贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

数学（二） （120分钟150分） 本卷说明： 1．本卷测试内容：高考全部范围． 2．本卷侧重：高考评价体系之基础性． 3．本卷怎么考：①考查数学基础知识（题2）；②考查数学基本技能（题15）；③考查数学基本思想（题4）． 4．本卷好题摘要：题19（关键题）、题8（创新情境题）、题2、5（教考衔接题）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则 A． B． C． D． 2．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为 A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 3．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则 A． B．2 C． D．3 4．设，，为非零实数，且，则 A． B． C． D． 5．在长方体中，，，，对角线与截面所成角的大小为，则 A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有．若，且当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为 （参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，其中，为锐角，则 A． B． C． D． 10．已知数列满足，则 A． B．数列的前项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 11．已知函数，则 A．函数在区间上单调递减 B．函数的值域为 C．不等式恒成立，则 D．若，则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数满足（其中是虚数单位），则_______． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与交于点，连接并延长与交于点，连接．若，则_______． 14．在中，，，，当最小时，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期、单调递增区间； （2）求时函数的值域． 16．（15分） 某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数x（单位：次）与剩余容量y（单位：Ah），得到如下数据： /次 100 200 300 400 500 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 （1）求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量，并计算样本相关系数r，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性． （2）该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块，改性优化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000次，规定循环寿命超过1000次为达标．现从这10块电池中随机抽取3块进行破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数． 17．（15分） 已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程． （2）已知上存在三点，，，且，关于直线对称． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若为等边三角形，求． 18．（17分） 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，（为锐角）． （1）当时，求证：． （2）定义：过点作直线垂直底面于点，且在内部，记与，所成的角分别为，，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 19．（17分） 已知函数，，，． （1）当时，若函数有一个零点，求的取值范围． （2）当，且时，令，设是从小到大的第个极值点，证明：数列是等比数列． （3）当且时，令，且，有唯一的正零点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $