第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 能力提升 2026--2027学年 沪科版数学八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 能力提升卷 （解析版） 测试范围：第13章 三角形中的边角关系、命题与证明　满分：150分 1．若 a，b，c 是△ABC 的三边长，则化简 |a+b−c|−|a−b−c| 的结果是（　） A．2a−2c B．2b−2c C．2c D．0 【答案】A 【解析】由三边关系 a+b>c，故 a+b−c>0，|a+b−c|=a+b−c；又 b+c>a，故 a−b−c<0，|a−b−c|=b+c−a。原式=(a+b−c)−(b+c−a)=2a−2c。 【错因】去第二个绝对值时忘记变号，或把 a−b−c 误判为正；最后并项出错。 2．校园科技节用彩灯带围成一个三角形，三个内角的度数之比为 2∶3∶4，则最大内角的外角等于（　） A．80° B．100° C．120° D．60° 【答案】B 【解析】最大角=180°×=80°，其外角=180°−80°=100°（也等于另外两个内角之和）。 【错因】把最大角80°直接当成外角，或求成最大角本身；份数之和误算。 3．手工课上，小睿做了一个等腰三角形支架，一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm 和 15cm 两部分，则该等腰三角形的腰长为（　） A．6cm或10cm B．6cm C．10cm D．4cm或10cm 【答案】C 【解析】设腰长为2x、底边长为y，中线把一腰分成两段各x。含底边端点一侧的两部分周长分别为 2x+x=3x 与 x+y。若3x=9、x+y=15，得x=3、y=12，三边6、6、12，6+6=12不能构成三角形，舍去；若3x=15、x+y=9，得x=5、y=4，三边10、10、4，可以构成三角形，腰长为10cm。 【错因】不分类直接凑数，或两种情况都保留而不用三边关系检验，误选“6或10”。 4．如图是一张长方形纸带，数学小组沿折痕 AB 将纸带折叠，量得∠1=36°，则∠2 的度数为（　） A．66° B．70° C．72° D．80° 【答案】C 【解析】纸带上下两边平行，折叠后重叠部分的角相等。在折痕处由平角关系有 2∠2+∠1=180°，故∠2=(180°−36°)÷2=72°。 【错因】列成∠1+∠2=180°（漏乘2），或看不出折叠重叠角相等，误得144°。 5．如图，在△ABC中，延长CA到点F使AF=2CA，延长AB到点D使BD=AB，延长BC到点E使CE=2CB，连接FD、DE、EF。若 S△DEF=84，则 S△ABC 等于（　） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【解析】设 S△ABC=1。△FAD中AF=2AC、AD=2AB，∠FAD=180°−∠BAC，故 S△FAD=2×2=4；△DBE中BD=AB、BE=3BC，∠DBE=180°−∠ABC，故 S△DBE=1×3=3；△ECF中CE=2BC、CF=3CA，∠ECF=180°−∠ACB，故 S△ECF=2×3=6。S△DEF=4+3+6+1=14，故 S△ABC=84÷14=6。 【错因】面积比只乘一个底的倍数，或忽略 sin(180°−A)=sin A；漏加中间的△ABC。 6．如图，P是△ABC内任意一点，已知AB=13，BC=11，AC=8，则 PA+PB+PC 的值一定（　） A．大于15 B．大于16 C．大于28 D．大于32 【答案】B 【解析】在△PAB、△PBC、△PCA中分别有 PA+PB>AB、PB+PC>BC、PC+PA>AC，三式相加得 2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC=32，故 PA+PB+PC>16。 【错因】只在一个小三角形里用三边关系，或相加后忘记除以2，误得“大于32”。 7．甲、乙、丙三名同学讨论下面这道题：“如图，在△ABC中，∠B=∠C=70°，将△MNC沿MN折叠得到△MNC′，若 MC′ 与△ABC的边平行，求∠C′MN。”甲答20°，乙答55°，丙答40°，则下列判断正确的是（　） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】∠A=40°。当MC′∥AB时，折痕MN与水平底边垂直，∠C′MN=20°；当MC′∥BC时，MC′水平，∠C′MN=55°。两种平行位置都成立，故∠C′MN=20°或55°，甲、乙合起来才完整；丙的40°无对应情形。 【错因】只考虑MC′与某一条边平行（漏掉一种），或把∠A=40°直接当成答案（丙）。 8．如图，∠AOB<90°，点M在OB上且OM=8，点M到射线OA的距离为 a，点P在射线OA上，MP=x。若△OMP的形状、大小唯一确定，则 x 的取值范围是（　） A．x=a 或 x>8 B．x≥8 C．x=a D．x=8 或 x>a 【答案】A 【解析】P是以M为圆心、x为半径的圆与射线OA的交点。x<a时无交点；x=a时圆与OA相切，恰有一个交点（直角三角形），唯一；a<x≤8时有两个交点（x=8时一个交点为O，退化）；x>8时圆与射线OA只有一个交点，唯一。故 x=a 或 x>8。 【错因】漏掉相切 x=a 的情形，或把 a<x<8 时的两个交点误当唯一；x=8时P=O退化仍计入。 9．如图，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，若∠BAC=38°，∠BPC=72°，则∠BDC的度数为（　） A．106° B．110° C．100° D．96° 【答案】A 【解析】由凹四边形（箭头模型）∠BPC=∠BAC+∠PBA+∠PCA，∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD。又BP、CP为角平分线，∠ABD=2∠PBA、∠ACD=2∠PCA，故∠BDC=∠BAC+2(∠BPC−∠BAC)=2∠BPC−∠BAC=2×72°−38°=106°。 【错因】记不住箭头模型的角度关系，或代成 2α−β、α+β，算错。 10．如图，在锐角△ABC中，∠BAC>∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BF，分别交BA、BD、BC于点T、G、H。下列结论：①∠F=(∠BAC−∠C)；②∠DBE=∠F；③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABD+∠EBH。其中正确的是（　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】高与角平分线夹角∠DBE=(∠BAC−∠C)；由BD⊥AC、FH⊥BF，∠F与∠DBE同为某角的余角，故∠F=∠DBE，①②成立；利用外角与内角和可推出 2∠BEF=∠BAF+∠C，③成立；再由外角定理∠BGH=∠ABD+∠EBH，④成立。四个结论都正确。 【错因】多结论题凭感觉勾选，不会逐个用外角/互余验证；常漏掉③或④。 11．如图，在△ABC中，∠ACB=95°，∠B=35°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处。若 B′D∥AC，则∠BDC=______。 【答案】115° 【解析】折叠后∠CB′D=∠B=35°。由B′D∥AC、CB′为截线，∠ACB′=∠CB′D=35°，故∠BCB′=∠ACB−∠ACB′=95°−35°=60°；折叠使∠BCD=∠BCB′=30°。在△BCD中，∠BDC=180°−30°−35°=115°。 【错因】平行线的内错角找错（找成与∠B′CD相关），或折叠后不会用∠BCD=½∠BCB′。 12．各边长互不相等且都是整数、周长为 18 的三角形共有______个。 【答案】3 【解析】设 a<b<c，则 c>=6 且 c<=9，故 c=7或8。c=8时 a+b=10，有(4,6,8)、(3,7,8)；c=7时 a+b=11，有(5,6,7)。共3个，均满足三边关系。 【错因】不会先用 a+b>c 确定 c 的范围而盲目枚举，或把相等边、退化情形计入。 13．如图，线段OC与直线AB的夹角∠BOC=72°，点M在OC上，点N是直线AB上的动点，将△OMN沿MN折叠，点O落在O′处。当 CO′∥AB 时，∠CO′M+∠ONO′=______度。 【答案】72或108 【解析】分N在射线OA、射线OB两种位置。N在OA上时，由折叠及CO′∥AB，∠CO′M+∠ONO′=∠BOC=72°；N在OB上时，相应角度和为180°−72°=108°。 【错因】只考虑N在一条射线上（漏掉一解），或不会用折叠前后对应角相等进行转化。 14．若三边互不相等的三角形，三边长 a>b>c 满足 a+c<2b，则称它为“缓坡三角形”。 （1）下列两组长度的小木棒能组成“缓坡三角形”的为______（填序号）。 ①11，9，6；②12，9，7。 （2）已知某“缓坡三角形”三边长分别为 2x+3，15，2x−3，则 x 的整数值为______。 