天津市滨海新区塘沽第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

**基本信息** 聚焦数学核心素养，通过分层情境设计考查抽象能力、运算推理与数据应用，适配高中月考对基础巩固与能力提升的双向评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数单调性、立体几何表面积|基础题强化符号意识，结合生活情境发展几何直观| |填空题|4/20|概率计算、数列递推|中档题突出数据意识，通过文化素材渗透数学眼光| |解答题|6/70|导数应用、统计建模|综合题以科技情境为载体，分层考查推理能力与模型观念，呼应高考命题趋势|

2026～2027塘沽一中高三月考 数学 2026年9月16日 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法错误的是（ ） A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．对具有线性相关关系的变量，，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4 C．若决定系数越大，则两个变量的相关性越强 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据的独立性检验，有的把握认为与有关 4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 5．在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，下列结论正确的是（ ） A． B． C．平面 D．平面平面 6．已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．数列中，，，若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 9．已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．2 二、填空题． 10．已知复数（为虚数单位），则______________． 11．在的展开式中，含项的系数是______________． 12．某科技公司在使用Deep Seek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，Deep Seek的回答是否正确相互独立．则一个问题能被Deep Seek回答正确的概率为____________；现Deep Seek从给定的问题中随机抽取9个作答．设Deep Seek答对的题数为，则的均值为____________． 13．设，函数 ①若，则____________． ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为____________． 14．已知向量，，满足，，，，则的最大值为____________． 15．对于函数，下列说法正确的序号是____________．（全选对的得5分，选对但不全的得2分，错选或不选的得0分） ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 18．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19．已知． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：． 20．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $塘沽一中2027届高三毕业班 数学答案 一、单选题BADAC DDBA 二、填空题 10.4+3i1.4012.0.9:8.113.2,[0,V2U[4,+0) 3V5,3 14.2215.②⑤ 16. 6=b2+c2+1bc (1)因为a2=b2+c2-2 becosA,即° 2,而b=2c, 代入得6=4c2+c2+c2,解得：c=1. (2)由(1)可求出b=2,而0<A<π， sin 4=v1-cos1=15 a=b 所以 4,又sin A sin B, sin B=bsin 2x 15 4 V10 所 a 64 (3)因 为cosA=-1 等Ai0<<5m4I--cos灯 ，故 2,又 4, sin 24-2sin 4c0s 4-2x1x115_15 44 33e0s24=2c0s2A-1=2×,41-7 所以 16 8 sin B=v10 而4，所 cos B=1-sin2B=6 sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B 15. 6,7x10_10 8 4848 故 17. 