精品解析：贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

数学（二） （120分钟150分） 本卷说明： 1．本卷测试内容：高考全部范围． 2．本卷侧重：高考评价体系之基础性． 3．本卷怎么考：①考查数学基础知识（题2）；②考查数学基本技能（题15）；③考查数学基本思想（题4）． 4．本卷好题摘要：题19（关键题）、题8（创新情境题）、题2、5（教考衔接题）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合. 因为在上是增函数且，所以. A选项：是集合，不是的元素，应为，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：中的元素全部属于，即，故D正确. 2. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 3. 设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B． 考点：余弦定理． 4. 设，，为非零实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数式化为对数式，再根据对数运算的性质即可求解． 【详解】设，则， 所以． 5. 在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 6. 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系及单调性的定义判断的单调性，再应用赋值法求得、，不等式等价化为，结合单调性求解集. 【详解】任取，，且，因为， 所以， 因为时，，且， 所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 令，所以， 令，，所以， 不等式等价于， 所以，即， 因为在上是增函数，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案. 【详解】因为为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，所以，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 8. 一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（ ）． （参考数据：，） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，计算正四面体的高，根据水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似，列式计算求解. 【详解】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为， 由题意可得， 如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 10. 已知数列满足：，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 设，则数列的前10项和为52 D. 设，则数列既有最大项，又有最小项 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系求出判断A；根据等差数列前项和公式计算判断B；写出数列前10项，计算求和判断C；求得，根据单调性计算判断D. 【详解】对于A，当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，， 时，时， 故前10项和为，故C正确； 对于D，， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的值域为 C. 不等式恒成立，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】令，，求导判断单调性，再结合偶函数逐个选项分析. 【详解】，令，则， 所以恒成立， 所以在上单调递减， 对于A，可看作由函数与复合而成， 而为减函数，在上是减函数， 所以在区间上单调递增，A错误； 对于B，在上单调递减，当时，， 当时，，所以的值域为，B正确； 对于C，由题可知为偶函数，且在区间上单调递增， 且， 即恒成立，而，故，且， 所以，C错误； 对于D，设，则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 且， 所以，即，即， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，可得，解方程即可求解. 【详解】设，所以，则，解得：，或, 所以 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接.若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】使用椭圆的定义结合条件将转化为，作比即可求解. 【详解】如图：不妨考虑位于第一象限， 则， 故. 14. 在中，，，，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，根据数量积的定义可得，设，由，所以最小时，最大，则最大，则利用两角差的正切公式、锐角三角函的定义及基本不等式求出的最大值，即可求出此时的； 【详解】解：作交于点， 因为， 所以，所以， 设，由于，所以最小时，最大，则最大， 而 因为，所以， 所以当且仅当，即时取等号， 此时， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间； （2）求时函数的值域． 【答案】（1） 最小正周期为，单调递增区间为 （2） 值域为 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的性质依次求解最小正周期、单调递增区间； （2）结合正弦函数的图象即可求值域. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 令，得， 即的单调递增区间为； 【小问2详解】 由，得， 由正弦函数图象得， 因此，即的值域为 16. 某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 （1）求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. （2）该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 【答案】（1）线性回归方程为：；当循环次数为1000次时电池的剩余容量为；相关系数，用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的. （2）分布列如下： 数学期望为. 【解析】 【小问1详解】 由题意得： ，， ，，所以， 则，所以线性回归方程为：， 将代入得：，即：当循环次数为1000次时电池的剩余容量为. 又因为，所以相关系数， ，表示完全负线性相关，说明循环次数与剩余容量之间存在极强的负线性关系，因此用线性回归模型拟合二者关系是完全合理的。 【小问2详解】 由题意可知：10块同批次电池中，4块达标，6块未达标，抽取的3块中达标的电池数为，则可能取值为0,1,2,3. ，，，， 所以达标的电池数的分布列为： 数学期望. 17. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【小问1详解】 设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． 【小问2详解】 ①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 18. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 【答案】（1）证明如下： 因为 ， 所以，即． （2）（ⅰ）， （ⅱ）证明如下： ， 已知存在两个不同的锐角，使得， 设， 则， 锐角，是两个不同的锐角，则符号相反， ，即， 化简整理得， ，，为锐角，则， ． 【解析】 【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ）化简，利用“存在两个不同的锐角，使得”的条件构造方程，进而求出，证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过A垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， （ⅰ）已知，，， 则，故， 已知与、所成角分别为、， 则， 则， ，则， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 ； （ⅱ）略 19. 已知函数，，a，. （1）当时，若函数有一个零点，求b的取值范围； （2）当，且时，令，设是从小到大的第n个极值点，证明：数列是等比数列； （3）当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：. 【答案】（1） （2） 因为，所以 .其中. 因为，所以，根据周期性，可取， 令得， 由得，解得， ，当时，时，； 当时，时，. 因此，在正数范围内的区间与上 的符号总相反，所以是的极值点. 所以， . 假设，则. 而，所以无实数解，这说明. 所以，为非零常数， 所以数列是等比数列. （3） ，所以单调递增. 由题意可知. 易知，所以，所以. 即，也即，可得. 所以有. 故， 又易知， 根据题意可知，即， 从而有， 即，可得，进一步得， 所以， 易知，令得， 所以， 当时， ，所以，所以， 故 . 综上得. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，结合的取值范围，分析求解即可. （2）利用导数，分析函数的单调性，进而得到，再代入中根据等比数列的定义求解即可. （3）根据零点对应的等式，放缩可得 ，再结合裂项相消法即可证明原不等式左边.对于不等式右边，由不等式以及并结合零点对应的等式，可证明，根据，令代入，可证，最后结合两者放缩即可证明原不等式右边. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，所以函数在单调递增，此时； 所以在上无零点； 当时，令，则，当时，， 则函数在单调递减；时，， 则函数在单调递增， 由于，所以， 且当趋于时，趋于，所以在有一个零点，符合题意， 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） （120分钟150分） 本卷说明： 1．本卷测试内容：高考全部范围． 2．本卷侧重：高考评价体系之基础性． 3．本卷怎么考：①考查数学基础知识（题2）；②考查数学基本技能（题15）；③考查数学基本思想（题4）． 4．本卷好题摘要：题19（关键题）、题8（创新情境题）、题2、5（教考衔接题）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 3. 设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则 A. B. C. D. 4. 设，，为非零实数，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（ ）. A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（ ）． （参考数据：，） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，其中为锐角，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足：，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 设，则数列的前10项和为52 D. 设，则数列既有最大项，又有最小项 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的值域为 C. 不等式恒成立，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接.若，则________． 14. 在中，，，，当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间； （2）求时函数的值域． 16. 某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（次）与剩余容量y（单位：），得到如下数据： x（次） 100 200 300 400 500 y（Ah） 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 （1）求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量；并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性. （2）该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块；改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，， 相关系数 17. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 18. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 19. 已知函数，，a，. （1）当时，若函数有一个零点，求b的取值范围； （2）当，且时，令，设是从小到大的第n个极值点，证明：数列是等比数列； （3）当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $