第4讲 分式运算 优等生讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第4讲 分式运算 (精讲+典例+练习)优等生讲义 2026-2027学年鲁教版 （五四制）八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分式的乘除运算法则，能熟练进行分式乘除运算 · 理解通分的意义，能确定最简公分母并正确通分 · 掌握分式加减运算法则，能进行同分母和异分母分式加减 · 能熟练进行分式的混合运算，注意运算顺序和符号 · 能解决分式运算中的新定义、倒数法、实际应用等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的乘除 乘法：·= 除法：÷=·= 乘方：()n= 运算结果要化为最简分式 概念辨析例题：化简÷的结果是（　　）A．1　B．a　C．a+2　D． 解析：原式=·=1。先因式分解再约分。 ☆ 2.通分与最简公分母 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积 分母是多项式时先因式分解，再确定公分母 通分的依据是分式的基本性质 概念辨析例题：分式与的最简公分母是（　　）A．x+2　B．x-2　C．x2-4　D．(x+2)(x-2)(x2-4) 解析：x2-4=(x+2)(x-2)，所以最简公分母是x2-4。 ☆ 3.分式的加减 同分母：±= 异分母：先通分，再按同分母法则计算 分子是多项式时要把分子作为整体加括号 结果要化为最简分式 概念辨析例题：计算-的结果是（　　）A．　B．　C．　D． 解析：原式==。 ☆ 4.分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 有括号先算括号内的 能用运算律简化的要简化 结果要化为最简分式或整式 概念辨析例题：化简(1+)÷的结果是（　　）A．x+1　B．x-1　C．x　D．x2-1 解析：原式=·=x+1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/法则 注意事项 分式乘法 ·= 结果要约分 分式除法 ÷= 除以一个分式等于乘它的倒数 最简公分母 系数最小公倍数×字母最高次幂 多项式先因式分解 同分母加减 ±= 分母不变分子加减 异分母加减 先通分再加减 分子作为整体加括号 混合运算顺序 先乘方再乘除后加减 有括号先算括号 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的乘除（第1-13题） · 分子分母先因式分解 · 除法变乘法乘倒数 · 约分要彻底 · 注意符号和乘方运算 1．（2026•丛台区校级一模）化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　　） A．x+2 B．x﹣2 C．x+3 D．x﹣3 【分析】化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则M必须能被分子中的某个因子约掉，即 M必须是x﹣3、x+3 或x﹣2之一进行判断即可． 【解答】解：根据分式的运算法则化简可得： 原式， ∵结果为整式， ∴M必为分子因子之一，即x﹣3、x+3 或x﹣2． ∵x+2不是分子因子， 故M不可能是x+2； 故选：A． 【点评】本题考查分式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 2．（2026•柘城县模拟）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．a﹣b B．a+b C．b D． 【分析】将除法运算转化为乘法，并利用平方差公式化简，得到结果为，要求结果为整式，则分子必须能被分母整除，即□必须包含因子b，即可求解． 【解答】解：原式， 又∵为整式， ∴□•（a+b）必须能被b整除，选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 3．（2026•丛台区校级一模）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．x D． 【分析】先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【解答】解：根据题意可知， ， ∴被撕下部分的式子可能是x+1． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 4．（2025秋•湖北期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 【分析】先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 5．（2025秋•西和县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】将除法化为乘法，然后约分即可． 【解答】解：原式 ， 故选：C． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．（2025秋•荔湾区期末）化简：a ． 【分析】变除为乘且分子能因式分解的进行因式分解，即可得出答案． 【解答】解：原式 ＝a． 故答案为：a． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 7．（2026春•南京校级期末）计算的结果是　　 ． 【分析】根据分式的乘除法的运算法则进行计算． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 8．（2026•绥化）计算： 　　 ． 【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．（2026•南京三模）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≠1且x≠0　 ． 【分析】结合已知，根据分式的分母不能为零，除式不能为零可得x﹣1≠0且0，再求解上述不等式，得到x的取值范围，从而得到答案． 【解答】解：根据分式有意义的条件，可得 x﹣1≠0且0， 解得x≠1且x≠0． 故答案为：x≠1且x≠0． 【点评】本题考查分式除法，掌握分式有意义的条件和分式除法的运算法则是解题的关键． 10．（2025秋•辛集市期末）计算： （1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab； （2）． 【分析】（1）先计算积的乘方和多项式除以单项式，最后合并同类项即可； （2）先将除法转化为乘法，利用完全平方公式和提取公因式化简，再进行约分即可． 【解答】解：（1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab ＝﹣a6b3+2a6b3+1 ＝a6b3+1； （2） ． 【点评】本题考查了整式的运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 11．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 12．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣2； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． 13．（2026•信都区二模）设A＝（，其中“”遮盖了一个关于x的最简分式． （1）若“”部分是，请化简A，并求当时A的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 【分析】（1）先因式分解x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，对括号内通分合并，再将除法转化为乘倒数，约分后得，最后把代入代数式完成求值； （2）设遮盖部分为M，依据“被除数＝商×除数”变形得，分解x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）并约分右侧式子，移项通分后因式分解分子，约去公因式得到最简分式． 【解答】解：（1）∵A＝（，是， ∴ ， 当时，； （2）设被遮盖的分式为M， ∵化简后， ∴， ， ， ， ， ， 解得：． 【点评】本题考查了分式的乘除法，最简分式，掌握相应的运算法则是关键． 