精品解析：贵州贵阳市第一中学2026-2027学年上学期高三年级质量检测（一）数学试卷

贵阳一中2026—2027学年第一学期高三年级质量检测（一）试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即， 解得或或， 即. 所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，因此，因此的虚部为. 3. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二倍角正弦公式齐次变形为仅含的表达式，代入已知值即可求解． 【详解】因为为第二象限角，故， 由二倍角正弦公式及同角三角函数平方关系可得：， 将上式分子、分母同时除以得：， 代入得． 4. 函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数对称中心的概念，即可求解. 【详解】由题意，选项中对称中心的横坐标均为0，所以设函数的对称中心为， 根据函数对称中心的概念，需满足， 即，化简得， 所以，即函数的中心为. 5. 将0，2，2，6随机排成一行，则排成“2026”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算含两个相同数字2的4个元素的全排列数作为总样本数，再统计符合“2026”排列的样本数，代入古典概型公式求解． 【详解】将0,2,2,6随机排列，由于存在2个完全相同的数字2，因此不同的排列总数为， 其中满足排成“2026”的排列仅1种， 所以根据古典概型概率公式，所求概率． 6. 椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 7. 记以长方体的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为，若，，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论长方体中构成三棱锥的顶点位置，结合三棱锥体积公式和割补法计算所有可能的体积，确定取值集合. 【详解】因为. 分两类讨论三棱锥的体积： 当三棱锥有3个顶点位于长方体的同一表面，第4个顶点为该表面外的长方体顶点时， 取底面为表面直角三角形 （例如），高为长方体的棱， 则底面积， 由三棱锥体积公式得， 所有此类三棱锥体积均为1. 当三棱锥的4个顶点均不落在长方体的同一表面时： 利用割补法， 该三棱锥体积等于长方体体积减去4个上述类型的三棱锥体积， 即. 不存在其他体积取值，因此的取值集合为. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三倍角正弦公式化简函数为关于的三次函数，换元后通过导数求闭区间上的三次函数最小值即可. 【详解】由三倍角正弦公式， 代入得：   令，由正弦函数的值域可知， 则原函数转化为三次函数：  ， 对求导得，令， 解得，均属于区间. 时； 时； 时； 时. 比较得的最小值为， 即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B错误； 对于C，， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由可得，解得，故D错误． 10. 记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为4的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数列的通项公式，验证判断A；求出奇数项数列的公比判断B；求出前5项和判断C；利用裂项相消求和判断D. 【详解】 对于A，当为奇数时，由，得，无解；当为偶数时，由，得，符合题意，A正确； 对于B，，，则公比，是公比为4的等比数列，B正确； 对于C，，，，，，则，C错误； 对于D，，则， 前项和，D正确. 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. 最大度数为 B. 四边形面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线与圆的几何性质，将角度、面积、弦长问题转化为点到圆心的距离的最值问题，再结合切点弦方程，逐项进行判断即可求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相离，如图所示， 因为点在直线上动，当时，取得最小值，即的最小值为， 设，则， 在中，， 要使最大，即最大，则取得最小值，即， 所以，因为为锐角，所以， 所以，即最大度数为，故A选项正确； 根据题意，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以当最小时，即取最小值，即取最小值， 所以，所以， 所以四边形的面积的最小值为， 故B选项错误； 设点，因为点在直线上动，所以，即， 圆展开为 根据切点弦方程公式，直线的方程为， 又，所以，即， 所以，解得，，即直线过定点，所以C选项正确； 根据直线与圆相切的性质，可得， 又，所以，垂足为，且为中点， 在中，利用等面积法可得， 所以， 所以， 当取得最小值时，取得最小值， 即时，，故D选项正确. 综上所述，选项ACD正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】若，则由得，解得，不合题意； 若，则由得， 即，即，即， 解得． 13. 已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球与侧面的公共部分面积为_________． 【答案】# 【解析】 【分析】先求出球心到侧面距离得到截面圆半径，确定交点位置与扇形圆心角，再结合矩形与弓形面积拼接求解出最终公共区域面积. 【详解】直四棱柱底面为菱形，棱长均为 2，， 因此为等边三角形，点到的距离为菱形的高， 由于直四棱柱侧棱垂直底面，球心到侧面的距离等于到的距离，即， 球的半径，由勾股定理，得球被侧面截得的截面圆半径， 截面圆的圆心是在侧面上的投影，恰好为上底边的中点， 侧面是边长为 2 的矩形，截面圆与侧棱、分别交于、两点， 由截面圆半径，得，因为 ， 由勾股定理得 ，所以、分别是、的中点， 上底边上所有点到的距离均小于，因此整条边都在球内；下底边与截面圆无交点， 故以为球心，为半径的球与侧面的公共部分面积由两部分组成： （1）矩形区域：长为，宽为，面积， （2）弦下方的弓形区域：因为，所以圆心角，对应扇形面积， 又的面积：，所以弓形面积， 所以总面积 14. 定义，设函数．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次数学建模竞赛活动．本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，，，…，，统计结果如图所示． （1）以频率估计概率，（i）求该市学生分数为优秀的概率估计值； （ii）现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立，记分数为优秀的人数为，求，； （2）从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数为优秀的人数为，求的分布列和均值． 【答案】（1）（i）；（ii），； （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【小问1详解】 （i）由频率分布直方图可知，分数在的频率为， 分数在的频率为． 因为得分不低于80分为优秀， 所以该市学生分数为优秀的概率估计值． （ii）由题意知，服从二项分布，即， 所以，． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，分数在的频率为， 分数在的频率为，分数在的频率为． 所以分数不低于70分的学生中，分数为优秀的频率为， 分数非优秀的频率为， 故分数为优秀的人数与分数为非优秀的人数之比为． 用比例分配的分层随机抽样方法选取11人， 则分数为优秀的人数为（人）， 分数为非优秀的人数为（人）． 