【答案】（1）①；（2）7 【解析】（1）①a+c=11+6=17<2b=18，是缓坡三角形；②12+7=19<18不成立，不是。（2）由 2x+3>15>2x−3 得 6<x<9，x=7或8；再由 a+c<2b 得 4x<30，x<7.5，故x=7。此时三边17、15、11，17<15+11，能构成三角形。 【错因】不排序就代入不等式；第（2）问漏检验三边关系，或把 x=8 也保留。 15．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠ACD=∠ADC，∠ABC=2∠BAD，∠BAC=75°，求∠ABC和∠CAD的度数。 【答案】∠ABC=42°，∠CAD=54° 【解析】设∠BAD=x，则∠ABC=2x。∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=∠ABC+∠BAD=3x，故∠ACD=∠ADC=3x。∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=180°−6x。由∠BAC=∠BAD+∠CAD=x+180°−6x=180°−5x=75°，解得x=21°。所以∠ABC=42°，∠CAD=180°−6×21°=54°。 【错因】外角关系写成∠ADC=∠B（漏加∠BAD），或把∠CAD误当∠BAC−∠B；方程列错。 16．如图，直线CD、EF相交于点O，OA、OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°。 （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2∶∠3=1∶2，求∠AOF的度数。 【答案】（1）见证明；（2）135° 【解析】（1）因OA、OB分别平分∠COE、∠DOE，故∠AOE+∠BOE=(∠COE+∠DOE)=×180°=90°，即∠AOB=90°，于是∠1+∠OBE=90°。又∠1+∠2=90°，故∠2=∠OBE，从而AB∥CD（内错角相等）。（2）设∠2=k，则∠3=2k，由∠3+2∠2=180°得 2k+2k=180°，k=45°。∠BOE=∠2=45°，∠AOE=45°，故∠AOF=180°−∠AOE=135°。 【错因】第（1）问看不出∠AOB=90°；第（2）问平角关系列错（应为∠3+2∠2=180°），或∠AOF不会用 180°−∠AOE。 17．如图，已知△BCD。 （1）若BC=5，BD=2，CD为偶数且CD是最长边，求CD的长； （2）作AE∥BD，分别交CB、CD的延长线于点A、E，若∠A=48°，∠BDE=122°，求∠C的度数。 【答案】（1）CD=6；（2）∠C=74° 【解析】（1）CD最长且 CD<BC+BD=7、CD>|5−2|=3，又CD>5，故5<CD<7，偶数CD=6。（2）∠BDC=180°−∠BDE=58°；由AE∥BD，∠DBC=∠A=48°（同位角），故∠C=180°−48°−58°=74°。 【错因】第（1）问三边范围写反或漏“CD最长”；第（2）问平行线的同位角找错，或把∠BDE直接当成内角。 18．如图，在四边形ABCD中，P是∠DAB、∠ABC的平分线的交点。求证：∠P=(∠C+∠D)。 【答案】见证明 【解析】四边形内角和为360°，故∠DAB+∠ABC=360°−∠C−∠D。因AP、BP为角平分线，∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠ABC)=180°−(∠C+∠D)。在△ABP中，∠P=180°−(∠PAB+∠PBA)=180°−180°+(∠C+∠D)=(∠C+∠D)。 【错因】把四边形内角和误写成180°，或角平分线只平分了一个角；最后移项出错。 19．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（均不与O重合），QE是∠AQP的平分线，PE是∠QPC的平分线，两平分线交于点E；将△EFG沿FG折叠，点E落在四边形PFGQ内点E′处。猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由。 【答案】∠PFE′+∠QGE′=90° 【解析】连接EE′。由AB⊥CD得∠POQ=90°，故∠PQA+∠QPC=270°（这两个角分别是△POQ两锐角的补角）。QE、PE平分∠PQA、∠QPC，故∠EQP+∠EPQ=×270°=135°，从而∠PEQ=45°。折叠后∠GEF=∠PEQ=45°。