【考点2】通分（第14-18题） · 找最简公分母 · 分子分母同乘适当因式 · 分母是多项式先分解 · 通分后分式值不变 14．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以　（a+1）　 ． 【分析】将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【解答】解：分式的最简公分母为2（a+1）（a﹣1）， ∴需要把的分子、分母同时乘以（a+1）， 故答案为：（a+1）． 【点评】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键． 15．（2024秋•同步）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 　4a2y ，　6ax2 ，　3xy2 ． 【分析】解题关键是找到最简公分母，然后再用最简公分母除以原分母，得出结果． 【解答】解：分式，，的最简公分母为12a2x2y2， 12a2x2y2÷3x2y＝4a2y，12a2x2y2÷2ay2＝6ax2，12a2x2y2÷4a2x＝3xy2， 故答案为4a2y，6ax2，3xy2． 【点评】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．也考查了单项式除以单项式． 16．（2026秋•同步）通分： （1）与； （2）与． 【分析】（1）先确定最简公分母为6a2b2c，然后根据分式的基本性质把分母都化为6a2b2c，即可； （2）先确定最简公分母为2（x+5）（x﹣5），然后根据分式的基本性质把分母都化为2（x+5）（x﹣5）即可． 【解答】解：（1）最简公分母为6a2b2c， ，； （2）最简公分母为2（x+5）（x﹣5）， ， ． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母． 17．（2026春•天府新区校级期中）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，　①②④　 是和美好分式（填序号）； ①； ②； ③； ④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数？若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对每个分式的分子或分母进行因式分解，检查是否能约分，满足“能因式分解且不能约分”的即为美好分式； （2）分母y2+ay+9需能因式分解（分解为两个一次式乘积），且分解后与分子y+1无公因式，根据分解式的常数项乘积为9，列举可能的整数分解情况，排除有公因式的情况，得到a的值； （3）先化简分式，将除法转化为乘法，约分后得到，根据分式值为整数的条件，确定x+1是2的因数，再排除使原分式分母为0的情况，得到整数x的值． 【解答】解：（1）①， 分子a2﹣2ab﹣3b2＝（a﹣3b）（a+b），分母为a+3b， 分子与分母无公因式， 分子与分母不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； ②， 分母t2﹣4b2＝（t﹣2b）（t+2b）， 分子为t﹣4b， 分子与分母无公因式，不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； ③， 分母x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2， 分子为x﹣y， 分子与分母有公因式x﹣y，能约分，不满足美好分式定义，不是美好分式； ④， 分子m2﹣1＝（m﹣1）（m+1）， 分母m2+1在实数范围内不能因式分解， 分子与分母无公因式，不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； 故答案为：①②④； （2）因为为美好分式， 所以分母y2+ay+9能因式分解且与分子y+1无公因式， 设y2+ay+9＝（y+m）（y+n）， 则mn＝9，m+n＝a， 9的整数分解为：9＝1×9，此时a＝1+9＝10，此时分母有y+1，可以约分，不满足美好分式定义； 9＝（﹣1）×（﹣9），此时a＝﹣1+（﹣9）＝﹣10； 9＝3×3，此时a＝3+3＝6； 9＝（﹣3）×（﹣3），此时a＝﹣3+（﹣3）＝﹣6， 验证：当a＝﹣10、6、﹣6时，分母因式分解后与分子无公因式，满足美好分式定义． （3） ＝1， 要使值为整数，则需为整数，即x+1是2的因数，x+1＝±1或±2； 当x+1＝1时，x＝0，但原分式分母x＝0无意义，舍去； 当x+1＝﹣1时，x＝﹣2，此时值为，是整数； 当x+1＝2时，x＝1，原分式分母x﹣1＝0无意义，舍去； 当x+1＝﹣2时，x＝﹣3，此时x2+3x＝0，即分母为0，舍去； 【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是围绕“美好分式”的定义展开，涉及分式的因式分解、约分及分式值为整数的条件，需逐一分析各问题． 18．（2026春•同步）通分： （1），； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先最简公分母为2（a+b），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为2（a+b）； （2）先最简公分母为3（x﹣1）2，然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为3（x﹣1）2； （3）先最简公分母为st（s﹣t），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为st（s﹣t）（s+t）； （4）先确定最简公分母为（3m﹣2）2（3m+2），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为（3m﹣2）2（3m+2）． 【解答】解：（1）最简公分母为2（a+b）， ， ； （2）最简公分母为3（x﹣1）2， ， ； （3）最简公分母为st（s﹣t）（s+t）， ， ； （4）最简公分母为（3m﹣2）2（3m+2）， ， ． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母． 【考点3】最简公分母（第19-23题） · 系数取最小公倍数 · 字母取最高次幂 · 多项式先分解再取 · 避免遗漏因式 19．（2025秋•道里区期末）分式与的最简公分母是　6a2b2c ． 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【解答】解：∵3和6的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为a2b2c， ∴分式和的最简公分母是6a2b2c． 故答案为：6a2b2c． 【点评】本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 20．（2025秋•柘城县期末）分式与的最简公分母是　2（x﹣1）　 ． 【分析】先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积． 【解答】解：对两个分式的分母进行因式分解可得： 2x﹣2＝2（x﹣1），1﹣x＝﹣（x﹣1）， ∴最简公分母为2（x﹣1）． 故答案为：2（x﹣1）． 【点评】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键． 21．（2025秋•衡水期末）三个分式的最简公分母是x4（x2﹣1）　 ． 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【解答】解：这三个分式的最简公分母为x4（x﹣1）（x+1）＝x4（x2﹣1）． 故答案为：x4（x2﹣1）． 【点评】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键． 22．（2025秋•平安区期末）分式与的最简公分母是　（x﹣1）（x﹣2）　 ． 【分析】根据两个分式的分母分别为x﹣1和x﹣2，它们互质，因此最简公分母为它们的乘积解答即可． 【解答】解：由题意得，最简公分母是（x﹣1）（x﹣2）， 故答案为：（x﹣1）（x﹣2）． 【点评】本题考查的是最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键． 23．