从这11人中随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，，的平分线交于，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式，结合三角形内角的取值范围求解. （2）利用等面积法，将的面积拆分为和的面积之和，再列式求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得. 因为，故，则有， 由二倍角公式得， 因为，故，因此， 所以，得，即. 【小问2详解】 因为为的角平分线，所以. 由，得. 代入，，，， 得， 则 ，解得. 17. 如图，在直三棱柱中，点、、分别为，，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）连接，由题意， 所以， 即，又在直三棱柱中，， 平面， 所以平面，又平面， 所以，又在直三棱柱中，， 平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理确定，结合直棱柱得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 ，所以， 在直三棱柱 中，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 平面与平面 得：， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 又，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以， 设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． （1）求； （2）证明：为钝角三角形； （3）求的外接圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1） （2）由（1）可得抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以为钝角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，，利用弦长问题可求得的最小值，进而可求得； （2）设直线的方程为，，与抛物线方程联立，利用向量的数量积可证明为钝角三角形； （3）求得和的垂直平分线方程，利用交轨法可求得的外接圆圆心的轨迹方程． 【小问1详解】 抛物线方程为，所以焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 所以 ， 当时，的最小值为， 因为的最小值为4，所以，解得； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意可得的中点为，又， 所以的垂直平分线的方程为， 整理得①， 同理可得的垂直平分线的方程为②， ①-②，得， 所以， 所以，所以， ①+②，得 ， 又， 所以， 所以， 所以，所以. 19. 设，，函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若方程有三个实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，即为. 设，则， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，但，故， 故，因，故等号不可取， 故即. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程； （2）设，求出函数的导数，利用虚设零点结合基本不等式可证. （3），求出其导数，结合虚设零点及该函数有两个不同的极值点可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，故，故， 而，故曲线在处的切线方程为， 整理得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 方程有三个实数解即为有3个不同的实数解， 令，则有3个不同的零点， 若， 当时， ，时，， 此时， 当时，，而，故， 当，，则， 故在上单调递减，，， 故存在，使得且： 当时，即，当时，即， 故在上单调递增，在上单调递减， 故此时至多两个不同的零点，不合题意，舍； 当时，因为当时，，故， 故仅在上讨论方程有三个实数解， 当时则在上有3个不同的零点. 注意到当时， ，时，， ， 令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， ， 当，即时，，故， 故在上单调递减，所以在上存在唯一零点； 当，即时， 存在，，使得， 当或时，，，故在，上单调递减， 当时，，，故在上单调递增， 因为，即，， 所以， 同理，令，， 则，故在上单调递增， 注意到，所以， ， 从而当时，有3个零点， 综上：当时，方程有三个实数解. 【点睛】对于导数背景下的零点问题，如果不能求出具体的极值点，则需结合虚设零点和零点存在定理判断零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2026—2027学年第一学期高三年级质量检测（一）试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 将0，2，2，6随机排成一行，则排成“2026”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 记以长方体的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为，若，，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 10. 记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为4的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. 最大度数为 B. 四边形面积的最小值为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 13. 已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球与侧面的公共部分面积为_________． 14. 定义，设函数．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次数学建模竞赛活动．本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀．为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，，，…，，统计结果如图所示． （1）以频率估计概率，（i）求该市学生分数为优秀的概率估计值； （ii）现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立，记分数为优秀的人数为，求，； （2）从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数为优秀的人数为，求的分布列和均值． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，，的平分线交于，求的长． 17. 如图，在直三棱柱中，点、、分别为，，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与交于，两点，的最小值为4，为坐标原点． （1）求； （2）证明：为钝角三角形； （3）求的外接圆圆心的轨迹方程． 19. 设，，函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若方程有三个实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $