2026-2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考学情自测重难点常考题型强化训练提分卷

2026-2027学年苏科版九年级数学上学期第一次月考学情自测重难点常考题型强化训练提分卷 （测试范围：第1章、第2章，考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（    ）． A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 3．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为(      ) A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 8．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（     ）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 12．若函数是反比例函数，则的值为__________． 13．已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 14．一元二次方程（）两根分别为1，，则方程（）的两根分别为_________． 15．已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 16．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的方程，问： (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为，且满足，求的值． 19．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 20．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 21．某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 23．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为___________； (2)若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； (3)已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误； B、形式是一元二次方程，但二次项系数a没有标注不等于0，选项错误； C、符合一元二次方程定义．正确． D、含有两个未知数，选项错误． 故选C． 2．B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 3．A 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为（）， ∴选项C为正比例函数，排除； 将点代入中，得， ∴该反比例函数解析式为． 4．B 【详解】原式= 故答案选B. 5．C 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 6．A 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 7．B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．D 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 9．B 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 10．A 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 11． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 12． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 13． 【详解】解：设方程另一根为， ∵，，为有理数，， ∴根据根与系数的关系，是有理数，也是有理数， 要使和为有理数，中必须含抵消无理项，设，为有理数， 则， ∵乘积为有理数，无理项的系数必须为0， ∴，解得， ∴， ∴方程的另一个根为． 14．， 【详解】解： 一元二次方程的两根分别为和， 方程中，或， 解得或． 15．且 【详解】解： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上，且存在两个不同的关联点， ∴，整理得， 该方程需有两个不相等的实数根，且反比例函数要求， ∴，且， 计算得，解得， 综上，的取值范围是且． 16．4 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 17．【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 18．(1)证明：， 由于， 所以，即， 所以不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或． 19．【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 20．【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 21．【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 22．【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 23．【详解】（1）解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为； （2）解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，且， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 24．(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． $