（2024秋•同步）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：xy2，，3； 第三步：x2y2，2y，3x． ∴，的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求，，的最简公分母； （2）求，，的最简公分母． 【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：（1），，的最简公分母abc； （2），，的最简公分母12x3y2z3． 【点评】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【考点4】分式加减法（第24-38题） · 异分母先通分 · 分子作为整体加括号 · 新定义题按定义列式 · 结果要化简 24．（2026•栾城区校级三模）化简的结果是（　　） A．x+1 B．x C．x﹣1 D．x﹣2 【分析】先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【解答】解：原式 ＝x+1． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是关键． 25．（2026•南山区校级三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 【分析】先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【解答】解： ． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 26．（2026春•汝州市期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A.a1+a2，因此选项A不符合题意； B.，因此选项B不符合题意； C.，因此选项C符合题意； D.的分子、分母没有公因式2，不能约分，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的基本性质是正确解答的关键． 27．（2026•沙坪坝区校级开学）若代数式P与Q的差为常数，且常数为正数，则称P是Q的“T式数”，这个差值称为式P与Q的“T值”，设a1，a2，a3，…，a9是从﹣1，1，2这三个数中任意取值的一列数．下列说法： ①若，则a1，a2，a3可以组成1组“T式数”； ②若，则a1和a2的“T值”是2； ③若a1+a2+…+a9＝3，，则a1，a2…，a9可以组成26组“T式数”．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先明确题目中T式数的定义，再根据题干条件逐个分析三个说法，结合整式变形、方程组知识求解，判断正确说法的个数． 【解答】解：首先明确，若代数式P与Q的差为正的常数，则P是Q的T式数，所给数只能取﹣1，1，2，逐个分析如下： ①∵，且a1≠0， ∴a1+a2+a3＝0，即a2+a3＝﹣a1，只有两个﹣1和一个2的组合和为0，无其他可能， ∴当a1＝2，a2＝﹣1，a3＝﹣1时，a2+a3＝﹣2＝﹣a1成立； 当a1＝﹣1，a2＝2，a3＝﹣1时，a2+a3＝1＝﹣a1成立， ∴a1，a2，a3可以组成1组“T式数”， 故①正确． ②∵， ∴a1﹣2a2＝a1， ∴a2＝0． ∵a1，a2，a3是从﹣1，1，2这三个数中任意取值，没有0， ∴不存在这样的a2． 故②不正确． ③设这9个数中有x个﹣1，y个1，z个2， 根据题意得：， 解得， 即有4个﹣1，3个1，2个2． 计算所有T式数的组数： P为1，Q为﹣1：共3×4＝12组， P为2，Q为1：共2×3＝6组， P为2，Q为﹣1：共2×4＝8组， 总组数为12+6+8＝26，故③正确． 综上，正确的说法有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的加减法、数字的变化类和整式的加减，掌握整式的加减是解题的关键． 28．（2026•义乌市校级开学）已知，则分式的值为（　　） A．2 B． C． D．8 【分析】将待求分式的分子分母同除以xy，转化为含已知式的形式，整体代入求值． 【解答】解：∵， ∴x≠0，y≠0， 将所求分式的分子、分母同时除以xy可得： 原式2， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法、分式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 29．（2026秋•同步）已知，，，则的值为（　　） A．﹣2 B． C． D． 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 【解答】解：， ， ， ∴①； ， ， ， ∴②； ， ， ∴③； ①+②+③，得， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的加法，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 30．（2026秋•沧县校级月考）已知，则　4　 ． 【分析】将通分即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式的通分，会通分是关键． 31．（2025秋•河西区期末）已知，则分式的值为 　0.6　 ． 【分析】由，得出x﹣y＝﹣3xy，然后，代入化简即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴y﹣x＝3xy， ∴x﹣y＝﹣3xy， ∴ 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 32．（2025秋•潍坊期末）已知，则的值为　2　 ． 【分析】先把已知条件中的等式通分，按照同分母分式相加法则进行计算，再把a+b用ab表示出来，然后把所求分式中的a+b变成ab的形式，进行约分即可． 【解答】解：∵， ∴2， ∴a+b＝2ab， ∴ ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 33．（2025秋•重庆校级期末）已知，则A+B＝　4　 ． 【分析】通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【解答】解：∵， ∴， 由①得A＝1+2B③， 把③代入②得：3（1+2B）+B＝10， 3+6B+B＝10， 3+7B＝10， 7B＝7， ∴B＝1， 则A＝1+2×1＝3， ∴A+B＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 34．（2026•霍邱县二模）若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”…，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是　　 ． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则x＝　　 ． 【分析】（1）观察规律可知第n个“1阶倒差数”． （2）根据“2阶倒差数”定义分别设出x，y，再代入方程分别求出x，y． 【解答】解：（1）第n个“1阶倒差数”，故第9个“1阶倒差数”是； 故答案为：； （2）设，（其中m，n为偶数）． 则， ∴m2﹣n2+2m﹣2n＝24， ∴（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝24， ∴（m+n+2）（m﹣n）＝24， ∴（m+n+2）（m﹣n）＝24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， ∵m，n为偶数， ∴m+n+2、m﹣n都是偶数， 从而可得① ∴m＝6，n＝4． ∴． 或② ∴m＝4，n＝0（舍）． 综上所述x的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减法、数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键． 35．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先通分，再合并同类项，再约分运算，即可得到答案； （2）首先通分，再合并同类项，再结合平方差公式进行约分化简，即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 36．