由内角和可得∠EFE′+∠EGE′=270°，于是∠PFE′+∠QGE′=(180°−∠EFE′)+(180°−∠EGE′)=360°−270°=90°。 【错因】不会先求∠PEQ=45°，或折叠后对应角关系用错；把270°误当成180°。 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE交BC于点F。若∠C−∠B=34°，∠BAD=x°（0<x≤45）。 （1）求∠B的度数； （2）若△DEF中有两个角相等，求 x 的值。 【答案】（1）∠B=28°；（2）x=24 【解析】（1）∠B+∠C=90°，又∠C−∠B=34°，解得∠C=62°、∠B=28°。（2）∠ADF=∠B+∠BAD=28°+x，∠ADB=180°−(28°+x)=152°−x；折叠后∠ADE=∠ADB=152°−x，∠E=∠B=28°。∠FDE=∠ADE−∠ADF=124°−2x，∠DFE=180°−∠E−∠FDE=28°+2x。①若∠FDE=∠DFE，124−2x=28+2x，x=24；②若∠DFE=∠E，28+2x=28，x=0（舍去）；③若∠FDE=∠E，124−2x=28，x=48（超出45，舍去）。故x=24。 【错因】折叠后∠ADE、∠FDE的表达式列错；三种等角情况讨论不全，或保留 x=0、x=48。 21．已知过∠ECF内一点A作 AD∥EC 交CF于D，作 AB∥CF 交CE于B。 （1）如图1，求证：∠ABE=∠ADF； （2）如图2，射线BM、DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN； （3）如图3，在（2）的条件下，点G、Q在线段DF上，连接AG、AQ、AC，AQ与DN交于H，反向延长AQ交BM于P。若∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=46°，求∠MPA+∠PQF的度数。 【答案】（1）（2）见证明；（3）226° 【解析】（1）因AB∥CF，∠ABE=∠ECF（同位角）；因AD∥EC，∠ADF=∠ECF（同位角），故∠ABE=∠ADF。（2）过A作∠BAD的平分线，由（1）两角相等、其一半也相等，结合平行可得 BM、DN 都与该平分线平行，故BM∥DN。（3）设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=46°−x，∠GAC=46°+x=∠GCA；由AB∥CF得∠BAC=∠GCA=46°+x，故∠BAD=(46°−x)+(46°+x)=92°。∠BAQ=92°+x，∠BAP=180°−(92°+x)=88°−x；∠ABM=∠ABE=∠BAD=46°。于是∠MPA=46°+(88°−x)=134°−x，∠PQF=46°+(46°+x)=92°+x，两者之和=226°。 【错因】第（3）问等角关系∠GAC=∠GCA转化错，或设元后 x 不会消去；平行的同位角找错。 22．一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB。现将三角板DFE绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止），设旋转时间为 t 秒。 （1）当 t=______秒时，DE∥AB；当 t=______秒时，DE⊥AB； （2）旋转过程中DF与AB的交点记为P（如图2），若△AFP有两个内角相等，求 t 的值。 【答案】（1）5；35；（2）t=10、25或40 【解析】初始∠CAB=60°，AF平分故∠BAF=30°。（1）DE∥AB时，由∠EDF=45°及外角关系，DF需转过15°，t=15÷3=5；DE⊥AB时 DF需转过105°，t=105÷3=35。（2）△AFP中∠PAF=30°。①∠PAF=∠PFA=30°，DF转过30°，t=10；②∠PFA=∠APF，则∠AFP=(180°−30°)=75°，DF转过75°，t=25；③∠PAF=∠APF=30°，则∠AFP=120°，DF转过120°，t=40。故 t=10、25或40。 【错因】旋转角与时间换算错（速度是3°不是5°），或三种等角情况漏解；把停止后的临界也计入。 23．如果两个角的差等于24°，就称这两个角互为“搭档角”，其中一个角叫做另一个角的“搭档角”。 （1）已知∠1和∠2互为“搭档角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数。 （2）在△ABC中，∠ACB=90°，AE是∠BAC的平分线。 ①如图1，点P在射线AC上，CN平分∠BCP，与射线AE交于N，若∠ANC与∠B互为“搭档角”，求∠B的度数； ②如图2，若CP∥AB，射线CN平分∠BCP且与射线AE交于N，若∠ANC与∠ABC互为“搭档角”，则∠ABC的度数为______； （3）如图3，若CP⊥AB于P，AE、CP相交于F，若∠FCE与∠CEF互为“搭档角”，直接写出∠ABC的度数。 【答案】（1）102°；（2）①48°；②21°或69°；（3）14°或46° 【解析】（1）∠1−∠2=24°、∠1+∠2=180°，两式相加 2∠1=204°，∠1=102°。（2）①∠BCP=90°，CN平分故∠BCN=45°；AE平分∠BAC，由内角和可得∠B=2∠ANC；又∠B−∠ANC=24°，解得∠ANC=24°、∠B=48°。②CP∥AB故∠BCP=∠B，CN平分∠BCP；可推出∠ANC=45°，由|∠ANC−∠B|=24°得∠B=45°±24°=21°或69°。（3）AE平分∠BAC，∠FEC=45°+∠B，∠FCE−∠FEC=45°−∠B；由|45°−∠B|=24°，得∠B=14°或46°。 【错因】把新定义的差值24°与常见的30°混淆；第（2）（3）问绝对值的两种情况漏掉一种；角平分线与直角的角度关系推导错误。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 能力提升卷 （试题版·学生练习用） （建议用时：120分钟　满分：150分） 测试范围：第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 姓名：____________　班级：____________　考号：____________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一项符合题意） 1．若 a，b，c 是△ABC 的三边长，则化简 |a+b−c|−|a−b−c| 的结果是（　） A．2a−2c B．2b−2c C．2c D．0 2．校园科技节用彩灯带围成一个三角形，三个内角的度数之比为 2∶3∶4，则最大内角的外角等于（　） A．80° B．100° C．120° D．60° 3．手工课上，小睿做了一个等腰三角形支架，一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm 和 15cm 两部分，则该等腰三角形的腰长为（　） A．6cm或10cm B．6cm C．10cm D．4cm或10cm 4．如图是一张长方形纸带，数学小组沿折痕 AB 将纸带折叠，量得∠1=36°，则∠2 的度数为（　） A．66° B．70° C．72° D．80° 5．如图，在△ABC中，延长CA到点F使AF=2CA，延长AB到点D使BD=AB，延长BC到点E使CE=2CB，连接FD、DE、EF。若 S△DEF=84，则 S△ABC 等于（　） A．4 B．6 C．7 D．12 6．如图，P是△ABC内任意一点，已知AB=13，BC=11，AC=8，则 PA+PB+PC 的值一定（　） A．大于15 B．大于16 C．大于28 D．大于32 7．甲、乙、丙三名同学讨论下面这道题：“如图，在△ABC中，∠B=∠C=70°，将△MNC沿MN折叠得到△MNC′，若 MC′ 与△ABC的边平行，求∠C′MN。“甲答20°，乙答55°，丙答40°”，则下列判断正确的是（　） A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 8．如图，∠AOB<90°，点M在OB上且OM=8，点M到射线OA的距离为 a，点P在射线OA上，MP=x。若△OMP的形状、大小唯一确定，则 x 的取值范围是（　） A．x=a 或 x>8 B．x≥8 C．x=a D．x=8 或 x>a 9．如图，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，若∠BAC=38°，∠BPC=72°，则∠BDC的度数为（　） A．106° B．110° C．100° D．96° 10．如图，在锐角△ABC中，∠BAC>∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BF，分别交BA、BD、BC于点T、G、H。下列结论：①∠F=(∠BAC−∠C)；②∠DBE=∠F；③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABD+∠EBH。其中正确的是（　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在△ABC中，∠ACB=95°，∠B=35°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处。若 B′D∥AC，则∠BDC=______。 12．各边长互不相等且都是整数、周长为 18 的三角形共有______个。 13．如图，线段OC与直线AB的夹角∠BOC=72°，点M在OC上，点N是直线AB上的动点，将△OMN沿MN折叠，点O落在O′处。当 CO′∥AB 时，∠CO′M+∠ONO′=______度。 14．若三边互不相等的三角形，三边长 a>b>c 满足 a+c<2b，则称它为“缓坡三角形”。 （1）下列两组长度的小木棒能组成“缓坡三角形”的为______（填序号）。 ①11，9，6；②12，9，7。 （2）已知某“缓坡三角形”三边长分别为 2x+3，15，2x−3，则 x 的整数值为______。 三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠ACD=∠ADC，∠ABC=2∠BAD，∠BAC=75°，求∠ABC和∠CAD的度数。 解： 16．如图，直线CD、EF相交于点O，OA、OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2=90°。 （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2∶∠3=1∶2，求∠AOF的度数。 解： 17．如图，已知△BCD。 （1）若BC=5，BD=2，CD为偶数且CD是最长边，求CD的长； （2）作AE∥BD，分别交CB、CD的延长线于点A、E，若∠A=48°，∠BDE=122°，求∠C的度数。 解： 18．如图，在四边形ABCD中，P是∠DAB、∠ABC的平分线的交点。求证：∠P=(∠C+∠D)。 解： 19．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（均不与O重合），QE是∠AQP的平分线，PE是∠QPC的平分线，两平分线交于点E；将△EFG沿FG折叠，点E落在四边形PFGQ内点E′处。猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由。 解： 20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE交BC于点F。若∠C−∠B=34°，∠BAD=x°（0<x≤45）。 （1）求∠B的度数； （2）若△DEF中有两个角相等，求 x 的值。 解： 21．已知过∠ECF内一点A作 AD∥EC 交CF于D，作 AB∥CF 交CE于B。 （1）如图1，求证：∠ABE=∠ADF； （2）如图2，射线BM、DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN； （3）如图3，在（2）的条件下，点G、Q在线段DF上，连接AG、AQ、AC，AQ与DN交于H，反向延长AQ交BM于P。若∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=46°，求∠MPA+∠PQF的度数。 解： 22．一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB。现将三角板DFE绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止），设旋转时间为 t 秒。 （1）当 t=______秒时，DE∥AB；当 t=______秒时，DE⊥AB； （2）旋转过程中DF与AB的交点记为P（如图2），若△AFP有两个内角相等，求 t 的值。 解： 23．如果两个角的差等于24°，就称这两个角互为“搭档角”，其中一个角叫做另一个角的“搭档角”。 （1）已知∠1和∠2互为“搭档角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数。 （2）在△ABC中，∠ACB=90°，AE是∠BAC的平分线。 ①如图1，点P在射线AC上，CN平分∠BCP，与射线AE交于N，若∠ANC与∠B互为“搭档角”，求∠B的度数； ②如图2，若CP∥AB，射线CN平分∠BCP且与射线AE交于N，若∠ANC与∠ABC互为“搭档角”，则∠ABC的度数为______； （3）如图3，若CP⊥AB于P，AE、CP相交于F，若∠FCE与∠CEF互为“搭档角”，直接写出∠ABC的度数。 解： 学科网（北京）股份有限公司 $