解(1) T= 2π =π ·f(x)的最小正周期为 2 f=m2x+,22x+2m+ x+6),由 m-Tsx≤km+ (2) 2 2,k∈Z,得3 6,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间是 6 3)x0,m 2+[82m+w[ :≤2m+亚s5π ,<m 66,6 3 [ππ] 故实数m的取值范围为6'3」， 18. (1)·AE⊥平面ABC,CDIAE,.CD⊥平面ABC,AC,BCc平面ABC,∴CD⊥AC, CD⊥BC,又∠ACB=90°，AC⊥BC. 以C为原点，CA为x轴，CB为'轴，CD为z轴建立空间直角坐标系. D B AC=BC=1,AE=2CD=2,∴A1,0,0),B(01,0),D(0,0,1).E1,0,2), :F为BE中点， =1u0.旺=-12.F-50 BF-1x+1x0x0=0 2 ,.AB⊥DF. BE.DF=1x+(-1)x+2x0=0 2 2 ,.BE⊥DF. 又AB∩BE=E,AB,BEc平面ABE,∴.DF⊥平面ABE. (2)EB=（-11,-2),BD=(0,-1,1) 设平面BDE的法向量为元=(x,少，z). i·EB=-x+y-2z=0 则万.8丽=-y+2=0,令y=1则z=1,x=-1,∴万=（←1，） 易知平面ACDE的法向量而=(0,1,0)。 记平面ACDE与平面BDE的夹角为O, mn -1×0+1×1+1×0V3 ∴.cos0=cos(m,n)= 1mil V-12+12+1P 3 (3)平面BDE的法向量为i=（-1,11),AB=(-1,1,0) d=AB.i_1(-I)x(-)+1×1+1x0_2W5 所以点A到平面BDE的距离”|方 3 3 19. (a)当a=l时，f)=(x+l)ln(x+l)+sinx,求导得f"()=l(x+)+1+cosx. 所以f'(0)=h1+1+cos0=2,f0)=0. 所以f(x)在(0，f(0》处的切线方程为y=2x. h'()=1 (2)求导得.f'()=n(x+)+l+acosx,令h()=f'(),则 x+I-asinx 当a≥0时，因为x∈(0，)，所以x+1>0,h(x+)>0,asinx>0,所以f(w)>0恒成立； 1 >0 当-l≤a<0时，因为x∈(0，π)，所以x+1,sinx>0, h'(x)=1 所 )=中1asnx>0,f)在0，)上单调递带. 所以f'()>f'(0)=1+a≥0，f(w)在(0，)上单调递增，fx)>f(0)=0,满足条件. 1>0 当a<-l时，因为x∈(0，)，所以x+1,-asinx>0, 所以h()>0,所以h()在(，)上单调递增，所以h()>h(O)=1+a 即'()>1+a,因为a+1<0,所以设，∈(0，)使得f'(x)=0 当r∈(0，)时，f"()<0,f)单调递减，f)<f(0)=0,不满足题意 综上，a的取值范围是[-l,+o∞). (3)由(2)可知，当a=-l时，f()=(r+)l(c+)-six>0对任意的x∈(0，)恒成立， 即(c+)h(x+)>sinx,变形可得x+1 1 sinx<In(x+1) 日可4如1 111 ,= 将上述不等式累加可得： +n时+》n…-e+切 2 20. (1)由f)=ae2x+(a-2)e*-x, 得'(=2ae+(a-2e-1=(ae-l(2e*+1). 当a≤0时，f'()<0,则f(在R上单调递减； x<In- 当a>0时，若a,'()<0,则f(w)在 a)上单调递减， 者> a,f'(x)>0,则f(x)在"a )上单调递增， (2)(i)由(1)知，若函数(x)有两个零点，则a>0, 11 x =In f In 且当a时，f()取得极小值（a),也即为最小值， 又当x→-o时.四→o当x→+0时.闲→o所以/血a下0 2n1 e2+a-2e-ln1<01-1+na<0 即 a ,即a _p(a)-1-1+Ia 由于a>0,则函数 a“在(0，+)上是增函数，且p(=0, 1-1+ma<0 ,不等式a 的解为0<a<1,∴实数a的取值范围是(0，)： e-3-1 ,则 a -刃+a-2日小-。-a- k=3-1 令a,则k>2,flnk)=k-lnk. 设9k)=k-lhk,则 9)=1->0 k,则9k)在(2，+∞)上单调递增， 4u>a2-h20,2-小0 (i)庙(i)知，0<a<1,>n a. 1、2-2a In-> hat4-2<0 要证5>+a,只需证a1+a,即证明→ ,4-2wa=1-4-0-a3 u(a)=mati+aa (1+a)allta)0 na+,4-2<0x> 2-2a 则(a在(0，)上单调递增，u(a)<u()=0,即1+a 1+a: woe小层小.2刂 9-6a 9-6a In 要证<6a-2,只需证。 6a-2a2. 3 3 t= -1a= 令a,则t+1且t>2, 9-6.3 Int<- t+1 1,1 6,3-23 22t 只需证明 °t+1“t+1 0=n2-2则g 0=1=+2-1.6=<0 t2222222 ∴.v)在(2，+0)上单调递减， 0<W2)=n2-3 <0 4 n<-是n3-9-6a 即 22t,从而(a6a-2a得证. 2-2a<x2< 9-6a 综上所述，1+a 6a-2a2