（2026春•市中区校级期中）定义：若两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，2，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，判断C是否是D的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式M，，M是N的“差常分式”，且M关于N的“差常值”为2． ①求P所代表的整式； ②若x为正整数，且N的值也为正整数，直接写出满足条件的x的值． 【分析】（1）根据新定义计算C﹣D，通过同分计算进行判断； （2）①由题意，得2，整理，即可得出P＝4x+8； ②把P代入N，整理，得N，根据已知N的值为正整数，x为正整数，可得x﹣2＝1或x﹣2＝2或x﹣2＝4，即可得出x的值． 【解答】解：（1）是， C﹣D ＝2， ∴C关于D的“差常值”是2； （2）①由新定义可知： M﹣N＝2， ∴2， ∴2x（x+2）﹣p＝2（x2﹣4）， ∴P＝4x+8； ②由①得P＝4x+8， ∴N ， ∵N的值为正整数，x为正整数， ∴x﹣2＝1或x﹣2＝2或x﹣2＝4， ∴x＝3或4或6． 【点评】本题考查了分式的加减法，分式的值，因式分解的应用，新定义，熟练掌握分式的加减法运算法则，求分式的值，因式分解的方法，理解新定义是解题的关键． 37．（2025秋•乌兰浩特市校级期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是　真　 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式　　 ． （3）当的值为整数时，求整数x的值． 【分析】（1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）， 故答案为：； （3）由（2）知， 当的值为整数时，是整数， ∴x+1的取值是3的因数， 即x+1取值为﹣3，﹣1，1，3， 当x+1＝﹣3时，x＝﹣4， 当x+1＝﹣1时，x＝﹣2， 当x+1＝1时，x＝0， 当x+1＝3时，x＝2， ∴当的值为整数时，整数x的值为﹣4，﹣2，0，2． 【点评】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． 38．（2026春•雁塔区期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． （1）请判断是否是“和谐分式”：　是　 ；（填“是”或“否”） （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当x取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）把分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，然后根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）先把所给的分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，从而根据分式的值为整数，列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵， ∴是“和谐分式”， 故答案为：是； （2）∵， ∴当x﹣1＝±1或±2时分式的值为整数， 解得：x＝﹣1或0或2或3， ∴当x＝﹣1或0或2或3时分式的值为整数． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 【考点5】分式混合运算（第39-48题） · 严格按运算顺序 · 合理使用运算律 · 倒数法：已知x+=a求x2+ · 实际问题列式要化简 39．（2026秋•灵台县校级月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丙 【分析】根据有理数的加减运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． 【解答】解：原式 ＝8+（﹣5） ＝3， 而8+（﹣4）＝4， 所以出现错误是乙， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 40．（2026秋•铁西区月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的乘法，加法法则，分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、与不一定相等，故A不符合题意； B、与不一定相等，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 41．（2026春•滕州市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式混合运算的法则对各选项进行逐一计算即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、1，正确，符合题意； C、•，原计算错误，不符合题意； D、4xy24xy2•x2，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 42．（2026•望奎县一模）化简：　　 ． 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可． 【解答】解：原式 • ； 故答案为：． 【点评】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式基本性质把分式化简． 43．（2026•临夏州模拟）化简的结果是　　 ． 【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：原式• • ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 44．（2026秋•沧县校级月考）计算下列分式运算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据分式的运算法则化简即可； （2）根据分式的运算法则化简即可； （3）根据分式的运算法则化简即可； （4）根据分式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式； （2）； （3）； （4）原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 45．（2026春•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把括号内通分，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可； （3）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子分母因式分解，再约分，然后进行通分，最后进行同分母的减法运算． 【解答】解：（1）原式• • ； （2）原式 • ； （3）原式＝[]• • • ； （4）原式• ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 46．（2026春•龙泉市期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合销售的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克A种糖和n千克B种糖混合销售的单价为元/千克（平均价）． （1）若1千克A种糖和1千克B种糖共需40元；3千克A种糖和2千克B种糖共需98元． ①求A、B两种糖的单价． ②商店将A、B两种糖混合销售，已知A种糖5千克，要使混合糖的单价为21元/千克，则需加入B种糖多少千克？ （2）甲、乙两个商店把A、B两种糖进行混合销售．甲商店将相同质量的A、B两种糖混合销售，乙商店将相同金额的A、B两种糖混合销售，用a，b的代数式分别表示两个商店的混合糖单价，并比较大小． 【分析】（1）①根据题意列出二元一次方程组即可； ②由题意得，然后将a＝18，b＝22代入，解这个关于n的分式方程即可； （2）求甲商店的混合糖单价时将m＝n代入元/千克即可，求乙商店的混合糖单价时将ma＝nb和m代入元/千克即可． 