式3-2】如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a,BC=b, AC=ab 求证：DC⊥BC, y 【变式3-3】已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3：4两段，则 斜边上的中线长是 【变式3-4】如图，在△MBC中，CD⊥AB于D,DF⊥AC于R,DG⊥BC于G.求证： CF.CA=CG.CB C G D 【变式3-5】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F, 求证：△CEFACBA, D 【题型04】相似三角形的综合 【例4】已知Rt△ABC的两直角边AB,AC的长分别为6cm和8cm,动点D从点A开始沿 AB边向点B运动，速度为lcm/s;动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s, 若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与 △ABC相似？ B D A 【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作 BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点. E D (1)求证：△BGC~aDGF: (2)求证：GD·AB=DF·BG (3)连接CF、BD,求∠CFB的度数. 【变式4-2】如图，四边形ABDC、CDFE、EFGH是三个正方形，则I+∠2+∠3的值为多 少？ A C 1 2 D 【变式4-3】如图，EM⊥AM,CE=DE.求证：2EDDM=ADCD」 ABCD AC BD O OD=20A OC=20B 【变式4-4】四边形 对角线与相交于点， (1)求证：△AOB∽△DOC;(2)点E在线段OC上，若AB∥DE,求证： OD2=OE·OC. 【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P是线段AD上的一个动点， 将三角板的直角顶点重合于点P,三角板两直角中的一边始终经过点C,另一直角边交射 线BA于点E. (1)证明：△EAP∽△PDC: (2)设PD=x,AE=y,求)与x的函数关系式，并写出它的定义域： A D D E 【变式4-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪下的涂色部分 的三角形与△ABC相似的是() A 6 4 B 8 A A. B C A B B X2 3以 【变式4-4】在▲ABC中，点D是边BC上一点，联结AD,下列条件中，不能判定 △ABC与△ABD相似的是() A.AB2=BD·BCB.AD.BC=AB·ACC.∠BAD=∠C D.∠BDA=∠BAC 强化训练 一选择题 1.下列命题中，说法正确的个数是() (1)有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似： (2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似： (3)两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； (4)两边对应成比例的两个三角形相似. (A)1个 (B)2个 (c)3个 (D)4个 2.如图，网格里面有许多三角形.在下列所列出的各三角形之中，不能够与△ABC相似的 是( ) (A)ABCD (B)△BDE E (C)ABFG (D)△FGH H B 3.如图，将▲ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为 D、E,边DE交BC于点F,连接CE.下列两个三角形不一定相似的是() B A.△BAD与△BCE B.△BDF与△ECF C.△DCF与△BEF D.△DBF与△DEB 4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AE⊥BC于点E,交BD于点F,下列三角形中不 一定与△BCD相似的是() D F B C A.△BFE B.△AFD C.△ACE D.△BAE A D F 二填空题 C ABBC 5.如图，若BCBD=m,请再添加一个条件，使得△ABC∽△CBD,你添加的条件是 (写出一个即可) 6.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使△ADB∽aABC,则 AB的长为 三解答题 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，AB=4,AC=6,将△ABC沿着图示中虚线剪开，使 剪下的小三角形与△ABC相似，下面有四种不同的剪法. B A A E D E 2 D 3 3 170 B D 3 E B D ① ② ③ ④ (1)请选择其中一种正确的剪法一（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程. △POR 8如图，A是等边 的边RQ的延长线上的点，B是QR延长线上的点. (1)若1+∠2=60°，求证：QR2=ABR, 1 (2)若 0-20 ,当RB与QR满足什么条件时，△BRP∽△P2A? (3)△BP№有可能与△PQA相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件：若不可能 相似，请说明理由. Q B 9.己知：如图，梯形ABCD中，ADI/BC,AB=DC,E是对角线BD上一点，∠BCE=∠ABD A D E B (1)求证：△ABD∽△ECB (2)求证：DC2=DE·DB