【解答】解：（1）①由题意，得 ， 解得． 答：A种糖的单价18元/千克，B种糖的单价22元/千克． ②由题意知：， 将a＝18，b＝22代入得： ， 解得n＝15． 经检验n＝15是分式方程的解． 答：需加入B种糖15千克． （2）甲商店的混合糖单价：当m＝n时，元/千克； 乙商店的混合糖单价：当ma＝nb，即m时，元/千克， ， ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0，a+b＞0， ∴0，即0， ∴， ∴甲商店的混合糖单价＞乙商店的混合糖单价． 【点评】本题主要考查分式的混合运算、列代数式、一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系和正确计算是关键． 47．（2025秋•南昌期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k； （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2． ①用含x的式子表示M； ②x为何整数时，分式D的值为正整数？ 【分析】（1）将两式相加并计算，判断结果是否为正整数即可； （2）①根据“关联分式”的定义列式计算即可； ②结合①中所求结果将D化简并整理，再根据题意求得符合题意的x的值即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，2是整数， ∴A与B是互为“关联分式”，“关联值”k＝2； （2）①∵分式，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2， ∴2x2+5x﹣3+M＝2（x﹣3）（x+3）， ∴2x2+5x﹣3+M＝2x2﹣18， ∴M＝﹣5x﹣15； ②由①得， ∵分式D的值为正整数，x为整数， ∴3﹣x＝1或3﹣x＝5， 解得：x＝2或x＝﹣2． 【点评】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 48．（2026春•惠山区期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以3，即x3． 所以2＝7． 所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：4． 求：（1）x的值； （2）的值． 【分析】（1）将已知条件的两边计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将x代入可得结论． 【解答】解：（1）∵4． ∴， ∴x﹣2， ∴x； （2）∵ ＝x2﹣6 ＝（x）2﹣2 ＝（2 ， ∴． 【点评】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式乘除：除法变乘法乘倒数，先因式分解再约分 · 通分关键是找最简公分母：系数最小公倍数×字母最高次幂 · 异分母分式加减先通分，分子作为整体加括号 · 混合运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号 · 结果必须化为最简分式，注意符号变化 【作业 1】（2025秋•浦东新区期末）计算：　1　 ． 【分析】利用平方差公式和分式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的混合运算，掌握相关计算顺序是解题的关键． 【作业 2】（2026•秦都区校级模拟）计算：x﹣1　 ． 【分析】先把分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法则计算即可． 【解答】解： ＝x﹣1， 故答案为：x﹣1． 【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业 3】（2026春•晋江市校级期中）已知，则分式的值为　　 ． 【分析】把条件化为x+y＝3xy，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴x+y＝3xy， ∴原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减法，分式的求值，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 【作业 4】（2026•青岛校级开学）已知，则分式的值为　　 ． 【分析】先对已知等式变形，得到x﹣y与xy的关系，再整体代入所求分式化简求值． 【解答】解：∵， ∴， ∴y﹣x＝2xy， ∴x﹣y＝﹣2xy， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的化简求值，整体代入法的应用，正确理解题意是解题的关键． 【作业 5】（2026春•泉州期末）已知，则　　 ． 【分析】由已知条件得出y﹣x＝2xy，然后代入所求表达式的分子和分母进行化简即可． 【解答】解：由条件可得， ∴y﹣x＝2xy， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，由得出y﹣x＝2xy，将变形为是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•祁阳市校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可得解； （2）先将分母化为相同的，再计算加减即可得解． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝m﹣n． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【作业 7】（2026春•朝阳区校级同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）将分子、分母能因式分解的先分解因式，然后约分并计算即可； （2）将除法化为乘法，然后约分并计算即可； （3）将除法化为乘法，然后把分子、分母能因式分解的先分解因式，最后约分并计算即可； （4）将分子、分母能因式分解的先分解因式，然后约分并计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ＝a+2． 【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•正阳县期末）以下是八年级某同学计算的部分运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 … （1）该运算过程从第　一　 步开始出现错误； （2）请你写出完整的正确解答过程后，并求出当a＝1，b＝﹣2时的值． 【分析】（1）先将括号内的分式通分后加减，然后再算除法得出结果后代入求值； （2）按照分式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）第一步开始就错了； 故答案为：一； （2）原式， 当a＝1，b＝﹣2时，． 【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是掌握运算法则进行计算即可． 【作业 9】（2026秋•单元）计算： （1）（）2； （2）a2b3•（ab2）﹣2； （3）； （4）（）3； （5）1÷（2x）； （6）； （7）1； （8）（x﹣y）（x+y）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，即可解答； （3）利用分式的乘法法则，进行计算即可解答； （4）先算乘方，再算乘除，即可解答； （5）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答； （6）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答； （7）先计算分式的除法，再算减法，即可解答； （8）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）（）2 •• ＝6； （2）a2b3•（ab2）﹣2 ＝a2b3•a﹣2b﹣4 ＝b﹣1 ； （3） • ； （4）（）3 •• ； （5）1÷（2x） ＝1 ＝1 ＝1• ； （6） • ； （7）1 ＝1• ＝1 ； （8）（x﹣y）（x+y） • • ＝（x+y）（x﹣y） ＝x2﹣y2． 【点评】本题考查了分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业 10】（2025秋•南昌期末）请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为　　 ，因为糖水变淡，可以得到不等式　　 ； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为　　 ，因为糖水变甜，可以得到不等式　　 ． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1克，a2克糖水，分别含糖b1克，b2克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为　　 ，（用含有a1，a2，b1，b2的式子表示） 又，所以b1＝ka1，b2＝ka2， 则　；　 ＝k，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“_______”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若A﹣B＜0，则A＜B） 任务3：直接写出现象2中“_______”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若a，b，c是△ABC三边的长，则． 【分析】任务1：根据题意写出新的分式和不等式即可； 任务2：利用作差法即可证明； 任务3：根据题意写出新的分式即可； 任务4：综合运用糖水不等式及三角形三边关系进行证明． 【解答】解：任务1：①由题意得，糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴， 故答案为：，； ②由题意得，加入n克糖，则糖为（b+n），糖水为（a+n）克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴， 故答案为：，； 任务2：证明：∵， ∵n＞0，a＞b＞0，则a+n＞0，a﹣b＞0， ∴，即， ∴． 任务3：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为（b1+b2）克，糖水为（a1+a2）克， ∴浓度可以表示为； ∵， ∴b1＝ka1，b2＝ka2， ∴． 故答案为：，． 任务4：由现象1得：， ， ， 则①+②+③得， 即若a，b，c是△ABC三边的长，则． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． 【作业 11】（2026春•鼓楼区校级期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　不是　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 【分析】（1）根据定义判断即可得解； （2）①由A﹣B＝AB，可得A，再代入求解即可； ②要使2为正整数，则x＝1或3或﹣3，进而即可得解； （3）建立A或B的等式，从而得到m和n的关系式，进而建立方程组求解即可． 【解答】解：（1）， ∴分式是分式的“可存异分式”， 故不是的“可存异分式”， 故答案为：不是； （2）①∵A﹣B＝AB， ∴（1﹣B）A＝B， ∴A2； ②∵A为正整数， ∴2为正整数， ∴2，且为整数， ∴x＝1或3或﹣3， 当x＝1时，A＝25； 当x＝3时，A＝23； 当x＝﹣3时，A＝21； 综上，A的值为5或3或1； （3）由题可知B，A， 1+A， ∵A﹣B＝AB， ∴B•， ∴， ∴m﹣n＝3， m2﹣n2﹣（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n﹣1）＝﹣1， ∴3（m+n﹣1）＝﹣1 ∴m+n． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 12】（2026春•龙华区期末）在数学学习过程中，同学们发现许多数学问题可以通过代数方法进行推理证明，也可以通过几何图形进行验证． 【实例体验】已知实数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 代数推理： 证明：∵x＞y，x＞0， ∴x•x＞x•y， ∵x＞y，y＞0， ∴x•y＞★， ∴x2＞xy，xy＞y2， ∴x2＞y2； 图形验证：… （1）①★应填写的代数式为y2 ； ②除了上述方法，还可以利用“作差法”进行证明，请写出证明过程． （2）如图1，请利用边长为x的正方形ABCD，画出一种能验证结论“x2＞y2”的几何图形； 【拓展应用】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量．设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n）． （3）甲、乙所购饲料的平均单价哪一个较低？请在以下两种方法中任选一种进行说明： ①代数推理； ②设m＞n，借助图2的图形进行验证． 【分析】（1）代数推理：抓住“同向不等式可乘性”的基本原则．已知x＞y＞0，通过构造x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），利用“作差法”将大小关系转化为判断代数式正负的问题，这是初中不等式证明最基本的方法； （2）几何验证：理解“数形结合”的核心．将代数式x2和y2分别与边长为x和y的正方形面积对应，利用大正方形包含小正方形的几何直观，完成不等式的无字证明； （3）实际应用：关键在于准确理解题意．甲方案为“固定重量”，均价为“总价/总重”，得到算术平均数；乙方案为“固定金额”，均价为“总价/总重”，得到调和平均数．最终通过代数作差比较（或利用图2的长方形面积恒等式得出均价大小关系． 【解答】解：（1）①★应填写的代数式为：y2， 因为x＞y＞0， 所以x•y＞y•y， 即xy＞y2； ②利用“作差法”进行证明： 证明：因为x＞y＞0， 所以x+y＞0，且x﹣y＞0， 所以x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 因为（x+y）＞0，（x﹣y）＞0， 所以（x+y）（x﹣y）＞0， 即x2﹣y2＞0， 所以x2＞y2； （2）理由：大正方形的面积是x2， 内部小正方形的面积是y2， 大正方形完全包含了小正方形， 从而直观验证了x2＞y2（x＞y＞0）； （3）①设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg． 甲的平均单价：总花费：1000m+1000n元；总重量：2000kg， 甲均价元/kg， 乙的平均单价：第一次重量：， 第二次重量：；总花费：1600元， 总重量， 乙均价元/kg， 比较大小：因为m≠n且m，n＞0， 所以（m﹣n）2＞0， 即m2﹣2mn+n2＞0， 所以m2+n2＞2mn， 两边同时加上2mm得：m2+2mn+n2＞4mn，即（m+n）2＞4mn， 因为m+n＞0，将不等式两边同时除以2（m+n）， 不等式方向不变：， 答：乙购饲料的平均单价较低． ②观察图2：图2是一个大矩形， 它的长为m+n，宽为， 大矩形的总面积， 将括号展开， 总面积， 观察图2中的四个小矩形， 其中有两个边长分别为n和m的小正方形， 面积分别为和， 另外两个矩形的面积分别为和， 因为m≠n，且m，n＞0， 所以 因为m2+n2＞2mn， 所以， 所以图2大矩形的总面积＞2+2＝4， 即：， 不等式两边同时乘以， 可得到：， 答：乙购饲料的平均单价较低． 【点评】本意主要考查了代数推理能力、数形结合思想以及不等式与分式在实际情境中的综合应用，准确利用代数恒等变形以及将代数式与几何图形的面积建立等量对应关系是解题的关键．本题形式新颖，由浅入深，先是夯实代数基本功，随后巧妙过渡到直观图形验证，最后落脚于生活消费场景．这种将抽象代数与直观几何完美融合的命题方式，不仅能有效锻炼学生的逻辑思维，也凸显了数学知识源于生活、服务生活的实用价值，极具导向性． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 分式运算 (精讲+典例+练习)优等生讲义 2026-2027学年鲁教版 （五四制）八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分式的乘除运算法则，能熟练进行分式乘除运算 · 理解通分的意义，能确定最简公分母并正确通分 · 掌握分式加减运算法则，能进行同分母和异分母分式加减 · 能熟练进行分式的混合运算，注意运算顺序和符号 · 能解决分式运算中的新定义、倒数法、实际应用等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的乘除 乘法：·= 除法：÷=·= 乘方：()n= 运算结果要化为最简分式 概念辨析例题：化简÷的结果是（　　）A．1　B．a　C．a+2　D． 解析：原式=·=1。先因式分解再约分。 ☆ 2.通分与最简公分母 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的积 分母是多项式时先因式分解，再确定公分母 通分的依据是分式的基本性质 概念辨析例题：分式与的最简公分母是（　　）A．x+2　B．x-2　C．x2-4　D．(x+2)(x-2)(x2-4) 解析：x2-4=(x+2)(x-2)，所以最简公分母是x2-4。 ☆ 3.分式的加减 同分母：±= 异分母：先通分，再按同分母法则计算 分子是多项式时要把分子作为整体加括号 结果要化为最简分式 概念辨析例题：计算-的结果是（　　）A．　B．　C．　D． 解析：原式==。 ☆ 4.分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 有括号先算括号内的 能用运算律简化的要简化 结果要化为最简分式或整式 概念辨析例题：化简(1+)÷的结果是（　　）A．x+1　B．x-1　C．x　D．x2-1 解析：原式=·=x+1。 📋 知识总结表 核心概念 公式/法则 注意事项 分式乘法 ·= 结果要约分 分式除法 ÷= 除以一个分式等于乘它的倒数 最简公分母 系数最小公倍数×字母最高次幂 多项式先因式分解 同分母加减 ±= 分母不变分子加减 异分母加减 先通分再加减 分子作为整体加括号 混合运算顺序 先乘方再乘除后加减 有括号先算括号 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的乘除（第1-13题） · 分子分母先因式分解 · 除法变乘法乘倒数 · 约分要彻底 · 注意符号和乘方运算 1．（2026•丛台区校级一模）化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　　） A．x+2 B．x﹣2 C．x+3 D．x﹣3 2．（2026•柘城县模拟）若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．a﹣b B．a+b C．b D． 3．（2026•丛台区校级一模）嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（　　） A．x+1 B．x﹣1 C．x D． 4．（2025秋•湖北期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 5．（2025秋•西和县期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•荔湾区期末）化简：_____ ． 7．（2026春•南京校级期末）计算的结果是____________________ ． 8．（2026•绥化）计算： ____________________ ． 9．（2026•南京三模）若代数式有意义，则x的取值范围是 ____________ ． 10．（2025秋•辛集市期末）计算： （1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab； （2）． 11．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 12．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（2026•信都区二模）设A＝（，其中“”遮盖了一个关于x的最简分式． （1）若“”部分是，请化简A，并求当时A的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 【考点2】通分（第14-18题） · 找最简公分母 · 分子分母同乘适当因式 · 分母是多项式先分解 · 通分后分式值不变 14．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以__________ ． 15．（2024秋•同步）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 _________ ，_________ ，_________ ． 16．（2026秋•同步）通分： （1）与； （2）与． 17．（2026春•天府新区校级期中）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，________ 是和美好分式（填序号）； ①； ②； ③； ④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数？若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 18．（2026春•同步）通分： （1），； （2）； （3）； （4）． 【考点3】最简公分母（第19-23题） · 系数取最小公倍数 · 字母取最高次幂 · 多项式先分解再取 · 避免遗漏因式 19．（2025秋•道里区期末）分式与的最简公分母是___________ ． 20．（2025秋•柘城县期末）分式与的最简公分母是___________ ． 21．（2025秋•衡水期末）三个分式的最简公分母是_____________ ． 22．（2025秋•平安区期末）分式与的最简公分母是_______________ ． 23．（2024秋•同步）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：xy2，，3； 第三步：x2y2，2y，3x． ∴，的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求，，的最简公分母； （2）求，，的最简公分母． 【考点4】分式加减法（第24-38题） · 异分母先通分 · 分子作为整体加括号 · 新定义题按定义列式 · 结果要化简 24．（2026•栾城区校级三模）化简的结果是（　　） A．x+1 B．x C．x﹣1 D．x﹣2 25．（2026•南山区校级三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 26．（2026春•汝州市期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（2026•沙坪坝区校级开学）若代数式P与Q的差为常数，且常数为正数，则称P是Q的“T式数”，这个差值称为式P与Q的“T值”，设a1，a2，a3，…，a9是从﹣1，1，2这三个数中任意取值的一列数．下列说法： ①若，则a1，a2，a3可以组成1组“T式数”； ②若，则a1和a2的“T值”是2； ③若a1+a2+…+a9＝3，，则a1，a2…，a9可以组成26组“T式数”．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（2026•义乌市校级开学）已知，则分式的值为（　　） A．2 B． C． D．8 29．（2026秋•同步）已知，，，则的值为（　　） A．﹣2 B． C． D． 30．（2026秋•沧县校级月考）已知，则_____ ． 31．（2025秋•河西区期末）已知，则分式的值为 ________ ． 32．（2025秋•潍坊期末）已知，则的值为_____ ． 33．（2025秋•重庆校级期末）已知，则A+B＝_____ ． 34．（2026•霍邱县二模）若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”…，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是___________________ ． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则x＝___________________ ． 35．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 36．（2026春•市中区校级期中）定义：若两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，2，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，判断C是否是D的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式M，，M是N的“差常分式”，且M关于N的“差常值”为2． ①求P所代表的整式； ②若x为正整数，且N的值也为正整数，直接写出满足条件的x的值． 37．（2025秋•乌兰浩特市校级期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是_____ 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式____________________ ． （3）当的值为整数时，求整数x的值． 38．（2026春•雁塔区期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． （1）请判断是否是“和谐分式”：_____ ；（填“是”或“否”） （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当x取什么整数时，该式的值为整数． 【考点5】分式混合运算（第39-48题） · 严格按运算顺序 · 合理使用运算律 · 倒数法：已知x+=a求x2+ · 实际问题列式要化简 39．（2026秋•灵台县校级月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲和丙 40．（2026秋•铁西区月考）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 41．（2026春•滕州市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 42．（2026•望奎县一模）化简：____________________ ． 43．（2026•临夏州模拟）化简的结果是____________________ ． 44．（2026秋•沧县校级月考）计算下列分式运算： （1）； （2）； （3）； （4）． 45．（2026春•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 46．（2026春•龙泉市期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合销售的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克（a≠b），则m千克A种糖和n千克B种糖混合销售的单价为元/千克（平均价）． （1）若1千克A种糖和1千克B种糖共需40元；3千克A种糖和2千克B种糖共需98元． ①求A、B两种糖的单价． ②商店将A、B两种糖混合销售，已知A种糖5千克，要使混合糖的单价为21元/千克，则需加入B种糖多少千克？ （2）甲、乙两个商店把A、B两种糖进行混合销售．甲商店将相同质量的A、B两种糖混合销售，乙商店将相同金额的A、B两种糖混合销售，用a，b的代数式分别表示两个商店的混合糖单价，并比较大小． 47．（2025秋•南昌期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k； （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2． ①用含x的式子表示M； ②x为何整数时，分式D的值为正整数？ 48．（2026春•惠山区期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以3，即x3． 所以2＝7． 所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：4． 求：（1）x的值； （2）的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式乘除：除法变乘法乘倒数，先因式分解再约分 · 通分关键是找最简公分母：系数最小公倍数×字母最高次幂 · 异分母分式加减先通分，分子作为整体加括号 · 混合运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号 · 结果必须化为最简分式，注意符号变化 【作业 1】（2025秋•浦东新区期末）计算：_____ ． 【作业 2】（2026•秦都区校级模拟）计算：________ ． 【作业 3】（2026春•晋江市校级期中）已知，则分式的值为__________________ ． 【作业 4】（2026•青岛校级开学）已知，则分式的值为__________________ ． 【作业 5】（2026春•泉州期末）已知，则___________________ ． 【作业 6】（2025秋•祁阳市校级期末）计算： （1）； （2）． 【作业 7】（2026春•朝阳区校级同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【作业 8】（2025秋•正阳县期末）以下是八年级某同学计算的部分运算过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 … （1）该运算过程从第_____ 步开始出现错误； （2）请你写出完整的正确解答过程后，并求出当a＝1，b＝﹣2时的值． 【作业 9】（2026秋•单元）计算： （1）（）2； （2）a2b3•（ab2）﹣2； （3）； （4）（）3； （5）1÷（2x）； （6）； （7）1； （8）（x﹣y）（x+y）． 【作业 10】（2025秋•南昌期末）请仔细阅读方框中的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为____________________ ，因为糖水变淡，可以得到不等式____________________ ； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为____________________ ，因为糖水变甜，可以得到不等式____________________ ． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有a1克，a2克糖水，分别含糖b1克，b2克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为____________________ ，（用含有a1，a2，b1，b2的式子表示） 又，所以b1＝ka1，b2＝ka2， 则____________________ ＝k，所以浓度不变． 任务1：直接写出现象1中“_______”处的内容； 任务2：证明②中的不等式；（提示：若A﹣B＜0，则A＜B） 任务3：直接写出现象2中“_______”处的内容； 任务4：请运用现象1的结论证明： 若a，b，c是△ABC三边的长，则． 【作业 11】（2026春•鼓楼区校级期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 _______ （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 【作业 12】（2026春•龙华区期末）在数学学习过程中，同学们发现许多数学问题可以通过代数方法进行推理证明，也可以通过几何图形进行验证． 【实例体验】已知实数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 代数推理： 证明：∵x＞y，x＞0， ∴x•x＞x•y， ∵x＞y，y＞0， ∴x•y＞★， ∴x2＞xy，xy＞y2， ∴x2＞y2； 图形验证：… （1）①★应填写的代数式为_______ ； ②除了上述方法，还可以利用“作差法”进行证明，请写出证明过程． （2）如图1，请利用边长为x的正方形ABCD，画出一种能验证结论“x2＞y2”的几何图形； 【拓展应用】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买的饲料量．设两次购买的饲料单价分别是m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n）． （3）甲、乙所购饲料的平均单价哪一个较低？请在以下两种方法中任选一种进行说明： ①代数推理； ②设m＞n，借助图2的图形进行验证． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $